《由垂直求角》專題練習(xí)：重點題型（解析版）

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《由垂直求角》專題練習(xí)：重點題型（解析版）專題03由垂直求角【例題講解】如圖,直線AB,CD相交于點O,OE平分∠BOC,OF⊥CD．(1)若∠AOF＝50°,求∠BOE的度數(shù);(2)若∠BOD：∠BOE＝1：4,求∠AOF的度數(shù)．解(1)解：∵OF⊥CD,∴∠COF=90°,∵∠AOF=50°,∴∠AOC=40°,∴∠BOC=140°,∵OE平分∠BOC,∴∠BOE=∠BOC=70°;(2)解：∠BOD：∠BOE=1：4,設(shè)∠BOD=∠AOC=x,∠BOE=∠COE=4x．∵∠AOC與∠BOC是鄰補(bǔ)角,∴∠AOC+∠BOC=180°,即x+4x+4x=180°,解得x=20°．∵∠AOC與∠AOF互為余角,∴∠AOF=90°-∠AOC=90°-20°=70°．【綜合解答】1．如圖,直線AB、CD相交于點O,∠DOE＝∠BOD,OF平分∠AOE．(1)判斷OF與OD的位置關(guān)系,并說明理由;(2)若∠AOC：∠AOD＝1：5,求∠EOF的度數(shù)．【答案】(1)OF⊥OD,理由見解析;(2)∠EOF＝60°【分析】(1)利用角平分線的定義結(jié)合已知求出∠FOD＝90°即可得出答案;17

1《由垂直求角》專題練習(xí)：重點題型（解析版）(2)求出∠AOC的度數(shù),再利用對頂角的性質(zhì)和角平分線的定義求出∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°,進(jìn)而得出∠EOF的度數(shù)．(1)解：OF⊥OD,理由：∵OF平分∠AOE,∴∠AOF＝∠FOE,∵∠DOE＝∠BOD,∴∠AOF＋∠BOD＝∠FOE＋∠DOE＝×180°＝90°,即∠FOD＝90°,∴OF與OD的位置關(guān)系是OF⊥OD;(2)∵∠AOC：∠AOD＝1：5,∴∠AOC＝×180°＝30°,∴∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°,∴∠AOE＝120°,∴∠EOF＝∠AOE＝60°．【點睛】此題主要考查了角平分線的定義以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì),正確得出各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．如圖,AB交CD于O,OE⊥AB．(1)若∠EOD＝30°,求∠AOC的度數(shù);(2)若∠EOD：∠EOC＝1：3,求∠BOC的度數(shù)．【答案】(1)60°(2)135°【分析】(1)利用垂直定義和對頂角的性質(zhì)可得答案;17

2《由垂直求角》專題練習(xí)：重點題型（解析版）(2)設(shè)∠EOD=a,∠EOC=3a,利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得方程,然后解出a的值,進(jìn)而可得∠AOD的度數(shù),再利用對頂角的性質(zhì)可得答案．(1)解：∵OE⊥AB,∴∠AOE＝90°,∵∠AOC＋∠AOE＋∠DOE＝180°,∠EOD＝30°,∴∠AOC＝180°－∠AOE－∠DOE＝180°－90°－30°＝60°(2)設(shè)∠EOD＝α,∵∠EOD：∠EOC＝1：3,∴∠EOC＝3α,∵∠EOD＋∠EOC＝180°,∴α＋3α＝180°,∴∠EOD＝α＝45°,∴∠AOD＝∠AOE＋∠DOE＝135°∵∠AOD與∠BOC為對頂角,∴∠BOC＝∠AOD＝135°【點睛】此題主要考查了垂線,以及對頂角,關(guān)鍵是掌握對頂角相等,理清圖中角之間的關(guān)系．3．如圖,直線AB,CD相交于點O,OE平分∠BOD．(1)若∠EOF＝55°,OD⊥OF,求∠AOC的度數(shù);(2)若OF平分∠COE,∠BOF＝15°,求∠DOE的度數(shù)．【答案】(1)70°(2)50°17

3《由垂直求角》專題練習(xí)：重點題型（解析版）【分析】(1)根據(jù)∠EOF＝55°,OD⊥OF,可知∠DOE＝35°,由于OE平分∠BOD,可知∠BOE＝35°,即可得出答案;(2)設(shè)∠DOE＝∠BOE＝x,可知x+15°+x+15°+x＝180°,解得：x＝50°．(1)解：∵OE平分∠BOD,∴∠BOE＝∠DOE,∵∠EOF＝55°,OD⊥OF,∴∠DOE＝35°,∴∠BOE＝35°,∴∠AOC＝70°;(2)∵OF平分∠COE,∴∠COF＝∠EOF,∵∠BOF＝15°,∴設(shè)∠DOE＝∠BOE＝x,則∠COF＝x+15°,∴x+15°+x+15°+x＝180°,解得：x＝50°,故∠DOE的度數(shù)為：50°．【點睛】本題主要考查的是角度的基礎(chǔ)運(yùn)算,利用角平分線以及垂直的性質(zhì)進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．4．如圖,直線與相交于點,平分,平分,．(1)求證：;(2)若,求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)111°17

4《由垂直求角》專題練習(xí)：重點題型（解析版）【分析】利用角平分線的性質(zhì)證明,從而證明,再由,通過兩角互余及等量代換可證明;利用對頂角相等和角平分線的性質(zhì)可證明,再利用、即可求出．(1)∵平分,平分,,,,,,;(2),,．【點睛】本題考查的是角平分線、余角、對頂角等知識,解題的關(guān)鍵是熟練通過兩角互余、對頂角、角平分線的性質(zhì)等相應(yīng)關(guān)系進(jìn)行角的代換解決問題．5．如圖,AB、CD相交于點O,OE⊥OF,∠BOF=2∠BOE,OC平分∠AOE．17

5《由垂直求角》專題練習(xí)：重點題型（解析版）(1)求∠BOE的度數(shù);(2)求∠EOC的度數(shù)．【答案】(1)30°(2)75°【分析】(1)根據(jù)OE⊥OF得到∠EOF＝90°,根據(jù)∠BOF＝2∠BOE得到3∠BOE＝90°,故可求解;(2)先求出∠AOE,再根據(jù)OC平分∠AOE即可求解．(1)∵OE⊥OF,∴∠EOF＝90°,∵∠BOF＝2∠BOE,∴3∠BOE＝90°,∴∠BOE＝30°,(2)∵∠BOE＝30°∴∠AOE＝180°?∠BOE＝150°,又∵OC平分∠AOE,∴∠EOC＝∠AOE＝75°．【點睛】本題利用垂直的定義,角平分線的定義以及角度的計算,要注意領(lǐng)會由垂直得直角這一要點．6．如圖,OA⊥OB,∠BOC=50°,且∠AOD：∠COD=4：7,OE為∠BOC的平分線,求出∠DOE的度數(shù)．17

6《由垂直求角》專題練習(xí)：重點題型（解析版）【答案】165°【分析】設(shè)∠AOD=4x,∠COD=7x,根據(jù)題意列出方程即可求得∠COD=140°,然后根據(jù)角平分線的定義計算∠COE的度數(shù),最后結(jié)合圖形計算∠DOE的度數(shù)．【詳解】解：∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°,∵∠AOD：∠COD=4：7,∴設(shè)∠AOD=4x,∠COD=7x,∵∠AOB+∠AOD+∠COD+∠BOC=360°,且∠BOC=50°,∴90°+7x+4x+50°=360°,∴x=20°,∴∠COD=140°．∵OE是∠BOC的角平分線,∴∠COE=∠BOC=25°,∴∠DOE=∠COD+∠COE=165°．∴∠DOE的度數(shù)為165°．【點睛】本題考查的是角的計算,角平分線的定義,根據(jù)題意列出關(guān)于x的一元一次方程是解答此題的關(guān)鍵．7．已知直線AB和CD相交于O點,射線OE⊥AB于O,射線OF⊥CD于O,且∠BOF＝25°,求∠AOC與∠EOD的度數(shù)．17

7《由垂直求角》專題練習(xí)：重點題型（解析版）【答案】∠AOC＝115°,∠EOD＝25°【分析】由OF⊥CD,得∠DOF=90°,根據(jù)條件可求出∠BOD的度數(shù),即可得到∠AOC的度數(shù);由OE⊥AB,得∠BOE=90°,可以推出∠EOF和∠EOD的度數(shù)．【詳解】解：∵OF⊥CD,∴∠DOF＝90°,又∵∠BOF＝25°,∴∠BOD＝∠DOF+∠BOF=90°+25°＝115°,∴∠AOC＝∠BOD＝115°,又∵OE⊥AB,∴∠BOE＝90°,∵∠BOF＝25°,∴∠EOF＝∠BOE-∠BOF=65°,∴∠EOD＝∠DOF﹣∠EOF＝90°－65°=25°．【點睛】此題考查的知識點是垂線、角的計算及對頂角知識,關(guān)鍵是根據(jù)垂線的定義得出所求角與已知角的關(guān)系．8．如圖,直線AB與CD相交于點O,OE平分∠BOC,OF⊥OE,OG⊥OC．(1)求證：∠COF＝∠EOG;(2)若∠BOD＝32°,求∠EOG的度數(shù)．【答案】(1)見解析;(2)∠EOG=16°．【分析】(1)根據(jù)余角的性質(zhì)即可求解;17

8《由垂直求角》專題練習(xí)：重點題型（解析版）(2)根據(jù)對頂角的定義,角平分線的定義,以及(1)的結(jié)論即可求解．【詳解】(1)證明：∵OF⊥OE,OG⊥OC,∴∠FOE=∠COF+∠COE=90°,∠COG=∠EOG+∠COE=90°,∴∠COF=∠EOG;(2)解：∵∠BOD=32°,∴∠BOC=180°-32°=148°,∵OG⊥OC,OE平分∠BOC,∴∠BOG=90°-∠BOD=90°-32°=58°,∠BOE=∠COE=∠BOC=74°,∴∠EOG=∠BOE-∠BOG=16°．【點睛】本題考查了垂線,余角,對頂角,角平分線,解題的關(guān)鍵是掌握垂直的定義,余角和對頂角的性質(zhì)和角平分線的定義等知識．9．如圖,直線AB、CD、EF相交于點O,AB⊥CD,OG平分∠AOE,∠FOD=20°,求∠BOE和∠AOG的度數(shù).【答案】∠BOE=70°;∠AOG=55°.【分析】先求出∠AOF,根據(jù)對頂角的性質(zhì)得出∠BOE,再根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出∠AOE,由角平分線即可求出∠AOG．【詳解】解：∵AB⊥CD,∴∠AOD=∠AOC=90°,∵∠FOD=20°,∴∠AOF=90°-20°=70°,∴∠BOE=70°;∴∠AOE=180°-70°=110°,∵OG平分∠AOE,∴∠AOG=110°÷2=55°.【點睛】本題考查了垂線、對頂角、鄰補(bǔ)角的定義,弄清各個角之間的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.10．如圖,直線EF、CD相交于點O,OA⊥OB,OC平分∠AOF．17

9《由垂直求角》專題練習(xí)：重點題型（解析版）(1)直接寫出∠DOF的對頂角和鄰補(bǔ)角;(2)若∠AOE＝30°,求∠BOD的度數(shù)．【答案】(1)對頂角有∠COE;鄰補(bǔ)角有∠DOE,∠COF;(2)15°【分析】(1)根據(jù)對頂角和鄰補(bǔ)角的定義,即可求解;(2)根據(jù)領(lǐng)補(bǔ)角的定義可得∠AOF=150°,從而得到∠DOE=75°,再由OA⊥OB,可得∠BOE=60°,即可求解．(1)解：根據(jù)題意得：∠DOF的對頂角有∠COE;鄰補(bǔ)角有∠DOE,∠COF;(2)解：∵∠AOE＝30°,∴∠AOF=180°-∠AOE=150°,∴∠AOC=∠COF=75°,∴∠DOE=75°,∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°,∴∠BOE=90°-∠AOE=60°,∴∠BOD=∠DOE-∠BOE=15°．【點睛】本題主要考查了對頂角和鄰補(bǔ)角的性質(zhì),角的和與差,明確題意,準(zhǔn)確找到角與角間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11．如圖,直線AB、CD相交于點O,OM⊥AB．17

10《由垂直求角》專題練習(xí)：重點題型（解析版）(1)若∠1=∠2,證明：ON⊥CD;(2)若∠1=∠BOC,求∠BOD的度數(shù)．【答案】(1)ON⊥CD．(2)60°．【分析】(1)利用垂直的定義得出,進(jìn)而得出答案;(2)根據(jù)題意得出的度數(shù),即可得出的度數(shù).【詳解】(1)ON⊥CD．理由如下：∵OM⊥AB,∴,∴∠1+∠AOC=90°,又∵∠1=∠2,∴∠2+∠AOC=90°,即∠CON=90°,∴ON⊥CD．(2)∵∠1=∠BOC,∴,解得：,∴．【點睛】此題主要考查了垂直的定義以及鄰補(bǔ)角、對頂角等知識,正確把握垂直的定義是解題關(guān)鍵.12．如圖,直線AB,CD相交于點O,EO⊥AB,垂足為O,∠EOC＝35°．求∠BOD的度數(shù)．【答案】55°【分析】先根據(jù)垂線的定義求出∠AOE=90°,則∠AOC=∠AOE-∠EOC=55°,再根據(jù)對頂角相等即可得到∠BOD=∠AOC=55°．【詳解】解：∵EO⊥AB,17

11《由垂直求角》專題練習(xí)：重點題型（解析版）∴∠AOE=90°,∵∠EOC=35°,∴∠AOC=∠AOE-∠EOC=55°,∴∠BOD=∠AOC=55°．【點睛】本題主要考查了垂線的定義,幾何中角度的計算,對頂角相等,熟知垂線的定義和對頂角相等是解題的關(guān)鍵．13．如圖,已知直線AB、CD相交于點O,OE平分∠BOD,OF平分∠BOC,∠2：∠1＝4：1．(1)求∠AOF的度數(shù)．(2)判斷OE與OF的位置關(guān)系并說明理由．【答案】(1)108°(2),理由見解析【分析】(1)設(shè)∠1=x°,則∠2=4x°,求出,,根據(jù)∠BOC+∠BOD=180°,求出x=18,代入∠AOF=∠AOC+∠COF求出即可．(2)根據(jù)(1)的結(jié)論得出,即可求解．(1)解：設(shè)∠1=x°,則∠2=4x°,∵OE平分∠BOD,OF平分∠BOC,∴,∵∠BOC+∠BOD=180°,∴8x+2x=180,∴x=18,∴∠AOC=∠DOB=2x=36°,∠1=18°,∠2=72°,∴∠AOF=∠AOC+∠2=36°+72°=108°．17

12《由垂直求角》專題練習(xí)：重點題型（解析版）(2)由(1)可得∠1=18°,∠2=72°,∴,∴．【點睛】本題考查了幾何圖形中角度的計算,角平分線的定義,數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．14．如圖,點A表示小明家,點B表示小明外婆家,若小明先去外婆家拿漁具,然后再去河邊釣魚,怎樣走路最短,請畫出行走路徑,并說明理由．【答案】見解析【分析】根據(jù)兩點之間線段最短,點到直線的距離垂線段最短即可得到答案.【詳解】解;如圖所示：連接AB,是兩點之間線段最短;作BC垂直于河岸,是垂線段最短．【點睛】本題主要考查了兩點之間線段最短,點到直線的距離垂線段最短,解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.15．如圖,直線AB,CD相交于點O,OE平分∠AOC,OF⊥CD于點O．(1)若∠BOF＝68°30′,求∠AOE的度數(shù);(2)若∠AOD：∠AOE＝1：4,求∠BOF的度數(shù)．17

13《由垂直求角》專題練習(xí)：重點題型（解析版）【答案】(1)79°15′;(2)70°【分析】(1)由OF⊥CD可得∠DOF=90°,則∠BOD=158°30′,由對頂角相等,可得∠AOC的度數(shù),再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可的∠AOE的度數(shù);(2)設(shè)∠AOD=α,則∠AOE=4α,∠AOC=8α,由平角的定義可得等式α+8α=180°,求出α的值,再求出∠BOF的度數(shù)即可．【詳解】解：(1)∵OF⊥CD,∴∠DOF=90°,∵∠BOF=68°30′,∴∠BOD=∠BOF+∠DOF=158°30′,∴∠AOC=∠BOD=158°30′,∵OE平分∠AOC,∴∠AOE=∠AOC=×158°30′=79°15′;(2)∵∠AOD：∠AOE=1：4,設(shè)∠AOD=α,∴∠AOE=4α,∵OE平分∠AOC,∴∠AOC=2∠AOE=8α,∴α+8α=180°,∴α=20°,∴∠AOD=20°,∴∠BOC=∠AOD=20°,∵OF⊥CD,∴∠COF=90°,∴∠BOF=90°-∠BOC=70°．【點睛】本題主要考查相交線的相關(guān)知識,涉及垂直的定義,角平分線的性質(zhì),對頂角相等以及角的和差計算．弄清楚角之間的和差關(guān)系是解題關(guān)鍵．16．如圖,直線AB,CD相交于點O,OM⊥AB于點O．17

14《由垂直求角》專題練習(xí)：重點題型（解析版）(1)若∠1＝∠2,求∠NOC的度數(shù);(2)若∠BOC＝4∠1,求∠AOC的度數(shù)．【答案】(1)∠NOC＝90°;(2)∠AOC＝60°．【分析】(1)根據(jù)垂直的定義計算即可;(2)根據(jù)互余的性質(zhì)和已知等量關(guān)系求解即可;【詳解】(1)∵OM⊥AB于點O,∴∠AOM＝∠BOM＝90°,∵∠1+∠AOC＝90°,∵∠2＝∠1,∴∠2+∠AOC＝90°,∴∠NOC＝90°;(2)∵OM⊥AB于點O,∴∠AOM＝∠BOM＝90°,∵∠BOC＝4∠1,∴∠BOM＝∠BOC﹣∠1＝4∠1﹣∠1＝90°,∴∠1＝30°,∴∠AOC＝∠AOM﹣∠1＝90°﹣30°＝60°．【點睛】本題主要考查了與垂直有關(guān)的角度求解,準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．17．作圖,如圖已知三角形ABC內(nèi)一點P(1)過P點作線段EF∥AB,分別交BC,AC于點E,F(2)過P點作線段PD使PD⊥BC垂足為D點．【答案】見解析.【詳解】試題分析：(1)根據(jù)過直線外一點作已知直線平行線的方法作圖即可;(2)利用直角三角板,一條直角邊與BC重合,沿BC平移,使另一條直角邊過點P畫垂線即可．(1)如圖,EF即為所求．17

15《由垂直求角》專題練習(xí)：重點題型（解析版）(2)如圖,PD即為所求．考點：作圖—基本作圖．17

16《由垂直求角》專題練習(xí)：重點題型（解析版）17