《三角函數(shù)的簡單應(yīng)用》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)必修第二冊北師大】.docx

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第一章三角函數(shù)1.8三角函數(shù)的簡單應(yīng)用◆教學(xué)目標(biāo)1．對一些簡單的周期變化，能夠選擇適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型，用來刻畫和解決實(shí)際問題；2．通過解決周期變化的數(shù)學(xué)應(yīng)用過程，進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)建模的方法，提高數(shù)學(xué)建模的能力．◆教學(xué)重難點(diǎn)◆重點(diǎn)：利用所學(xué)的三角函數(shù)的相關(guān)知識，解決具有周期變化規(guī)律的水車問題．難點(diǎn)：利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題．◆教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入現(xiàn)實(shí)世界和生產(chǎn)生活中，存在著大量的周期變化的現(xiàn)象．例如，單擺、彈簧等簡諧振動可以用三角函數(shù)表達(dá)為y=Asinωx+φ，其中x表示時間，y表示位移，A表示振幅，ω2π表示頻率，φ表示初相位．如圖是單擺的示意圖，點(diǎn)O為單擺的平衡位置，如果規(guī)定擺球向右偏移的位移為正，則當(dāng)擺球到達(dá)點(diǎn)C時，擺球的位移y達(dá)到最大值A(chǔ)；當(dāng)擺球到達(dá)點(diǎn)O時，擺球的位移y為0；當(dāng)擺球到達(dá)點(diǎn)D時，擺球的位移y達(dá)到反方向最大值-A；當(dāng)擺球再次到達(dá)點(diǎn)O時，擺球的位移y又一次為O；當(dāng)擺球再次到達(dá)點(diǎn)C時，擺球的位移y又一次達(dá)到最大值A(chǔ)．這樣周而復(fù)始，形成周期變化．由此我們不難體會到周期變化現(xiàn)象是自然界中常見的現(xiàn)象之一，而三角函數(shù)是研究周期變化現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在這一節(jié)里，我們將通過實(shí)例，初步體會如何利用三角函數(shù)研究簡單的實(shí)際問題．二、新知探究 （水車問題）水車是一種利用水流的動力進(jìn)行灌溉的工具．如圖，是一個水車工作示意圖，設(shè)水車（即圓周）的直徑為3m，其中心（即圓心）O到水面的距離b=1.2m，逆時針勻速旋轉(zhuǎn)一周的時間是43min．水車邊緣上的一點(diǎn)P距水面的高度為h(單位：m)．問題1：求h與旋轉(zhuǎn)時間t(單位：s)的函數(shù)解析式，并畫出這個函數(shù)的圖象．答案：設(shè)點(diǎn)P在水面上時的高度為0，當(dāng)P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到水面以下時，點(diǎn)P距水面的高度為負(fù)值．(1)過點(diǎn)P向水面作垂線，交水面于點(diǎn)M，PM的長度為點(diǎn)P的高度h．過水車中心O作PM的垂線，交PM于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)Q為水車與水面交點(diǎn)，∠QON=φ．由已知，水車的半徑R=1.5m；水車中心到水面的距離b=1.2m；水車旋轉(zhuǎn)一周的時間T=43min=80s，轉(zhuǎn)速為ω=2πT=40πrad/s．不妨從水車與水面交點(diǎn)Q開始計時(t=0)，旋轉(zhuǎn)ts水車轉(zhuǎn)動的角的大小為α，即∠QOP=α=ωt=π40trad．從圖中不難看出：h=PM=PN+NM=Rsinα-φ+b．因?yàn)閟inφ=1.21.5，所以φ≈53.1°=0.295πrad．因此h≈1.5sinπ40t-0.295π+1.2，這就是點(diǎn)P距水面的高度h關(guān)于時間t的函數(shù)解析式．找出使π40t-0.295π取0，π2，π，3π2，2π的五個關(guān)鍵點(diǎn)，列表(如下圖）、描點(diǎn)，畫出函數(shù)在區(qū)間0，91.8上的圖象(如下圖）：t11.831.851.871.891.8 h≈1.5sinπ40t-0.295π+1.21.22.71.2-0.31.2問題2：當(dāng)雨季河水上漲或旱季河流水量減少時，所求得的函數(shù)解析式中的參數(shù)將會發(fā)生哪些變化？若水車轉(zhuǎn)速加快或減慢，函數(shù)解析式中的參數(shù)又會受到怎樣的影響？答案：當(dāng)雨季河水上漲或旱季河流水量減少，將造成水車中心O與水面距離的改變，導(dǎo)致函數(shù)解析式中的參數(shù)b發(fā)生變化．水面上漲時參數(shù)b減??；水面回落時參數(shù)b增大．如果水車轉(zhuǎn)速加快，將使周期T減小，轉(zhuǎn)速減慢則使周期T增大．二、應(yīng)用舉例1．下面是一份某旅游城市某年的月平均氣溫統(tǒng)計表．x（月）123456t（℃）17.317.917.315.813.711.6x（月）789101112t（℃）10.069.510.0611.613.715.8(1)根據(jù)這個統(tǒng)計表提供的數(shù)據(jù)，為該城市的月平均氣溫做一個函數(shù)模型；(2)當(dāng)月平均氣溫不低于13.7℃時，該城市最適宜旅游，試根據(jù)你所確定的函數(shù)模型，確定該城市的最佳旅游時間．?答案：(1)以月份x為橫軸，氣溫t為縱軸作出圖象，并以光滑的曲線連接各散點(diǎn)，得到如圖所示曲線． 由于該城市月平均氣溫的變化是以12個月為周期的函數(shù)，根據(jù)散點(diǎn)圖所繪制的圖象，我們可以考慮用t=Acosωx+φ+k來描述．因?yàn)樽罡邭鉁貫?7.9℃，最低氣溫為9.5℃，所以A=17.9-9.52=4.2，k=17.9+9.52=13.7，T=12=2πω，則ω=π6．為x=2時t取得最大值，所以cosπ6×2+φ=1，所以2π6+φ=2kπk∈Z，可取φ=-π3，所以t=4.cosπ6x-π3+13.7為該城市的月平均氣溫做一個函數(shù)模型．⑵如圖所示，作直線t＝13.7，與函數(shù)圖象交于兩點(diǎn)（5，13.7），（11，13.7）．由圖可得該年1~5月份和11~12月份的月平均氣溫不低于13.7℃，是該城市的最佳旅游時間．二、課堂練習(xí)1．如圖所示為一簡諧運(yùn)動的圖象，則下列判斷正確的是（　?。〢．該質(zhì)點(diǎn)的振動周期為0.7sB．該質(zhì)點(diǎn)的振幅為-5cmC．該質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時的振動速度最大D．該質(zhì)點(diǎn)在0.3s和0.7s時的加速度為零　　 2．某昆蟲種群數(shù)量1月1日低到700只，其數(shù)量隨時間變化逐漸增加，到當(dāng)年7月1日高達(dá)900只，其數(shù)量在這兩個值之間按正弦曲線規(guī)律變化．⑴求出這種昆蟲種群數(shù)量y（單位：只）關(guān)于時間t(單位：月)的函數(shù)解析式；⑵畫出這個函數(shù)的圖象．答案：1．解析：由圖象可知T2=0.7-0.3=0.4，∴T=0.8，A錯誤；由振幅的定義知，該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5cm，B錯誤；質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時，位移最大，此時速度為0，C錯誤；在0.3s和0.7s時，質(zhì)點(diǎn)的位移為0，則受到的回復(fù)力為0，此時加速度為零，故D正確．故選D．2．(1)設(shè)所求函數(shù)解析式為y=Asinωt+φ+b，則b=700+9002=800，A=900-7002=100，且T2=6,所以T=12=2πω，則ω=π6，所以y=100sinπ6t+φ+800．又因?yàn)樵?月1日時，昆蟲種群數(shù)量最低，即當(dāng)t=1時，y取得最小值，所以sinπ6×1+φ=-1，所以π6+φ=-π2+2kπk∈Z,可取φ=-2π3，所以y=100sinπ6t-2π3+800．(2)由于函數(shù)y=100sinπ6t-2π3+800，通過取值列表，可得到圖象如圖所示：五、課堂小結(jié)1．解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟：第1步：審清題意，讀懂題目中的“文字”“圖象”“符號”等語言，理解所反映的實(shí)際問題的背景，提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題． 第2步：建立函數(shù)模型，整理數(shù)據(jù)，引入變量，找出變化規(guī)律，運(yùn)用已掌握的三角函數(shù)知識、物理知識以及其他相關(guān)知識建立解析式，即建立三角函數(shù)模型．第3步：解答函數(shù)模型，利用所學(xué)的三角函數(shù)知識解答得到的三角函數(shù)模型，求得結(jié)果．第4步：將所得結(jié)果翻譯成實(shí)際問題的答案，得出結(jié)論．六、布置作業(yè)教材第66頁習(xí)題1-8A組、B組．