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1、、重要結論及證明過程在橢圓點,弦MN證明:“點差法”巧解橢圓中點弦題型2爲1(a>b>0)中,若直線I與橢圓相交于b2所在的直線l的斜率為kMN,則kMNyoXob2~2-a設M、N兩點的坐標分別為(x-yj、(X2,y2),則有(1)(2),得22X1X22a22y1y20.y2y1y2y12X1-2~a2X2~2a兩點,2y12y2X2X1X2X1b2~2-a又kMNy2y1y1y2X2X1X1X22y2xb2-2.a同理可證,在橢圓(a>b>0)中,若直線是弦MN的中點,弦MN所在的直線I的斜率為kMN,則
2、kMN二、典型例題1、設橢圓方程為OP](OAOB),2點P(x0,yo)是弦l與橢圓相交于YoXoMN的中1,1.(1)N兩點,點P(X0,y0)2y1,過點M(0,1)的直線I交橢圓于點4點N的坐標為B,O為坐標原點,點P滿足-.當I繞點M旋轉時,求:2(1)動點P的軌跡方程;(2)
3、NP
4、的最大值和最小值22、在直角坐標系xOy中,經過點"2)且斜率為k的直線1與橢圓冷y21有兩個不同的交點P和Q.(1)求k的取值范圍;(2)設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B,是否存在常數(shù)k,使得向量0P0Q
5、與AB共線?如果存在,求k的取值范圍;如果不存在,請說明理由22Xy.3、已知橢圓—21(a>b>0)的左、右焦點分別為abFi、F2,離心率e,右準線方程為x2.(I)求橢圓的標準方程;(n)過點Fi的直線1與該橢圓相交于M、N兩點,且
6、F?MF2N
7、226求直線I的方程.32xv2321(a>b>0)的離心率為,過右焦點F的直線I與C相交于A、Bb23兩點?當I的斜率為1時,坐標原點0到I的距離為手.(1)求a,b的值;(2)C上是否存在點P,使得當I繞F轉到某一位置時,有OPoAOB成立?若存在,求出所有點
8、I:ymx1(m0)對稱,求k的值.2xI:ymx1(m0)對稱,求k的值.2xP的坐標與I的方程;若不存在,說明理由25.橢圓C的中心在原點,并以雙曲線—41的焦點為焦點,以拋物線x26.6y的準線為其中I:ymx1(m0)對稱,求k的值.2xI:ymx1(m0)對稱,求k的值.2x一條準線.(1)求橢圓C的方程;(2)設直線I:ykx2(k0)與橢圓C相交于A、B兩點,使A、B兩點關于直線I:ymx1(m0)對稱,求k的值.“點差法”巧解雙曲線中點弦題型、重要結論及證明過程2x在雙曲線二a>0,b>0)中,若
9、直線I與雙曲線相交于M、N兩點,點P(x°,y°)是弦MN的中點,y0MN所在的直線I的斜率為kMN,則kMN-X。b2~2?a證明過程和橢圓證法相同(略)2同理可證,在雙曲線爲a1(a>0,b>0)中,若直線I與雙曲線相交于M、N兩點,點P(xo,yo)是弦MN的中點,弦MN所在的直線I的斜率為kMN,則kMNyoXo二、典型例題1.已知雙曲線1,過點P(丄,3作直線I交雙曲線于A、B22兩點?(1)求弦AB的中點M的軌跡;(2)若點P恰好是弦AB的中點,求直線的方程和弦AB的長.22?設A、B是雙曲線x2y1
10、上兩點,點N(1,2)是線段AB的中點?2(1)求直線AB的方程;(2)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點,那么A、B、C、D四點是否共圓,為什么?223、雙曲線C的中心在原點,并以橢圓x—1的焦點為焦點,以拋物線y223x的準線為右2513準線?(1)求雙曲線C的方程;(2)設直線l:ykx3(k0)與雙曲線C相交于A、B兩點,使A、B兩點關于直線l:ymx6(m0)對稱,求k的值.“點差法”巧解拋物線中點弦題型三、重要結論及證明過程(略)2在拋物線y2mx(m0)中,若直線I與拋物線相交于M、N
11、兩點,點P(xo,y°)是弦MN的中點,弦MN所在的直線I的斜率為kMN,則kMNy0m.同理可證,在拋物線x22my(m0)中,若直線I與拋物線相交于M、N兩點,點P(x0,y0)是弦MN的中點,弦MN所在的直線1I的斜率為kMN,貝yX。m?kMN注意:能用這個公式的條件:(1)直線與拋物線有兩個不同的交點;(2)直線的斜率存在,且不等于零.、典型例題21、設A(x1,y1),B(x2,y2)兩點在拋物線y2x上,l是AB的垂直平分線.(I)當且僅當XiX2取何值時,直線I經過拋物線的焦點F?證明你的結論.(
12、□)當Xi1,X23時,求直線I的方程.(理)當直線I的斜率為2時,求I在y軸上的截距的取值范圍.2.已知拋物線C:y22x,直線ykx2交C于A、B兩點,M是線段AB的中點,過M作x軸的垂線交C于點N.(I)證明:拋物線C在點N處的切線與AB平行;(n)是否存在實數(shù)k使NANB0,若存在,求k的值;若不存在,請說明理由