《刻畫空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的公理(2)》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)北師大】.docx

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第六章立體幾何初步6.3.2刻畫空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的公理(2)◆教學(xué)目標(biāo)1.認(rèn)識(shí)基本事實(shí)4和定理，并能做簡單的應(yīng)用．2.認(rèn)識(shí)異面直線的概念，識(shí)別異面直線，并能夠求簡單的異面直線夾角.3.提升直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．◆教學(xué)重難點(diǎn)◆教學(xué)重點(diǎn)：認(rèn)識(shí)基本事實(shí)4、定理、異面直線的概念及夾角．教學(xué)難點(diǎn)：通過平移，體會(huì)將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的思想，求異面直線的夾角．◆教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入回顧：上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了哪些刻畫空間點(diǎn)、線、面的公理及推論？答案：1、基本事實(shí)1：過不在一條直線的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.2、基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).3、推論1：一條直線和該直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面.4、推論2：兩條相交直線確定一個(gè)平面.5、推論3：兩條平行直線確定一個(gè)平面.6、基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.今天我們要繼續(xù)學(xué)習(xí)刻畫點(diǎn)、線、面的基本事實(shí).設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)，鞏固上一課時(shí)的知識(shí)，進(jìn)而引出本次課的課題，有助于知識(shí)的遷移.二、新知探究問題1：我們知道在平面中，平行線具有傳遞性，在空間中，平行線是否仍具有傳遞性？追問：如圖，已知AB∥CD，CD∥C′D′，那么AB∥C′D′嗎？答案：平行. 基本事實(shí)4：平行于同一直線的兩條直線平行.（空間平行線的傳遞性）符號(hào)語言：若a∥b，b∥c，則a∥c.思考：兩條沒有公共點(diǎn)的直線一定平行嗎？答案：不一定.不同在任何一個(gè)平面內(nèi)（不共面）的兩條直線稱為異面直線.異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).追問1：長方體中與AD異面的直線有幾條？答案：4條，BB′、CC′、A′B′、C′D′.總結(jié)：空間直線間的位置關(guān)系可分為共面直線和異面直線，其中共面直線又分為平行直線和相交直線.相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；追問2：若空間中有直線a、b、c，且a⊥b，b⊥c，那么a⊥c成立嗎？答案：不成立.垂直沒有傳遞性.問題2：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角的大小有什么關(guān)系？分析：通過平移，空間中兩角關(guān)系可轉(zhuǎn)化為平面中兩角關(guān)系. 答案：相等或互補(bǔ).定理：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).問題3：正方體ABCD-A′B′C′D′中，E為BC的中點(diǎn)，判斷直線A′C′、B′C′、C′E、C′C與直線AB的位置關(guān)系.答案：異面（各自與AB的相對(duì)位置卻不同）.僅用“異面”不足以描述異面直線的相對(duì)位置，我們是否可以類比平面幾何中直線相交夾角的概念，引入“異面直線所成的角”.追問1：如何確定“異面直線所成的角”？答案：平移.如圖，已知兩條異面直線a，b，過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，這時(shí)a′，b′共面，我們把a(bǔ)′與b′所成的不大于90°的角稱為異面直線a，b所成的角（或夾角）.思考：異面直線a，b所成角的范圍是多少？答案：(0°，90°]假設(shè)兩條異面直線a，b所成的角為0°，則兩直線平行（共面），故不存在0°角的情況； 若兩條異面直線a，b所成的角為直角，則稱這兩條直線互相垂直（異面垂直），記作：a⊥b.故現(xiàn)在兩直線垂直關(guān)系包括：相交垂直（共面），異面垂直，都記作a⊥b.研究異面直線所成的角，就是通過平移，使得空間問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題.這種解決問題的思想方法在后面解決問題中很常用.三、應(yīng)用舉例例1四個(gè)頂點(diǎn)不在同一平面內(nèi)的四邊形稱為空間四邊形.如圖，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是平行四邊形.解：如圖，連接BD，∵FG是△CBD的中位線∴FG∥BD，F(xiàn)G=12BD又∵EH是△ABD的中位線∴EH∥BD，EH=12BD∴FG∥EH，F(xiàn)G=EH∴四邊形EFGH是平行四邊形例2如圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為a.（1）正方體的哪些棱所在的直線與直線BC′是異面直線？（2）求異面直線AA′與BC所成的角；（3）求異面直線BC′與AC所成的角. 解：（1）A′A，A′B′，A′D′，DA，DC，DD′.（2）∵BC∥AD，AD⊥AA′∴AA′與BC所成的角為90°（3）連接A′B，A′C′，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，易得AC∥A′C′∴∠BC′A′即所求角∵A′B=A′C′=BC′∴△BA′C′是等邊三角形∴BC′與AC所成的角為60°總結(jié)：求兩條異面直線所成的角的一般步驟：（1）構(gòu)造：根據(jù)異面直線的定義，用平移法(常用三角形中位線、平行四邊形性質(zhì)等)作出異面直線所成的角．（2）證明：證明作出的角就是要求的角．（3）計(jì)算：求角度，常放在三角形內(nèi)求解．（4）結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角.設(shè)計(jì)意圖：通過例題，熟悉異面直線的相關(guān)解題方法，并體會(huì)將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的思想．四、課堂練習(xí)1．如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，G，H，M，N分別是所在棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.GH和MN平行，GH和EF相交B.GH和MN平行，MN和EF相交 C.GH和MN相交，GH和EF異面D.GH和EF異面，MN和EF異面2.如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′中，AA′=a，E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點(diǎn)，求直線AD′與EF的夾角.3.如圖，在空間四邊形ABCD中，已知AD=BC=2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，若EF=3，求異面直線AD，BC所成角的大小.參考答案：1.∵GH∥A′B，A′B∥D′C，∴GH∥D′C又∵M(jìn)N∥D′C，∴GH∥MN.由異面直線定義可知，GH與EF異面.延長EF，MN，易證二者相交.故選B.2.如圖，連接BC′，BD在正方體ABCD-A′B′C′D′中，易得AD′∥BC′∵E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點(diǎn) ∴EF∥BD連接C′D易得△BCD、△CDC′、△BCC′為全等的等腰直角三角形∴BD=BC′=C′D∴△BC′D是等邊三角形∴∠DBC′=60°∴直線AD′與EF的夾角為60°.3.取BD中點(diǎn)G，連接EG、FG∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)∴EG、FG分別是△ABD、△BCD的中位線∴EG=12AD=1，F(xiàn)G=12BC=1，EG∥AD，F(xiàn)G∥BC∴∠EGF即所求角或所求角的補(bǔ)角由余弦定理得cos∠EGF=EG2+FG2-EF22EG?FG=12+12-(3)22×1×1=-12∴∠EGF=120°∴異面直線AD，BC所成角的大小為180°?120°=60°.五、課堂小結(jié)1、基本事實(shí)4：平行于同一直線的兩條直線平行（空間平行線的傳遞性）.2、相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).3、不同在任何一個(gè)平面內(nèi)（不共面）的兩條直線稱為異面直線.4、異面直線所成的角：通過平移把空間問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題.六、布置作業(yè)教材第214頁習(xí)題6-3A組第3題，215頁B組第1題．