《基本立體圖形》示范公開課教案【高中數學必修第二冊北師大】.docx

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第六章立體幾何初步6.1基本立體圖形第一課時基本立體圖形◆教學目標1．通過豐富的模型分析，認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征；2．能夠運用柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構；3．培養(yǎng)學生觀察、分析、思考的科學態(tài)度.◆教學重難點◆教學重點：簡單幾何體的有關概念．教學難點：對簡單多面體中棱柱、棱臺概念的理解．◆教學過程一、新課導入想一想：觀察下列圖片，你能發(fā)現(xiàn)哪些幾何體？答案：有正方體、圓錐、球…二、新知探究問題1：在平面幾何中，構成圖形的基本元素有哪些呢？答案：點和線.追問1：以長方體為例，請同學們思考構成立體圖形的基本元素有哪些？答案：點、線、面. 今天我們從常見的長方體開始，學習基本立體圖形．我們稱，相鄰的兩個面的公共邊，叫做長方體的棱；棱和棱的公共點，叫做長方體的頂點．追問2：長方體共有幾個面，幾條棱，幾個頂點？答案：6個面，12條棱，8個頂點．追問3：通常我們用什么圖形來表示平面呢？答案：平行四邊形．總結：平面是空間最基本的圖形；一般地，用平行四邊形表示平面．平面通常用希臘字母α，β等表示，也可以用表示平行四邊形頂點的字母表示，如平面ABCD；還可以用表示平行四邊形頂點的兩個相對頂點的字母表示，如平面AC．當兩個平面相交時，可以把被遮擋部分畫成虛線或者不畫，這樣看起來更加立體．設計意圖：通過圖片實例引出空間幾何體的基本構成要素，長方體的例子學生更加熟悉、清晰，易于理解．問題2：觀察下列幾何體，根據圍成幾何體的面的特征，可以把幾何體分成幾類？答案：第1、4、5個分一類，第2、3、6個分為另一類．追問1：你的分類標準是什么呢？答案：根據圍成幾何體的面是否含有曲面分類，（1，4，5都是由平面圍成的，2，3，6是由平面和曲面圍成）．多面體及相關概念：我們把由平面多邊形圍成的幾何體稱為多面體．這些多邊形稱為多面體的面，兩個相鄰的面的公共邊稱為多面體的棱，棱與棱的公共點稱為多面體的頂點．想一想：觀察下列多面體，請同學們相互討論，思考它們還有什么共同特征？ 答案：每個多面體都有兩個面是邊數相同的多邊形，且它們所在的平面都平行，其余各面是由平行四邊形圍成的．棱柱及其相關概念：像這樣，有兩個面相互平行；其余各面都是平行四邊形，由這些面圍成的幾何體稱為棱柱.兩個互相平行的面稱為棱柱的底面，簡稱底，其余各面稱為棱柱的側面，相鄰側面的公共邊稱為棱柱的側棱，側面與底面的公共頂點稱為棱柱的頂點，既不在同一底面上，也不在同一側面上的兩個頂點的連線稱為棱柱的對角線，兩底面間的距離，即棱柱的高．棱柱的表示：表示：棱柱可以用它的兩個底面各頂點的字母來表示，也可以用它的某一條對角線的兩個端點字母來表示，如圖中的棱柱可以表示為棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1或棱柱AC1．問題3：圖中的棱柱有哪些不同點？說說你的看法.答案：它們有兩個面的邊數不同，分別是三角形、四邊形、六邊形、四邊形、五邊形.棱柱的分類：棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形......這樣的棱柱分別稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱......追問1：圖中的棱柱分別是幾棱柱？答案：（1）三棱柱，（2）四棱柱，（3）六棱柱，（4）四棱柱，（5）五棱柱．直棱柱與正棱柱的概念：側面平行四邊形都是矩形的棱柱稱為直棱柱，其他的棱柱稱為斜棱柱．底面是正多邊形的直棱柱稱為正棱柱．平行六面體的概念：底面是平行四邊形的棱柱稱為平行六面體.側棱與底面垂直的平行六面體稱為直平行六面體；底面是矩形的直平行六面體是長方體；棱長都相等的長方體是正方體. 想一想：長方體是棱柱嗎？如果是，滿足什么條件的棱柱才是長方體？答案：是.底面為矩形的直棱柱是長方體.追問1：那正方體呢？答案：棱長都相等的正棱柱是正方體.問題4：請同學們觀察下面棱柱，你能發(fā)現(xiàn)棱柱的哪些性質？請大家相互以小組為單位討論.答案：（1）側棱都相等；（2）兩個底面與平行于底面的截面都是全等的多邊形；（3）過不相鄰兩條側棱的截面都是平行四邊形.總結：以上3條是棱柱的一些常用性質，繼續(xù)學習后，后面可以證明.設計意圖：通過對幾何體的直觀分類，引出多面體的概念，再總結出棱柱的相關概念.通過形象的圖形讓學生直觀的體會棱柱的特征．想一想：觀察下列多面體，請同學們觀察這一類多面體有什么共同特征？答案：有一面是多邊形，其余各面都是三角形，且三角形有一個公共頂點．棱錐及其相關概念：上圖中的多面體，均由平面圖形圍成，其中一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體稱為棱錐． 棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形......這樣的棱錐分別稱為三棱錐、四棱錐、五棱錐......其中，三棱錐也稱四面體.（如上圖從左至右分別是三棱錐、四棱錐、五棱錐.）多邊形ABCDEF是棱錐的底面，簡稱底，其余各面稱為棱錐的側面，相鄰側面的公共邊稱為棱錐的側棱，各個側面的公共點稱為棱錐的頂點，頂點到底面的距離稱為棱錐的高.正棱錐及斜高的概念：如果棱錐的底面是正多邊形，且它的頂點在過底面中心且與底面垂直的直線上，那么這個棱錐稱為正棱錐．正棱錐的各側面都是全等的等腰三角形，這些等腰三角形底邊上的高都相等，稱為正棱錐的斜高．棱錐的表示：表示：棱錐可以用它的頂點和底面各頂點的字母來表示，也可以用頂點和底面一條對角線端點的字母來表示，如圖中的棱錐可以表示為棱錐S-ABCDEF或棱錐S-AC．問題5：棱錐有沒有類似棱柱的性質呢？答案：棱錐的側棱相交于一點，如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似.設計意圖：通過形象的圖形，引出棱錐的相關概念，使學生形象的感知棱錐的相關特征．棱臺及其相關概念：用一個平行于底面的平面去截棱錐，截面與底面之間的部分稱為棱臺．原棱錐的底面和截面分別稱為棱臺的下底面和上底面，其余各面稱為棱臺的側面，相鄰兩個側面的公共邊稱為棱臺的側棱，上底面、下底面之間的距離稱為棱臺的高. 棱臺的分類：由三棱錐、四棱錐、五棱錐......所截得的棱臺，分別稱為三棱臺、四棱臺、五棱臺......正棱臺及斜高的概念：正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺．正棱臺各側面都是全等的等腰梯形，這些等腰梯形的高稱為正棱臺的斜高．棱臺的表示：表示：棱臺可以用它的兩個底面各頂點的字母來表示，也可以用它的某一條對角線的兩個端點字母來表示，如圖中的棱臺可以表示為棱臺ABC-A1B1C1或棱臺AC1．思考：有兩個面平行的多面體一定是棱臺嗎？答案：不一定.追問1：如何判斷一個多面體是不是棱臺？答案：先看有沒有平行的兩個面，再延長側棱，看是否交于一點.總結：判斷一個多面體是不是棱臺關鍵要看側棱延長后是否交于一點.設計意圖：緊接著棱錐的學習，引出棱臺的相關概念，使學生形象的感知棱錐的相關特征，并理解棱錐與棱臺的關系．問題6：我們知道點動成線、線動成面、面動成體，想一想，球可以看成是由哪一個平面圖形通過怎樣運動得到的呢？球面與球體及其相關概念：以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，將半圓旋轉一周所形成的曲面稱為球面．球面所圍成的幾何體稱為球體，簡稱球．半圓的圓心稱為球心，連接球心和球面上任意一點的線段稱為球的半徑，連接球面上兩點并且過球心的線段稱為球的直徑. 球的表示：球用表示它球心的字母來表示，如球O．追問：請同學們聯(lián)系平面中圓的性質，猜想球體有哪些性質？答案：（1）球面上所有的點到球心的距離都等于球的半徑；（2）用任何一個平面去截球面，得到的截面都是圓，其中過球心的平面截球面得到的圓的半徑最大，等于球的半徑.旋轉面、旋轉體的概念：一個平面曲線繞著它所在平面內的一條定直線旋轉一周所形成的曲面稱為旋轉面，這條定直線稱為旋轉軸．封閉的旋轉面圍成的幾何體稱為旋轉體．思考：前面我們分出的第二類幾何體是旋轉體嗎？如果是，它們分別是由什么平面圖形旋轉而來的？答案：第一個是直角梯形旋轉而來的，第二個是直角三角形旋轉而來的，第三個是長方形旋轉而來的.圓柱、圓錐、圓臺及其相關概念：分別以矩形的一邊、直角三角形的一條直角邊、直角梯形垂直于底邊的腰所在直線為旋轉軸，其余各邊旋轉一周而形成的面所圍成的幾何體分別稱為圓柱、圓錐、圓臺．需要注意，與棱臺類似，圓臺也可以看作是用平行于圓錐底面的平面截這個圓錐而得到的. 在旋轉軸上的這條邊的長度稱為它們的高，垂直于旋轉軸的邊旋轉而成的圓面稱為它們的底面，不垂直于旋轉軸的邊旋轉而成的曲面稱為它們的側面，無論旋轉到哪里，旋轉成側面的邊都稱為側面的母線.圓柱、圓錐、圓臺的表示：表示：圓柱、圓錐、圓臺可以用表示它的旋轉軸的字母來表示，如圓柱O1O、圓錐SO、圓臺O1O．問題7：請大家聯(lián)系前面棱柱、棱錐、棱臺的性質，思考圓柱、圓錐、圓臺有哪些性質呢？答案：（1）平行于圓柱、圓錐、圓臺的底面的截面都是圓；（2）過圓柱、圓錐、圓臺旋轉軸的截面分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形.設計意圖：通過球體這個常見又容易理解的幾何體引出旋轉體的概念，并由于前面棱柱、棱錐、棱臺的學習，這里快速引出圓柱、圓錐、圓臺及其相關概念．三、應用舉例例1根據下列關于空間幾何體的描述,說出幾何體的名稱:（1）由6個平行四邊形圍成的幾何體;（2）由7個面圍成,其中一個面是六邊形,其余6個面都是有一個公共頂點的三角形;（3）由5個面圍成的幾何體,其中上、下兩個面是相似三角形,其余三個面都是梯形,并且這些梯形的腰延長后能相交于一點．分析：根據棱柱、棱錐、棱臺的幾何結構特征進行判斷．解：(1)這是一個上、下底面是平行四邊形,四個側面也是平行四邊形的四棱柱（或平行六面體）;(2)這是一個六棱錐,其中六邊形面是底,其余的三角形面是側面;(3)這是一個三棱臺,其中相似的兩個三角形面是底面,其余三個梯形面是側面． 例2一個正四棱臺的高是17cm,上、下底面邊長分別為4cm和16cm.求這個棱臺的側棱長和斜高．解：如圖所示,設棱臺的兩底面的中心分別是O1、O，B1C1和BC的中點分別是E1和E,連接O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE,則四邊形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形∵A1B1=4cm，AB=16cm,∴O1E1=2cm，OE=8cm,O1B1=22cm，OB=82cm，∴B1B2=O1O2+(OB-O1B1)2=361cm2E1E2=O1O2+(OE-O1E1)2=325cm2∴B1B=19cm，E1E=513cm∴這個棱臺的側棱長為19cm,斜高為513cm.設計意圖：通過例題，熟悉基本立體圖形的相關特征和性質，并熟悉利用相關性質進行應用．方法總結：畫圖是解決空間幾何問題的有效手段，問題能否解決，往往取決于圖能夠清晰明確的畫出來．四、課堂練習1．下列說法中正確的是（）A.斜棱柱的側面中可能有矩形B.有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐C.直角三角形繞它的一條邊所在直線旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐D.棱臺各側棱的延長線不一定交于一點2．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，則AC1=. 3.若將圖中的平面圖形旋轉一周，試說出它形成的幾何體的結構特征．參考答案：1．A.斜棱柱的側面中也可以有矩形,所以A正確;B.有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形,由這些面圍成的幾何體叫做棱錐,所以B錯誤;C.直角三角形繞它的一條直角邊所在直線旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐，所以C錯誤；D.棱臺是用平行于底面的平面截棱錐所得的幾何體，它的側棱延長后交于一點，所以D錯誤.故選：A．2.由勾股定理可得，AC1=AB2+BC2+CC12=AB2+AD2+AA12=a2+b2+c2故答案為a2+b2+c2.3.將圖中的平面圖形旋轉一周，形成的幾何體是圓錐、圓臺和圓柱的組合體，并且圓錐底面與圓臺的下底面重合，圓柱的上底面和圓臺的上底面重合．?五、課堂小結1.點、線、面是構成空間幾何體的基本要素．2.常見基本立體圖形有多面體和旋轉體．其中常見的多面體有棱柱、棱錐、棱臺；常見的旋轉體有球、圓柱、圓錐、圓臺． 六、布置作業(yè)教材第198頁練習第2，3題．