《探究A對(duì)y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)北師大】.docx

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第一章三角函數(shù)1.6.3探究A對(duì)y=Asinωx+φ的圖象的影響◆教學(xué)目標(biāo)1．結(jié)合實(shí)例，理解參數(shù)A的意義；2．掌握參數(shù)A對(duì)y=Asinωx+φ?qǐng)D象的影響；3．會(huì)利用參數(shù)A對(duì)函數(shù)圖象的影響解決相關(guān)的問(wèn)題．◆教學(xué)重難點(diǎn)◆重點(diǎn)：參數(shù)A的變化對(duì)正弦函數(shù)圖象的影響；由y=sinx通過(guò)圖象變換得到y(tǒng)=Asinωx+φ的圖象．難點(diǎn)：參數(shù)A的變化對(duì)y=Asinωx+φ?qǐng)D象的影響．◆教學(xué)過(guò)程一、新課導(dǎo)入問(wèn)題1：回憶學(xué)習(xí)過(guò)的內(nèi)容，說(shuō)出ω和φ分別對(duì)函數(shù)y=sinωx+φ的圖象的影響．　　答案：在函數(shù)y=sinωx+φ中，T＝2πω是函數(shù)y=sinωx的最小正周期．　　函數(shù)y=sinωx的圖象是將函數(shù)y=sinx圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的1ω（當(dāng)ω>1時(shí)）或伸長(zhǎng)（當(dāng)0<ω<1時(shí)）到原來(lái)的1ω（縱坐標(biāo)不變）得到的．函數(shù)y=sinωx+φ中φ決定了x=0時(shí)的函數(shù)值，稱為初相，ωx+φ稱為相位．二、新知探究問(wèn)題２：在同一平面直角坐標(biāo)系中，用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=4sinx與y=12sinx的圖象，從列表中變量的值以及畫出的圖象兩方面進(jìn)行觀察分析，y=Asinx與y=sinx圖象之間有什么關(guān)系？ 答案：五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表x0π2π3π22πy=sinx010-10y=4sinx0-4040y=12sinx0120-120根據(jù)表中數(shù)據(jù)在同一個(gè)坐標(biāo)系中分別畫出y=4sinx與y=12sinx的圖象并與y=sinx圖象比較，如圖，由圖可以看出y=4sinx圖象是y=sinx圖象縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的4倍，橫坐標(biāo)不變得到．y=12sinx的圖象是y=sinx圖象縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的12倍，橫坐標(biāo)不變得到．所以，y=AsinxA>0的圖象是y=sinx圖象縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)A>1或縮短00的圖象是將函數(shù)y=sinωx+φ的圖象上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)A>1或縮短00的最大值和最小值以及值域是什么呢？答案：函數(shù)y=Asinωx+φA>0的最大值和最小值分別為A和-A值域?yàn)?A,A．問(wèn)題３：函數(shù)y=2sin2x+π6+1與函數(shù)y=sin2x+π6的圖象有什么不同？答案：函數(shù)y=2sin2x+π6+1的圖象可以看作是將函數(shù)y=sin2x+π6的圖象所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變）而得到y(tǒng)=2sin2x+π6的圖象，再把y=2sin2x+π6的圖象上所有點(diǎn)向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到函數(shù)y=2sin2x+π6+1的圖象．問(wèn)題４：通過(guò)對(duì)參數(shù)ω、φ和A這三個(gè)參數(shù)的討論，你能總結(jié)出探究函數(shù)y=Asinωx+φA>0，ω>0，x∈R性質(zhì)的一般步驟嗎？答案：第1步，確定周期T=2πω；第2步，在y=sinx五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(0，0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，-1)，(2π，0)的基礎(chǔ)上確定該函數(shù)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)；第3步，用光滑曲線順次連接五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，即可畫出y=Asinωx+φ 在一個(gè)周期上的圖象，再利用周期性把圖象延拓到R，就得到它在R上的圖象．第4步，借助圖象討論性質(zhì)．實(shí)際上這也是討論周期函數(shù)的一般方法和步驟．追問(wèn)：你能總結(jié)出函數(shù)y=Asinωx+φA>0，ω>0的性質(zhì)嗎？⑴定義域?yàn)镽；⑵值域：-A，A．⑶奇偶性：當(dāng)φ=kπ，k∈Z時(shí)，是奇函數(shù)；當(dāng)φ=π2+kπ，k∈Z時(shí)，是偶函數(shù)；當(dāng)φ≠kπ2,k∈Z時(shí)，是非奇非偶函數(shù)．⑷對(duì)稱性：函數(shù)y=Asinωx+φA>0,ω>0的對(duì)稱軸為直線x=kπ-φ+π2ωk∈Z，對(duì)稱中心為kπ-φω,0k∈Z，并且函數(shù)y=Asinωx+φA>0,ω>0的圖象在對(duì)稱軸處取得最大值或最小值，即若直線x=x0是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，則應(yīng)有ωx0+φ=kπ+π2k∈Z；若y=Asinωx+φA>0,ω>0的圖象關(guān)于點(diǎn)(x0，0)成中心對(duì)稱，則應(yīng)有ωx0+φ=kπk∈Z．⑸單調(diào)性：函數(shù)y=Asinωx+φA>0,ω>0單調(diào)區(qū)間的確定，基本思想是將ωx+φ看作一個(gè)整體，由2kπ-π2≤ωx+φ≤2kπ+π2k∈Z，解出x的范圍，所得區(qū)間即為函數(shù)的增區(qū)間，由2kπ+π2≤ωx+φ≤2kπ+3π2k∈Z，解出x的范圍，所得區(qū)間即為函數(shù)的減區(qū)間．⑹周期性：最小正周期T=2πω．三、應(yīng)用舉例例1畫出函數(shù)y=cos12x的圖象并討論其性質(zhì)．解：方法1：直接運(yùn)用y=Asinωx+φ的結(jié)果.先變形，y=cos12x=sinπ2-12x=sin-12x+π2，再用上面的一般方法來(lái)研究． 方法2：使用類似y=Asinωx+φ的研究方法.⑴周期因?yàn)閥=cosx的周期是2π，所以cos12x=cos12x+π2=cos12x+π4，該函數(shù)的周期是4π．⑵圖象刻畫y=cosx在0，2π的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(0，1)，(π2，0)，(π，-1)，(3π2，0)，(2π，1)由此得到刻畫y=cos12x在0，4π的圖象基本形狀的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(0，1)，(π，0)，(2π，-1)，(3π，0)，(4π，1)．用光滑曲線順次連接五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，即可畫出y=cos12x在一個(gè)周期上0，4π的圖象，再利用周期性把圖象延拓到R，就得到它在R上的圖象．如圖⑶其他性質(zhì)設(shè)u=12x，則函數(shù)y=cosu的單調(diào)增區(qū)間為2k-1π，2kπ，k∈Z.由2kπ-π≤12x≤2kπ，k∈Z，得4kπ-2π≤x≤4kπ，k∈Z，所以函數(shù)y=cos12x單調(diào)遞增區(qū)間為4kπ-2π，4kπ，k∈Z．類似地，函數(shù)y=cos12x單調(diào)遞減區(qū)間為4kπ，4kπ+2π，k∈Z．函數(shù)y=cosu，u∈R取得最大值時(shí)的u的集合是uu=2kπ，k∈Z由12x=2kπ，得x=4kπ，k∈Z所以當(dāng)x∈xx=4kπ，k∈Z時(shí)函數(shù)y=cos12x，x∈R取得最大值1．類似地，當(dāng)x∈xx=4kπ+2π，k∈Z時(shí)函數(shù)y=cos12x，x∈R取得最大值-1． 函數(shù)y=cos12x，，x∈R得值域?yàn)?1，1.四、課堂練習(xí)1.為了得到y(tǒng)=14sin2x-π3的圖象只需要將y=13sin2x-π3的圖象上的每個(gè)點(diǎn)（）A．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的43倍，縱坐標(biāo)不變B．橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的34倍，縱坐標(biāo)不變C．縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的43倍，橫坐標(biāo)不變D．縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的34倍，橫坐標(biāo)不變2．函數(shù)y=cos2x-π4的圖象上各點(diǎn)向右平移π2個(gè)單位，再把橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，求得到的函數(shù)解析式．3．求函數(shù)y=12cos3x+π3的單調(diào)區(qū)間．參考答案：1.解析：為了得到y(tǒng)=14sin2x-π3的圖象只需要將y=13sin2x-π3的圖象上的每個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的34倍，橫坐標(biāo)不變，答案選D．2.解析：y=cos2x-π4的圖象上各點(diǎn)向右平移π2個(gè)單位，再把橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，得到的函數(shù)解析式是y=-12cosx-π4．3.解析:函數(shù)y=12cos3x+π3單調(diào)遞增區(qū)間為23kπ-4π9，23kπ-π9，k∈Z．函數(shù)y=12cos3x+π3單調(diào)遞減區(qū)間為23kπ-π9，23kπ+2π9，k∈Z．設(shè)u=3x+π3，則函數(shù)y=cosu的單調(diào)增區(qū)間為2k-1π，2kπ，k∈Z.由2kπ-π≤3x+π3≤2kπ，k∈Z，得23kπ-4π9≤x≤23kπ-π9，k∈Z，所以函數(shù)y=12cos3x+π3單調(diào)遞增區(qū)間為23kπ-4π9，23kπ-π9，k∈Z．類似地，函數(shù)y=12cos3x+π3單調(diào)遞減區(qū)間為23kπ-π9，23kπ+2π9，k∈Z． 四、課堂小結(jié)1.函數(shù)y=Asinωx+φA>0的圖象是將函數(shù)y=sinωx+φ的圖象上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)A>1或縮短00，ω>0，x∈R性質(zhì)的一般步驟是：第1步，確定周期T=2πω；第2步，在y=sinx五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(0，0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，-1)，(2π，0)的基礎(chǔ)上確定該函數(shù)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)；第3步，用光滑曲線順次連接五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，即可畫出y=Asinωx+φ在一個(gè)周期上的圖象，再利用周期性把圖象延拓到R，就得到它在R上的圖象．第4步，借助圖象討論性質(zhì)．五、布置作業(yè)教材第49頁(yè)練習(xí)A組題．