重慶市永川 校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)Word版含解析

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重慶市永川北山中學(xué)校高2024級高二下期半期考試數(shù)學(xué)試題考試時間：120分鐘【注意事項(xiàng)】1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2．作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上.寫在本試卷及草稿紙上無效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題（本大題8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.火車開出車站一段時間內(nèi)，速度v（單位：米/秒）與行駛時間t（單位：秒）之間的關(guān)系是v(t)＝0.4t+0.6t2，則火車開出幾秒時加速度為2.8米/秒？（　?。〢.秒B.2秒C.秒D.秒【答案】B【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，然后令，解方程可得．【詳解】由題意可知，＝0.4+1.2t，令0.4+1.2t＝2.8可得，t＝2（秒）．故選：B．2.已知，則（）A.28B.30C.56D.72【答案】C【解析】【分析】由組合數(shù)性質(zhì)求出，再用排列數(shù)公式求值.【詳解】因?yàn)?，所以由組合數(shù)性質(zhì)得，，所以.故選：C.

13.在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和是16，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為（）A.16B.32C.1D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式得，再令特殊值即可求得答案.【詳解】解：因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)的和是16，所以，解得，所以，令得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為．故選：A4.隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，令，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的性質(zhì)求出，則.【詳解】因隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，所以，由，所以.故選：D5.設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)在處有極值，則曲線在原點(diǎn)處的切線方程為（）A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算得，由極值情況可求得，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得在原點(diǎn)處的切線方程.【詳解】因?yàn)?，所以?/p>

2又函數(shù)在處有極值，則，得所以，，令得且函數(shù)在遞增，遞減，遞增，則是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以，，則曲線在原點(diǎn)處的切線方程為.故選：B6.按照編碼特點(diǎn)來分，條形碼可分為寬度調(diào)節(jié)法編碼和模塊組合法編碼．最常見的寬度調(diào)節(jié)法編碼的條形碼是“標(biāo)準(zhǔn)25碼”，“標(biāo)準(zhǔn)25碼”中的每個數(shù)字編碼由五個條組成，其中兩個為相同的寬條，三個為相同的窄條，如圖就是一個數(shù)字的編碼，則共有多少（）種不同的編碼．A.120B.60C.40D.10【答案】D【解析】【分析】本題轉(zhuǎn)化為排列問題，即3個分別相同的元素與2個分別相同的元素排成一列的總數(shù)問題.【詳解】由題意可得，該題等價于將5個元素（3個分別相同、2個分別相同）排成一列的所有排列數(shù)．故選：D7.某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為0.5，知道正確答案時，答對的概率為100%，而不知道正確答案時猜對的概率為0.25，那么他答對題目的概率為（）A.0.625B.0.75C.0.5D.0【答案】A【解析】【分析】他答對題目的概率等于知道正確答案時答對和不知道正確答案時猜對的概率和，依題意求解即可．【詳解】用A表示事件“考生答對了”，用B表示“考生知道正確答案”，用表示“考生不知道正確答案”，則，，，，則

3故選：A8.已知函數(shù)，的圖象分別與直線交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由題意用表示兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離得到，令，用導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最小值即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像與直線分別交于兩點(diǎn)，所以，，其中，且，所以，令，則，令得：；所以易得：時，；時，；即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，即的最小值為.故答案為：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，先構(gòu)造出函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的最值即可，屬于?？碱}型.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，選錯或不選得0分.）9.下列結(jié)論正確的是（）

4A.若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則B.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則C.若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，，則D.若隨機(jī)變量的方差，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率，正態(tài)曲線的對稱性，兩點(diǎn)分布的期望，方差的性質(zhì)，即可分別求解.【詳解】對于A，若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則，故選項(xiàng)A正確.對于B，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，故，故選項(xiàng)B正確.對于C，若，，，故選項(xiàng)C錯誤.對于D，根據(jù)方差的計(jì)算公式，，則，故選項(xiàng)D錯誤.故選：AB.10.二項(xiàng)展開式，則（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】對A、D選項(xiàng)，給賦特值即可判斷；對于C選項(xiàng)則需要根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的公式即可得出；對于B選項(xiàng)求導(dǎo)以后賦特值即可求出.【詳解】對A：令，可得，故A正確；對B：左右兩邊分別求導(dǎo)得：，令，得，故B正確；

5對C：，故C正確；對D：令，可得，而，所以，故D錯誤.故選：ABC.11.第24屆冬奧會于2022年2月4日在北京和張家口聯(lián)合舉行.甲、乙等5名志愿者計(jì)劃到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花樣滑冰4個比賽區(qū)從事志愿者活動，則下列說法正確的有（）A.若每個比賽區(qū)至少安排一名志愿者，則有240種不同的方案B.安排5名志愿者排成一排拍照，若甲、乙相鄰，則有42種不同站法C.若短道速滑必須安排兩名志愿者，其余各安排一名志愿者，則有60種不同的方案D.已知5名志愿者身高各不相同，若安排5名志愿者拍照，前排兩名，后排三名，后排要求身高最高的站中間，則有40種不同的站法【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)分組分配法即可判斷AC，根據(jù)捆綁法可以判斷B，根據(jù)特殊位置優(yōu)先安排可判斷D．【詳解】解：對于A：若每個比賽區(qū)至少安排1人，則有種不同的方案，故A正確；對于B：把甲乙捆綁在一起，看作一個復(fù)合元素，再和另外的三人全排，則有種，故B錯誤；對于C：短道速滑賽區(qū)必須安排2人，其余各安排1人，則有種不同的方案，故C正確；對于D：先排前排，由種，后排3人中身高最高的站中間，則兩邊的有種，則有種，故D正確．故選：ACD12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.是奇函數(shù)B.當(dāng)時，函數(shù)恰有兩個零點(diǎn)C.若為增函數(shù)，則D.當(dāng)時，函數(shù)恰有兩個極值點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)

6的單調(diào)性，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用導(dǎo)數(shù)以及零點(diǎn)存在定理可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，函?shù)為奇函數(shù)，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，又，所以，函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，B選項(xiàng)錯誤；對于C選項(xiàng)，，由于函數(shù)為增函數(shù)，則對任意的恒成立，即.令，則，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時，，此時，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時，，此時，函數(shù)為增函數(shù).所以，，，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時，，則.由B選項(xiàng)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在和上都存在一個零點(diǎn)，因此，當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，可按照以下原則進(jìn)行：（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增在區(qū)間上恒成立；（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減在區(qū)間上恒成立；（3）函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)在區(qū)間上存在極值點(diǎn)；（4）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，使得成立；

7（5）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，使得成立.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知函數(shù)，則__________【答案】【解析】【分析】直接利用初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式,簡單復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算律求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，由可得，故答案?.14.已知隨機(jī)變量，且，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式計(jì)算即可.【詳解】解：因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，所以，所以.故答案為：.15.2021年5月15日，天問一號探測器在火星烏托邦平原南部預(yù)選著陸區(qū)著陸，我國首次火星探測任務(wù)著陸火星取得成功，極大地鼓舞了天文愛好者探索宇宙奧秘的熱情.某校航天科技小組決定從甲、乙等6名同學(xué)中選出4名同學(xué)參加市舉行的“我愛火星”知識競賽，已知甲被選出，則乙也被選出的概率為______.【答案】##0.6【解析】【分析】利用條件概率公式即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)“甲同學(xué)被選出”記為事件，“乙同學(xué)被選出”記為事件，則在甲同學(xué)被選出的情況下，乙同學(xué)也被選出的概率.

8故答案為：16.已知函數(shù)，若對，，都有，則k的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，設(shè)，則當(dāng)時，恒成立，即恒成立，設(shè)，求其最大值后可求k的取值范圍.【詳解】，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，，由已知，即，令，則在上不存在減區(qū)間，從而當(dāng)時，恒成立，即恒成立，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17.在二項(xiàng)式的展開式中，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)陧?xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．（1）求的值；（2）若展開式中的系數(shù)為，求的值．【答案】（1）8（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的特征求出；（2）寫出展開式的通項(xiàng)，令，求出，再代入得到方程，解得即可.

9【小問1詳解】由二項(xiàng)式的展開式中，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)陧?xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即最大，.小問2詳解】易知二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為：，且，令，得，展開式中的系數(shù)為，，即，，解得，故的值為．18.設(shè)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)的極大值為，求函數(shù)在上的最小值．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性；（2）由（1）知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，找到在處取得極大值，可求出，求得最小值.【小問1詳解】，由得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和；【小問2詳解】由Ⅰ知函數(shù)在處取得極大值，

10即，得?，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，所以在上的最小值為．19.現(xiàn)有本書和位同學(xué)，將書全部分給這三位同學(xué).（1）若本書完全相同，每個同學(xué)至少有一本書，共有多少種分法？（2）若本書都不相同，共有多少種分法？（3）若本書都不相同，每個同學(xué)至少有一本書，共有多少種分法？【答案】（1）種；（2）種；（3）150種.【解析】【分析】（1）用擋板法求解；（2）每本書都有三種分配方法，求冪便可得到答案；（3）用分組分配問題的求解方法求解，①將本書分成組，②將分好的三組全排列，對應(yīng)3名學(xué)生，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】解：（1）根據(jù)題意，若本書完全相同，將本書排成一排，中間有個空位可用，在個空位中任選個，插入擋板，有種情況，即有種不同的分法；（2）根據(jù)題意，若本書都不相同，每本書可以分給人中任意1人，都有3種分法，則5本不同的書有種；（3）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將本書分成組，若分成1、1、3的三組，有種分組方法，若分成1、2、2的三組，有種分組方法，則有種分組方法；②將分好的三組全排列，對應(yīng)名學(xué)生，有種情況，則有種分法.【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，難度一般.解答時注意擋板法、分組分配問題等的應(yīng)用，注意分類討論思想的運(yùn)用.

1120.為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某校決定在每周的同一時間開設(shè)《數(shù)學(xué)史》《生活中的數(shù)學(xué)》《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》《數(shù)學(xué)建模》四門校本選修課程，甲、乙、丙三位同學(xué)每人均在四門校本課程中隨機(jī)選一門進(jìn)行學(xué)習(xí)，假設(shè)三人選擇課程時互不影響，且每人選擇每一課程都是等可能的.（Ⅰ）求甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同的概率；（Ⅱ）設(shè)為甲、乙、丙三人中選修《數(shù)學(xué)史》的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列見解析，.【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理總事件數(shù)是，滿足條件的事件數(shù)是，利用古典概率計(jì)算公式即可得出．（Ⅱ）設(shè)為甲、乙、丙三人中選修《數(shù)學(xué)史》的人數(shù)，則，1，2，3．；；；，即可得出所求．【詳解】解：（Ⅰ）甲、乙、丙三人從四門課程中各任選一門，共有種不同的選法，記“甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同”為事件M，事件M共包含個基本事件，則，所以甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同的概率為；（Ⅱ）方法一：X可能的取值為0，1，2，3，，，，.所以X的分布列為：X0123P所以X的數(shù)學(xué)期望方法二：甲、乙、丙三人從四門課程中任選一門，可以看成三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，X為甲、乙、丙三人中選修《數(shù)學(xué)史》的人數(shù)，則，所以，，1，2，3，

12所以X的分布列為：X0123P所以X的數(shù)學(xué)期望.21.為貫徹落實(shí)《健康中國行動（2019—2030年）》《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時代學(xué)校體育工作的意見》等文件精神，確保2030年學(xué)生體質(zhì)達(dá)到規(guī)定要求，各地將認(rèn)真做好學(xué)生的體制健康監(jiān)測.某市決定對某中學(xué)學(xué)生的身體健康狀況進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從該校抽取200名學(xué)生測量他們的體重，得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.（1）求這200名學(xué)生體重的平均數(shù)和方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.（2）由頻率分布直方圖可知，該校學(xué)生的體重服從正態(tài)分布，其中μ近似為平均數(shù)，近似為方差.①利用該正態(tài)分布，求；②若從該校隨機(jī)抽取50名學(xué)生，記表示這50名學(xué)生的體重位于區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，利用①的結(jié)果，求.參考數(shù)據(jù)：.若，則，，.【答案】（1），（2）①；②【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖平均數(shù)的求法即可求出，利用方差公式計(jì)算即可求解；（2）由（1）可知，，結(jié)合題意給的參照數(shù)據(jù)即可求出

13，進(jìn)而得，利用二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算即可求解.【小問1詳解】由題意得，；.所以這200名學(xué)生體重的平均數(shù)為60，方差為86；【小問2詳解】①由（1）可知，，則；②由①可知1名學(xué)生的體重位于的概率為0.6826.則，所以.22.已知函數(shù),.（1）求證：；（2）設(shè)，當(dāng)時，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值為，即可得證；（2）求導(dǎo)，當(dāng)時，求出函數(shù)的最小值為，符合題意；當(dāng)時，二次求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得存在零點(diǎn)，且當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，從而不合題意.【小問1詳解】證明：令,則，

14令，得，令，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即.【小問2詳解】，①當(dāng)時，由（1）知，所以,當(dāng)且僅當(dāng)且時，等號成立，所以在上單調(diào)遞增，則恒成立.符合題意；②當(dāng)時，令，則因?yàn)?，所以，，所以，所以在上單調(diào)遞增，且，，則存在唯一的，使得.所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，不滿足題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

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