四川省敘永第一中學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期零診考試數(shù)學(xué)（理科） Word版含解析.docx

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高2021級(jí)高三零診考試數(shù)學(xué)（理）試題一、選擇題：1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得到答案．【詳解】，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，該點(diǎn)是第三象限點(diǎn)，故選：C．2.空氣質(zhì)量指數(shù)是評(píng)估空氣質(zhì)量狀況的一組數(shù)字，空氣質(zhì)量指數(shù)劃分為、、、、和六檔，分別對(duì)應(yīng)“優(yōu)”、“良”、“輕度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“嚴(yán)重污染”六個(gè)等級(jí)．如圖是某市2月1日至14日連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，則下面說法中正確的是（）．A.這14天中有5天空氣質(zhì)量為“中度污染”B.從2日到5日空氣質(zhì)量越來越好C.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是214D.連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小是5日到7日【答案】B【解析】【分析】根據(jù)折線圖直接分析各選項(xiàng). 【詳解】A選項(xiàng)：這14天中空氣質(zhì)量為“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)逐漸降低，空氣質(zhì)量越來越好，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：方差表示波動(dòng)情況，根據(jù)折線圖可知連續(xù)三天中波動(dòng)最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11日，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B.3.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則（）A.4B.24C.30D.32【答案】C【解析】【分析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，列方程組解出數(shù)列首項(xiàng)和公差，可求的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，則有，解得，所以故選：C4.已知向量，滿足，，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】計(jì)算出、的值，利用平面向量數(shù)量積可計(jì)算出的值.【詳解】，，，.，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計(jì)算，同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算以及向量模的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題. 5.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦定理進(jìn)行角化邊，再由余弦定理可解.【詳解】根據(jù)題意，，利用正弦定理得：，再結(jié)合，可得，由余弦定理：，所以D選項(xiàng)正確.故選：D6.袋中有個(gè)球，其中紅、黃、藍(lán)、白、黑球各一個(gè)，甲、乙兩人按序從袋中有放回的隨機(jī)摸取一球，記事件甲和乙至少一人摸到紅球，事件甲和乙摸到的球顏色不同，則條件概率（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出和的值，利用條件概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由題意可知，事件甲、乙只有一人摸到紅球，則，，因此，.故選：D.7.甲、乙、丙3人準(zhǔn)備前往A，B，C，D這4個(gè)景點(diǎn)游玩，其中甲和乙已經(jīng)去過A景點(diǎn)，本次不再前往A景點(diǎn)游玩，若每個(gè)人都至少選擇1個(gè)景點(diǎn)但不超過3個(gè)景點(diǎn)游玩，則3人可組成的不同的游玩組合有（）A.735種B.686種C.540種D.465種【答案】B【解析】 【分析】先確定甲乙的選擇，再確定丙的選擇利用分步計(jì)數(shù)原理和組合知識(shí)可求答案.【詳解】因?yàn)榧缀鸵乙呀?jīng)去過A景點(diǎn)，本次不再前往A景點(diǎn)游玩，所以兩人可以從B，C，D這3個(gè)景點(diǎn)中，選擇1個(gè)，2個(gè)或3個(gè)去游玩，兩人的選擇方法均為：（種）；而丙的選擇方法有：（種）；所以3人可組成的不同的游玩組合有：（種）.故選：B.8.米斗是古代官倉(cāng)、米行等用來稱量糧食器具，鑒于其儲(chǔ)物功能以及吉祥富足的寓意，現(xiàn)今多在超市、糧店等廣泛使用.如圖為一個(gè)正四棱臺(tái)形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形邊長(zhǎng)分別為、，側(cè)棱長(zhǎng)為，若將該米斗盛滿大米（沿著上底面刮平后不溢出），設(shè)每立方分米的大米重千克，則該米斗盛裝大米約（）A.千克B.千克C.千克D.千克【答案】C【解析】【分析】計(jì)算出米斗的高，進(jìn)而可求得出該米斗的體積，結(jié)合題意可求得該米豆所盛大米的質(zhì)量.【詳解】設(shè)該正棱臺(tái)為，其中上底面為正方形，取截面，如下圖所示：易知四邊形為等腰梯形，且，，，分別過點(diǎn)、在平面內(nèi)作，，垂足分別為點(diǎn)、，由等腰梯形的幾何性質(zhì)可得，又因?yàn)?，，所以，，所以，?因?yàn)?，易知，故四邊形為矩形，則，，所以，，故該正四棱臺(tái)的高為，所以，該米斗的體積為，所以，該米斗所盛大米的質(zhì)量為.故選：C.9.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且，過點(diǎn)作，垂足為，下列各點(diǎn)中到點(diǎn)的距離為定值的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可設(shè)直線的方程，聯(lián)立拋物線方程再利用，可得，法一：可知H在圓上運(yùn)動(dòng)進(jìn)行判斷，法二再由得出的方程為，解得，代入選項(xiàng)逐一驗(yàn)證是否為定值即可得出答案.【詳解】法一：設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線和拋物線方程整理得，所以又，即，所以可得，即；則直線過定點(diǎn)D（4,0）因?yàn)?，則點(diǎn)H在為直徑的圓上（其中圓心坐標(biāo)為OD中點(diǎn)（2,0）），故（2,0）到H的距離為定值故選：B法二：設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線和拋物線方程整理得， 所以又，即，所以可得，即；又因?yàn)?，所以的方程為，解得?duì)于A，到點(diǎn)的距離為不是定值；對(duì)于B，到點(diǎn)的距離為為定值；對(duì)于C，到點(diǎn)的距離為不是定值；對(duì)于D，到點(diǎn)的距離為不是定值.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定值問題通常思路為設(shè)出直線方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，應(yīng)用設(shè)而不求的思想，進(jìn)行求解；注意考慮直線方程的斜率存在和不存在的情況.10.函數(shù)，若，，，則有A.B.C.D.【答案】D【解析】【詳解】分析：首先分離常數(shù)得出，可判斷出在上單調(diào)遞減，且時(shí)，，時(shí)，，從而判斷出，再根據(jù)在上減函數(shù)，判斷出的大小關(guān)系，從而最后得出大小關(guān)系.詳解：，在上為減函數(shù)，且時(shí)，時(shí)，， 且，，且，且，，在上單調(diào)遞減，，即，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問題，屬于難題.解答比較大小問題，常見思路有兩個(gè)：一是判斷出各個(gè)數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個(gè)區(qū)間）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應(yīng)用11.已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)傾斜角為的直線與雙曲線左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若，則雙曲線C的離心率e為（）A.B.2C.D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義可得，分別在、中，利用余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)左焦點(diǎn)為，連接，設(shè)，則，∵，則有：在中，由余弦定理，即，整理得，在中，由余弦定理， 即，整理得，可得，注意到，即，整理得，故離心率.故選：D.12.設(shè)函數(shù)=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論：①在（）有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)②在（）有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)③在（）單調(diào)遞增④的取值范圍是[)其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是A.①④B.②③C.①②③D.①③④【答案】D【解析】【分析】本題為三角函數(shù)與零點(diǎn)結(jié)合問題，難度大，通過整體換元得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像分析得出答案．【詳解】當(dāng)時(shí)，， ∵f（x）在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，∴，∴，故④正確，由，知時(shí)，令時(shí)取得極大值，①正確；極小值點(diǎn)不確定，可能是2個(gè)也可能是3個(gè)，②不正確；因此由選項(xiàng)可知只需判斷③是否正確即可得到答案，當(dāng)時(shí)，，若f（x）在單調(diào)遞增，則，即，∵，故③正確．故選D．【點(diǎn)睛】極小值點(diǎn)個(gè)數(shù)動(dòng)態(tài)的，易錯(cuò)，③正確性考查需認(rèn)真計(jì)算，易出錯(cuò)，本題主要考查了整體換元的思想解三角函數(shù)問題，屬于中檔題．二、填空題13.在二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為__________．【答案】.【解析】【分析】由題意結(jié)合二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式得到的值，然后求解的系數(shù)即可.【詳解】結(jié)合二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式有：，令可得：，則的系數(shù)為：.【點(diǎn)睛】（1 ）二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件（特定項(xiàng)）和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)（求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中和的隱含條件，即、均為非負(fù)整數(shù)，且，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等）)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)．（2）求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡(jiǎn)或利用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解．14.四葉草也被稱為幸運(yùn)草、幸福圖，其形狀被廣泛用于窗戶、壁紙、地板等裝修材料的圖案中．如圖所示，正方形地板上的四葉草圖邊界所在的半圓都以正方形的邊長(zhǎng)為直徑．隨機(jī)拋擲一粒小豆在這塊正方形地板上，則小豆落在四葉草圖（圖中陰影部分）上的概率為______．【答案】【解析】【分析】求出圖中陰影部分的面積，利用幾何概型公式求解即可．【詳解】不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2個(gè)單位，則圖中陰影部分的面積為兩個(gè)圓（半徑為1）的面積減去一個(gè)正方形（邊長(zhǎng)為2）的面積，即，根據(jù)幾何概型，小豆落在四葉草圖（圖中陰影部分）上的概率為．故答案為：．15.在三棱錐中，對(duì)棱，，，則該三棱錐的外接球體積為________，內(nèi)切球表面積為________.【答案】①.②.##【解析】【分析】將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，計(jì)算出長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高的值，可計(jì)算出該三棱錐的外接球半徑，計(jì)算出的表面積與體積，利用等體積法可求得該三棱錐內(nèi)切球的半徑，利用球體的體積和表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槿忮F每組對(duì)棱棱長(zhǎng)相等，所以可以把三棱錐放入長(zhǎng)方體中，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為、、，如下圖所示： 則，，，解得，，外接球直徑，其半徑為，三棱錐的體積，在中，，，取的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：則，且，所以，，因?yàn)槿忮F的每個(gè)面的三邊分別為、、，所以，三棱錐的表面積為，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為，則，可得，所以該三棱錐的外接球體積為，內(nèi)切球表面積為.故答案為：；.16.在△ABC中，，，，∠BAC的角平分線交BC于D，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)所給條件，利用余弦定理及三角形面積公式求解.【詳解】如圖所示，記，，， 由余弦定理可得，，即，因?yàn)?，解得，由可得，，解得．故答案為：三、解答題：17.已知等比數(shù)列的公比，且，，成等差數(shù)列，數(shù)列前項(xiàng)和為，且.（1）分別求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，其中數(shù)列前項(xiàng)和為，求.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用等差中項(xiàng)的意義結(jié)合等比數(shù)列求出公比即可求出，再利用前n項(xiàng)和公式求出數(shù)列的通項(xiàng)作答.（2）利用錯(cuò)位相減法求和作答.【小問1詳解】由成等差數(shù)列，得，而，且等比數(shù)列的公比，則，即，解得，因此；由，得當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，，滿足上式，即，所以數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，.【小問2詳解】由（1）知，，則，于是有，兩式相減得：，所以.18.為了不斷提高教育教學(xué)能力，某地區(qū)教育局利用假期在某學(xué)習(xí)平臺(tái)組織全區(qū)教職工進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)．第一學(xué)習(xí)階段結(jié)束后，為了解學(xué)習(xí)情況，負(fù)責(zé)人從平臺(tái)數(shù)據(jù)庫中隨機(jī)抽取了300名教職工的學(xué)習(xí)時(shí)間（滿時(shí)長(zhǎng)15小時(shí)），將其分成六組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．（1）求a的值；（2）以樣本估計(jì)總體，該地區(qū)教職工學(xué)習(xí)時(shí)間近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本的平均數(shù)，經(jīng)計(jì)算知．若該地區(qū)有5000名教職工，試估計(jì)該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)；（3）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣本中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的教職工中隨機(jī)抽取5人，并從中隨機(jī)抽取3人作進(jìn)一步分析，分別求這3人中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的教職工平均人數(shù)．（四舍五入取整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則， ，．【答案】（1）（2）估計(jì)該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)約為4093（3）這3人中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的教職工平均人數(shù)約為1【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1即可求解，（2）根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求解概率，進(jìn)而可求人數(shù)，（3）求出超幾何分布的分布列，即可求解期望.【小問1詳解】由題意得，解得．【小問2詳解】由題意知樣本的平均數(shù)為，所以．又，所以．則，所以估計(jì)該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)約為4093．【小問3詳解】對(duì)應(yīng)的頻率比為，即為，所以抽取的5人中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)分別為2，3，設(shè)從這5人中抽取的3人學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)為，則的所有可能取值為0，1，2，，，，所以． 則這3人中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的教職工平均人數(shù)約為1．19.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)面⊥底面，且，設(shè)E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面⊥平面；（3）求直線與平面所成角的大?。敬鸢浮浚?）詳見解析；（2）詳見解析；（3）【解析】【分析】（1）利用線面平行判斷判定定理即可證得平面；（2）先利用線面垂直判定定理證得面，進(jìn)而證得平面⊥平面；（3）先求得直線與平面所成角的正弦值，進(jìn)而求得該角的大小.【小問1詳解】取中點(diǎn)S，中點(diǎn)T，連接,又E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則,又，則，則四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，則平面.【小問2詳解】在△中，，，由，可得，由面⊥面，面面， ，面，可得面，又面，則，又，，面，則面，又面，則平面⊥平面；【小問3詳解】連接，△中，，則，又面⊥面，面面，面，則面，則為點(diǎn)P到面的距離，又E為的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到面的距離為，又△中，，，，則，，則點(diǎn)E到面的距離為，又，設(shè)直線與平面所成角為，則，又，則則直線與平面所成角的大小為20.已知橢圓左、右頂點(diǎn)分別為A，B．直線l與C相切，且與圓交于M，N兩點(diǎn)，M在N的左側(cè)． （1）若，求l的斜率；（2）記直線的斜率分別為，證明：為定值．【答案】（1）；（2）證明過程見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)圓弦長(zhǎng)公式，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式、橢圓切線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線斜率公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】當(dāng)直線l不存在斜率時(shí)，方程為，顯然與圓也相切，不符合題意，設(shè)直線l的斜率為，方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得，因?yàn)橹本€l與C相切，所以有，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為，因?yàn)椋杂?；【小?詳解】，由，設(shè)，則有，，， 把，代入上式，得，而，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合橢圓切線的性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.21.設(shè)函數(shù)，，其中，．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，函數(shù)，求證：在區(qū)間上的最大值不小于．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）直接求導(dǎo)，分和討論即可；（2）首先證明有關(guān)極值點(diǎn)的結(jié)論，再分，和討論即可.小問1詳解】若，則，分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，有恒成立，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，令，解得或，當(dāng)或時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，故的增區(qū)間為，，減區(qū)間為； 綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】首先證明以下結(jié)論：若存在極值點(diǎn)，且，其中，則；若存在極值點(diǎn)，則必有，且，由題意可得，，則，進(jìn)而，又，由題意及（1）可得：存在唯一的實(shí)數(shù)，滿足，其中，則有，故有；設(shè)在區(qū)間上的最大值M，表示x、y兩個(gè)數(shù)的最大值，下面分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的取值范圍是，因此，所以。②當(dāng)時(shí)，，由（1）、和開頭所證的結(jié)論知，，， 所以在區(qū)間上的取值范圍是，因此，③當(dāng)時(shí)，，由（1）、和開頭所證的結(jié)論知，，，所以在區(qū)間上的取值范圍是，因此，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值不小于.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問關(guān)鍵首先是證明有關(guān)極值點(diǎn)的結(jié)論，即若存在極值點(diǎn)，且，其中，則，再去對(duì)進(jìn)行合理分類討論.選修：22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)，)，且直線與曲線交于A、兩點(diǎn)，求的值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程消參即可得出直角坐標(biāo)方程；（2）轉(zhuǎn)化直線的參數(shù)方程與曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即可.【小問1詳解】曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），則，即，兩式相減，可得曲線的直角坐標(biāo)方程：【小問2詳解】直線與曲線交于A、兩點(diǎn)，設(shè)A，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，，直線的方程可轉(zhuǎn)化為，代入，得，則，則，所以．23.已知，函數(shù)的最大值為3，（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，求的最小值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值三角不等式求出函數(shù)的最大值，結(jié)合已知最大值可求出；（2）根據(jù)柯西不等式可求出結(jié)果.【小問1詳解】.∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴.又∵的最大值為3，∴，∴.【小問2詳解】由（1）知，，所以，根據(jù)柯西不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，∴的最小值為