湖南省臨澧縣第一中學2022-2023學年高二下學期入學考數(shù)學試卷（含解析）

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臨澧縣第一中學2022-2023學年高二永通班下學期入學考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.點為拋物線的準線上一點，直線交拋物線于M，N兩點，若的面積為20，則（）A.1B.C.2D.【答案】C【詳解】由題意不妨設，則的面積為，解得.故選：C2.過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則所在直線的方程為（）A.B.C.D.【答案】B【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，所以，的中點為，則以為直徑的圓的方程為，所以為兩圓的公共弦，因此兩圓的方法作差得所在直線方程為，即.故選：B.3.若點和點到直線的距離依次為和，則這樣的直線有

1A.條B.條C.條D.條【答案】C【解析】【詳解】試題分析：以點為圓心，以為半徑長的圓的方程為，以點為圓心，且以為半徑的圓的方程為，則直線為兩圓的公切線，，即圓與圓外切，因此兩圓的公切線有條，即直線有三條，故選C.4.已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則的值是A.1B.C.D.【答案】D【詳解】是等比數(shù)列是等差數(shù)列本題正確選項：5.已知雙曲線C：（，）的左右焦點分別為，，實軸長為6，漸近線方程為，動點在雙曲線左支上，點為圓上一點，則的最小值為（）A.8B.9C.10D.11【答案】B【詳解】由題意可得，即，

2漸近線方程為，即有，即，可得雙曲線方程為，焦點為，，由雙曲線的定義可得，由圓可得，半徑，，連接，交雙曲線于，交圓于，此時取得最小值，且為，則的最小值為.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線方程的求解，雙曲線上的點到定點的距離最值問題，考查數(shù)形結合思想，是中檔題.6.已知數(shù)列滿足…，設數(shù)列滿足：,數(shù)列的前項和為，若恒成立，則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】D【詳解】因為…，所以…，故即，其中.而令，則，故，.

3，故，故恒成立等價于即恒成立，化簡得到，因為，故.故選D.7.已知雙曲線的上、下焦點分別是，，若雙曲線C上存在點P使得，，則其離心率的值是（）A.B.2C.D.3【答案】D【詳解】設，則①，利用向量加法法則知，則即，故②，設，則，③，由②③得，即，又，所以，即，即

4所以雙曲線離心率值是3故選：D8.已知函數(shù)的定義域為，對任意的實數(shù)，，當時，且數(shù)列滿足，且，則下列結論成立的是（）A.B.C.D.【答案】B【詳解】依題意，對任意的實數(shù)，等式成立，令得，所以或，又當時，所以，所以，令，則，因為當時，不妨令，則，所以對任意有，任取，則，因為，所以，所以，即，單調遞減，所以有唯一解，又數(shù)列滿足，所以，又因為，所以，，

5，由數(shù)列的遞推關系知數(shù)列為以3為周期的數(shù)列，所以，，，，，，當時，所以，，所以，，又，所以故選：B二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知過點A（a，0）作曲線的切線有且僅有兩條，則實數(shù)a的值可以是（）A.－2B.4C.0D.6【答案】AD【詳解】設切點為，則，所以切線方程為：，切線過點A（a，0），代入得：，即方程有兩個解，則有或．故選：AD.10.已知拋物線焦點為，，

6是拋物線上兩點，則下列結論正確的是（）A.點的坐標為B.若直線過點，則C.若，則的最小值為D.若，則線段的中點到軸的距離為【答案】BCD【詳解】解：拋物線，即，對于A，由拋物線方程知其焦點在軸上，焦點為，故A錯誤；對于B，依題意，直線斜率存在，設其方程為，由，消去整理得，，，故B正確；對于C，若，則直線過焦點，所以，所以當時，的最小值為拋物線的通徑長，故C正確；對于D，，，即點縱坐標為，到軸的距離為，故D正確.故選：BCD.11.無窮數(shù)列的前項和，其中，，為實數(shù)，則（）

7A.可能為等差數(shù)列B.可能為等比數(shù)列C.中一定存在連續(xù)三項構成等差數(shù)列D.中一定存在連續(xù)三項構成等比數(shù)列【答案】ABC【詳解】當時，．當時，．當時，上式＝．所以若是等差數(shù)列，則所以當時，是等差數(shù)列，時是等比數(shù)列；當時，從第二項開始是等差數(shù)列．故選：ABC12.已知雙曲線且，設直線與雙曲線在第一象限內的交點為，點在的兩條漸近線上的射影分別為，記的面積為，則下列說法正確的是（）A.雙曲線的漸近線方程為B.C.數(shù)列為等差數(shù)列D.【答案】ACD【詳解】解：因為雙曲線的方程為且，所以漸近線方程為，設點，則且，記到兩條漸近線的距離分別為，則、，則，故

8因此為等差數(shù)列，故，故選：ACD.三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.若函數(shù)f（x）＝x2－ax＋lnx存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：函數(shù)定義域為，導函數(shù)為，使得存在垂直于y軸的切線，即有解，可得有解，因為，所以，當且僅當““時等號成立，所以實數(shù)a的取值范圍是考點：導數(shù)的應用14.已知正項等比數(shù)列滿足，則的最小值為__________．【答案】【詳解】設該等比數(shù)列的公比為，，因為數(shù)列是正項等比數(shù)列，所以，且，所以，令，于是有，當且僅當取等號，即時取等號，即時取等號，

9所以的最小值為，故答案為：15.在平面直角坐標系中，若圓：上存在點，且點關于直線的對稱點在圓：上，則的取值范圍是______.【答案】【詳解】圓：的圓為，半徑為1，它關于直線的對稱圓的圓心為，半徑仍然為，圓的圓心為，半徑為，由題意，解得．故答案為：．16.已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線的焦點，過點F作傾斜角為60°的直線與拋物線交于A，B兩點（其中點A在第一象限）．若直線AO與拋物線的準線l交于點D，設，的面積分別為，，則______．【答案】##0.5625【詳解】由題意知，，直線方程為.設，.

10聯(lián)立直線方程與拋物線的方程，解得或.因為點A在第一象限，所以，，直線方程為，點坐標為.因為，所以軸.所以，，所以.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列的前項的和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式及；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項的和.【答案】（1），；（2）.【詳解】（1）由得：，即，由得：，兩式相減得:，

11即，即數(shù)列是以1為首項，2為公比等比數(shù)列，則，則；（2）由（1）知：，則，則當時，，當時，，則.18.已知函數(shù)()．（1）若函數(shù)有兩個極值點，求的取值范圍；（2）證明：當時，．【答案】（1）；（2）證明見解析．【詳解】（1）的定義域為，，若函數(shù)有兩個極值點，則有兩個變號零點，等同于，即水平直線與曲線有兩個交點(不是的切線)，

12令，的定義域為，則，令，解得，當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞減，則為的極大值，也為最大值，當時，，當時，，當時，且為正數(shù)，則的圖像如圖所示，則此時；（2）證明：令()，則只需證明當時恒成立即可，則，令，則，當時，，，，則，則在時單調遞增，又，∴時，，則在時單調遞增，∴當時，即當時，．19.在等差數(shù)列中，已知公差，是與的等比中項

13（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式；（3）令，數(shù)列的前項和為.【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】（1）因為是與的等比中項，所以，∴數(shù)列的通項公式為.（2）∵①∴②②－①得：，，故．（3），∴，令，①則②①－②得：，∴∴．∴數(shù)列的前項和20.已知雙曲線：一條漸近線方程為，焦點到漸近線的距離為1．

14（1）求雙曲線的標準方程與離心率；（2）已知斜率為的直線與雙曲線交于軸上方的A，兩點，為坐標原點，直線，的斜率之積為，求的面積．【答案】（1），離心率為（2）【小問1詳解】由題意知焦點到漸近線的距離為，則因為一條漸近線方程為，所以，又，解得，，所以雙曲線的標準方程為，離心率為．【小問2詳解】設直線：，，，聯(lián)立則，所以，由

15解得或（舍去），所以，：，令，得，所以的面積為21.已知函數(shù).（1）求的單調區(qū)間；（2）當時，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）在上單調遞減，在上單調遞增；（2）【詳解】（1）的定義域為，，顯然，令，則，解得，當時，，即函數(shù)在上單調遞減，當時，，即函數(shù)在上單調遞增.（2）令，則當時，恒成立，

16求導得，且，①當時，令，即，則時，恒成立，∴在上是增函數(shù)，且，∴不符合題意；②當時，，則時，恒成立，∴在上是增函數(shù)，且，∴不符合題意；③當時，，則時，恒有，即在上是減函數(shù)，所以時，，所以，解得，故.綜上，的取值范圍是.22.如圖，橢圓的兩頂點，，離心率，過y軸上的點的直線l與橢圓交于C，D兩點，并與x軸交于點P，直線與直線交于點Q.（1）當且時，求直線l的方程；（2）當點P異于A，B兩點時，設點P與點Q橫坐標分別為，，是否存在常數(shù)使成立，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）或

17（2）存在，【小問1詳解】橢圓的方程，由題可得；由，結合，得，橢圓的標準方程：；當直線l的斜率不存在時，，與題意不符，故設直線l的方程為，代入橢圓方程整理得，設，，，；，解得.則直線l的方程為或.【小問2詳解】當直線l的斜率不存在時，直線l與y軸重合，由橢圓的對稱性可知直線與直線平行，不符合題意；由題意可設直線的方程：代入橢圓方程，得；設，，，；①直線的方程為②

18則直線的方程為③由②③得由①代入，得，解得，即；且知；（常數(shù)）即點P與點Q橫坐標之積為定值4.故存在常數(shù)