安徽省皖江名校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)Word版.docx

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數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，22題。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。考生注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則的最小值是A．B．C．D．2．已知復(fù)數(shù)（）為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．已知向量，，且，則A．B．C．1D．24．已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在角終邊上，則A．B．C．D．5．手工課上某同學(xué)用六個邊長相等的正方形卡片拼接成一個幾何圖形，如圖所示，其中AB，CD，EF，MN為對角線，該幾何圖形恰好能折疊組裝成一個正方體卡片紙盒，則在正方體卡片紙盒中A．B．C．D．6．2013年7月18日，第31屆全國青少年愛國主義讀書教育活動啟動，某校為了迎接此次活動，對本校高一高二年級學(xué)生進(jìn)行了前期閱讀時間抽查，得到日閱讀時間（單位：分鐘）的統(tǒng)計表如下： 年級抽查人數(shù)平均時間方差高一40504高二60406則估計兩個年級學(xué)生日閱讀時間的方差為A．52B．29.2C．10D．6.47．已知實數(shù)a，b，c滿足，，，則A．B．C．D．8．已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，點(diǎn)Q在邊BC上，且滿足（），，則的最小值是A．32B．64C．100D．120二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分。9．CPI是居民消費(fèi)價格即消費(fèi)價格指數(shù)，是反映居民家庭一般所購買的消費(fèi)品和服務(wù)項目價格水平變動的宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)．下圖是國家統(tǒng)計局發(fā)布的2022年5月至2023年5月全國居民消費(fèi)價格漲跌幅統(tǒng)計圖，其中同比是與上年同期對比（如今年5月與上年5月），側(cè)重數(shù)據(jù)長期趨勢，環(huán)比是與上月對比（如今年5月與4月），側(cè)重數(shù)據(jù)短期變化，則下列說過正確的是A．2022年5月至2023年5月同比漲幅極差為2.7%B．2023年1月至5月同比漲幅的75%分位數(shù)為1.0%C．從環(huán)比看，CPI由2023年2月至4月開始持續(xù)上漲D．隨機(jī)從2023年1月至5月的同比數(shù)據(jù)選擇兩個研究，則選取4月和5月的概率為10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中B，C兩 點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，則A．B．C．的圖象向右平移個單位長度可得一個奇函數(shù)的圖象D．的圖象向左平移個單位長度可得一個偶函數(shù)的圖象11．直四棱錐S-ABCD中，底面ABCD，，，AC，BD的交點(diǎn)為P，點(diǎn)Q在SD上且，三棱錐S-ABC和三棱錐Q-ACD的體積分別為，，則A．B．平面SABC．D．12．已知，，則A．B．C．D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復(fù)數(shù)，則．14．已知正四棱臺上下底面邊長分別為2和8，側(cè)面梯形的高為5，則該四棱臺的體積為．15．隨著國家“雙碳”（碳達(dá)峰與碳中和的簡稱）目標(biāo)的提出，我國風(fēng)電發(fā)展駛?cè)肟燔嚨溃懙?、海上的風(fēng)機(jī)（如下左圖，頂端外形是大風(fēng)車，又稱風(fēng)力發(fā)電大風(fēng)車）紛紛“拔地而起”，成為保護(hù)環(huán)境、輸送綠色能源的“風(fēng)中使者”．如圖，一學(xué)習(xí)興趣小組為了測量某風(fēng)力發(fā)電大風(fēng)車AB的高度，在點(diǎn)A正東方點(diǎn)C處測得風(fēng)車頂端點(diǎn)B的仰角為30°，在點(diǎn)A南偏西30°方向的點(diǎn)D處測得點(diǎn)B的仰角為60°，且C，D相距米，其中平面ADC，則AB的高度為米． 16．若的定義域為，對于，都有，且滿足，，則稱為康托爾函數(shù)．當(dāng)時，康托爾函數(shù)；．四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）設(shè)平面向量，滿足，，．（1）求；（2）求向量在向量上的投影向量（用坐標(biāo)表示）．18．（12分）已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求角C；（2）若，，求的面積．19．（12分）2023年7月11日第64屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽結(jié)果公布，中國隊6名參賽選手全員金牌，再奪第一．某班級為了選拔數(shù)學(xué)競賽選手，舉行初次選拔考試，共有排好順序的兩道解答題．規(guī)定全部答對者，通過選拔考試．設(shè)甲答對第一道和第二道題的概率分別為，，乙答對第一道和第二道題的概率分別為，，甲，乙相互獨(dú)立解題，答對與否互不影響．（1）求甲，乙都通過考試的概率;（2）記事件“甲、乙共答對兩道題”，求．20．（12分） 如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，P為DO的中點(diǎn)，是底面的內(nèi)接正三角形．（1）若底面圓的半徑為2，直線PB與底面的夾角為45°，求圓錐側(cè)面展開圖的面積;（2）若，證明：平面平面PAB．21．（12分）如圖所示，中，AQ為邊BC的中線，，，，，其中，，，．（1）當(dāng)時，用向量，表示；（2）證明：為定值．22．（12分）已知．（1）若，且，，求的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，求的取值范圍．?dāng)?shù)學(xué)參考答案題號123456789101112答案DCCBABACABACDADACD1．【解析】由，，得．2．【解析】由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，可得復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第三象限，故選C． 3．【解析】由題意可得，因為，所以，解得，故選C．4．【解析】由題意可得，所以原式，故選B．5．A【解析】由題意可得正方體卡片紙盒如圖所示，則易知，，CM與CD，MN的夾角均為60°，故選A．6．【解析】由題意估計高一高二日閱讀時間的平均數(shù)為，方差為，故選B．7．【解析】由，得，即，即．，，綜上可知，故選A．8．【解析】因為，分別是向量，的單位向量，所以由（），易知AQ是中角A平分線，于是結(jié)合，可得，，化簡得，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，故選C．9．【解析】A選項中的極差為，故A正確；B選項中的數(shù)據(jù)由小到大排列為0.1%，0.2%，0.7%，1.0%，2.1%，由，不是整數(shù)，所以75%分位數(shù)為第4個數(shù)1.0%，故B正確；C選項中2月至4月均為負(fù)數(shù)，說明下降，故C錯誤；D選項等價于從5個數(shù)字中隨機(jī)選取2個，樣本空間包含的樣本點(diǎn)總數(shù)為10，其中隨機(jī)事件“選到4月和5月”包含的樣本點(diǎn)數(shù)為1，古典概型概率計算公式可得所求概率為，故D錯誤．綜上，選AB． 10．【解析】由題意知，所以的圖像的一條對稱軸方程為，，所以．由于函數(shù)圖像過，由，，且，得，所以，故A正確，B錯誤；的圖象向右平移個單位長度得到，是奇函數(shù)，故C正確；的圖象向左平移個單位長度得到，是偶函數(shù)，故D正確．故選ACD．11．【解析】連接PQ，，，所以，又因為，所以，故A正確；過Q作交SA于點(diǎn)M，由，可得，所以四邊形BCQM是梯形，CQ與BM的延長線必定相交，故CQ與平面SAB必定相交，故B錯誤；設(shè)直四棱錐S-ABCD的高為H，底面梯形ABCD的高為h，則易得三棱錐S-ABC和三棱錐Q-ACD的高分別為H，，所以，所以C錯誤，D正確．綜上，選AD．12．【解析】因為，所以A正確；由正切函數(shù)在上恒為正且單調(diào)遞增得，所以B錯誤；注意到，所以，同理，于是，故C正確；由基本不等式可得，故D正確．綜上，選ACD．13．【答案】 【解析】，所以．14．【答案】112【解析】由題意可知正四棱臺的高為，所以該四棱臺的體積為．15．【答案】40【解析】由題意知，，，，設(shè)，則，，在，由余弦定理可得，解得，所以（米）．16．【答案】，【解析】在中，分別令，得，在中，令，，得，．又令，得，所以，結(jié)合對于，都有，可得當(dāng)時，康托爾函數(shù)，反復(fù)利用，可得，注意到，所以，故第二空填．（注：第一空2分，第二空3分）17．【解析】（1）因為，所以， 又，，所以，因為，所以．（2）設(shè)，的夾角，由（1）中可得，故．因為，所以，所以向量在向量上的投影向量為18．【解析】（1）由，得，所以，結(jié)合余弦定理可知，而，所以．（2）由正弦定理可得，解得，又由余弦定理可得，即，解得，或，而，所以，所以的面積19．【解析】設(shè)事件“甲答對了i道題”，事件“乙答對了i道題”，，1，2，由題意，，，，，，（1）由題意得，甲，乙都通過考試的概率：．（2）由題意得，， 所以．20．【解析】（1）連接OB，由題意知平面ABC，故，則直線PB與底面的夾角為．因為底面圓的半徑為2，所以，底面圓的周長為，而P為DO的中點(diǎn)，所以，所以圓錐的母線長為，所以圓錐側(cè)面展開圖的面積為．（2）證明：連接OA，OC，∵P在DO上，，∴，∵是圓內(nèi)接正三角形，∴，所以，，∴，即，，，∴平面PAB，平面PAC，∴平面平面PAB．21．【解析】（1）當(dāng)時，，因為AQ為邊BC的中線，所以，所以．（2）證明：由（1）可知，所以．而，，，所以， 即，整理可得，而，是不共線向量，所以，消去x，可得定值）．22．【解析】（1），因為，所以．由得，而，所以，所以，，故．（2）由（1）知，因為函數(shù)，，，在區(qū)間上沒有零點(diǎn)， 所以，即，，因為，所以，又因為，所以，所以，所以，因為，所以或，當(dāng)時，；當(dāng)時，，又因為，所以的取值范圍是．