基于logistic回歸模型的人口預(yù)測(cè)分析

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1、基于Logistic回歸模型的人口預(yù)測(cè)分析尹東旭，李陽(yáng)，馬雨晨指導(dǎo)老師：徐慧(空軍工程大學(xué)，西安XXXXXX)摘要：本文在數(shù)值微分法和最小二乘法曲線擬合的基礎(chǔ)上對(duì)Logistic回歸模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，預(yù)測(cè)了人口城鎮(zhèn)化和老齡化兩個(gè)影響因素以及2016-2030年我國(guó)的人口總數(shù)以及人口所能達(dá)到的最大值并對(duì)其加以檢驗(yàn)。關(guān)鍵詞：Logistic回歸模型；數(shù)值微分；參數(shù)估計(jì)；曲線擬合；人口預(yù)測(cè)1問題重述與社會(huì)背景對(duì)于中國(guó)這樣一個(gè)人口大國(guó)，人口問題始終是制約我們經(jīng)濟(jì)、文化等各方面發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。如何使用數(shù)學(xué)模型來對(duì)我國(guó)的人口增長(zhǎng)進(jìn)行準(zhǔn)確而有效的預(yù)測(cè)，關(guān)乎我國(guó)的人民幸福

2、，更關(guān)乎國(guó)家的發(fā)展大事。近年來中國(guó)的人口發(fā)展呈現(xiàn)了一些新的特點(diǎn)，比如老齡化進(jìn)程加速，男女比例失調(diào)，以及農(nóng)村人口城鎮(zhèn)化，特別是計(jì)劃生育政策的施行，這些都不同水平的影響著人口的增長(zhǎng)，而這些因素影響著人口增長(zhǎng)趨勢(shì)預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。為此，如何綜合考量各方面的因素，較為精確的刻畫出人口增長(zhǎng)趨勢(shì)，是本文的主要目標(biāo)。經(jīng)過分析與討論后，我們著重探討了以下問題：1.如何從中國(guó)的實(shí)際情況和人口增長(zhǎng)的特點(diǎn)出發(fā)，參考表1中的相關(guān)數(shù)據(jù)及其他材料，建立中國(guó)人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型；-21-2如何利用建立的數(shù)學(xué)模型對(duì)中國(guó)人口增長(zhǎng)做出預(yù)測(cè)并加以檢驗(yàn)。1基本假設(shè)1.預(yù)測(cè)時(shí)間內(nèi)沒有重大瘟疫、戰(zhàn)爭(zhēng)、自然災(zāi)害

3、等非正常因素影響人口發(fā)展。從圖1中可以看出2003年60歲以上老人的死亡率因?yàn)镾ARS流行達(dá)到五年年來最大值，其余年份假設(shè)基本保持平穩(wěn)。（見圖1）圖1(數(shù)據(jù)來源于中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒)2.不考慮多胞胎情況。3.忽略人口統(tǒng)計(jì)時(shí)漏報(bào)誤報(bào)現(xiàn)象。4.假設(shè)人口只受我國(guó)國(guó)內(nèi)的出生率、死亡率和遷移因素影響，不考慮國(guó)家之間的移民。-21-1模型的分析與建立1.1logistic模型的介紹Logistic模型是1938年Verhulst—Pearl在修正非密度方程時(shí)提出來的，他認(rèn)為在一定的環(huán)境中種群的增長(zhǎng)總存在一個(gè)上限，當(dāng)種群的數(shù)量逐漸向著上限上升時(shí)實(shí)際增長(zhǎng)率就要逐漸地縮小，所以也被稱

4、為Verhulst—Pearl方程。廣義Logistic曲線可以模仿一些情況的人口增長(zhǎng)（P）的S形曲線。起初階段大致是指數(shù)增長(zhǎng)；然后隨著人口開始變得飽和，增加變慢；最后，達(dá)到成熟時(shí)增加停止，所以又叫sigmoid曲線（S型曲線）。（摘自百度文庫(kù)）logistic方程即微分方程：(摘自百度百科)眾所周知，人口增長(zhǎng)呈現(xiàn)指數(shù)型增長(zhǎng)，但人口是會(huì)受到環(huán)境最大容納量、政策變化、經(jīng)濟(jì)發(fā)展、科技進(jìn)步等的影響，因此這些影響因素都成為一種阻滯作用，而人口越接近最大值，這種阻滯作用就越大，所以，我們?cè)跀?shù)值微分和最小二乘法曲線擬合的基礎(chǔ)上對(duì)Logistic數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了參數(shù)估計(jì)，此方

5、法對(duì)許多事物如經(jīng)濟(jì)、生物種群、醫(yī)療衛(wèi)生的發(fā)展和預(yù)測(cè)具有很大的應(yīng)用價(jià)值。只要滿足指數(shù)增長(zhǎng)的事物（S型曲線），就可以使用這種預(yù)測(cè)方法。1.2logistic模型建立首先，我們不妨設(shè)時(shí)刻t的人口總量為x(t)，并將x(t)看作連續(xù)、可微的函數(shù)。記初始時(shí)刻(t=0)的人口為x0。規(guī)定人口的增長(zhǎng)率為常數(shù)r，即單位時(shí)間內(nèi)x(t)的增量等于r乘以x(t)。我們考慮t到t+?t時(shí)間內(nèi)人口的增量，則有xt+?t-xt=rxt?t(1)-21-令?t→0，則得到x(t)滿足如下的微分方程dxdt=rx,x0=x0(2)對(duì)人口的阻滯體現(xiàn)在對(duì)r的影響上，表現(xiàn)為r隨著人口數(shù)量x的增加而

6、下降．我們不妨把人口的增長(zhǎng)率r表示為關(guān)于人口數(shù)量x的函數(shù)r(x)，顯而易見r(x)為減函數(shù)，于是(2)式可寫為dxdt=r(x)x,x0=x0(3)設(shè)r(x)是x的線性函數(shù)，即rx=r-sx(r>0,s>0)(4)此時(shí)r表示當(dāng)人口數(shù)目比較少時(shí)(理論上設(shè)x=0)的增長(zhǎng)率，就是假設(shè)此時(shí)的人口是不受自然資源等限制的固有增長(zhǎng)率。我們要明確參數(shù)s的含義，可以引入最大人口環(huán)境容納量xm,即我國(guó)在現(xiàn)在及未來國(guó)情下所能容納的最大人口數(shù)量。則當(dāng)x=xm時(shí)，人口達(dá)到最大，此時(shí)人口增長(zhǎng)率為0,即增長(zhǎng)率rxm=r-sxm=0從而得到s=rxm，于是(4)式可改寫為rx=r(1-xxm

7、)(5)將(5)代入(3)得如下的Logistic模型dxdt=rx1-xxm,x0=x0(6)由分離變量法得方程（6）的通解xxm-x=c?rt。利用初始條件得c=x0xm-x0。把c代入通解并簡(jiǎn)化得-21-xt=xm1+xmx0-1e-rt。(7)(7)式可簡(jiǎn)寫為x=xm1+ae-bt，(8)其中a=xmx0-1,b=r。從(8)式可以看出要想預(yù)測(cè)出人口數(shù)量，需求出參數(shù)xm，r或a、b的值。我們采用最小二乘法求Exm,r=i=1nxm1+xmx0-1?-rt-yi2的最小值，通過求?E?xm，?E?r并令它們等于零，利用Matlab軟件進(jìn)行處理可以估算xm

8、，r的值，并對(duì)解取倒數(shù)，得到1x=1x