浙江省A9協(xié)作體2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期暑假返校聯(lián)考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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浙江省A9協(xié)作體暑假高三返校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的地方.3.答題時(shí)，請按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范答題，在本試卷紙上答題一律無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分（共60分）一、單選題（每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式和絕對值不等式即可得到，再根據(jù)交集含義即可得到答案.【詳解】解得或，則或，，解得，則，則，故選：C.2.已知平面向量，，，則實(shí)數(shù)等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算可得. 【詳解】因?yàn)椋?，，所以，解?故選：A3.已知雙曲線：（，），、分別為左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，，到左焦點(diǎn)的距離是到右焦點(diǎn)的距離的3倍，則雙曲線的離心率是（）A.B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義和離心率運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，由題意可知：，則，可得，因?yàn)椋瑒t，即，整理得，所以雙曲線的離心率是.故選：B.4.已知，，且，則的最小值是（）A.18B.16C.10D.4【答案】B【解析】【分析】先利用對數(shù)運(yùn)算得，然后利用“1”的代換求解最小值.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，所以，所以?當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，所以的最小值是16.故選：B5.若函數(shù)滿足以下條件：①；②在單調(diào)遞增，則這個(gè)函數(shù)可以是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由選項(xiàng)中的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的運(yùn)算，逐個(gè)條件驗(yàn)證，即可求解.【詳解】對于A中，函數(shù)在不是單調(diào)函數(shù)，不滿足條件②，所以A項(xiàng)不滿足題意；對于B中，當(dāng)，可函數(shù)，可得在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不滿足條件②，所以B項(xiàng)不滿足題意；對于C中，函數(shù)，可得，，則，不滿足條件①，所以C項(xiàng)不滿足題意；對于D中，函數(shù)，可得，則滿足，滿足條件①；又由，因?yàn)?，可得，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，滿足條件②，所以D符合題意.故選：D.6.已知某生產(chǎn)商5個(gè)月的設(shè)備銷售數(shù)據(jù)如下表所示：時(shí)間代碼12345銷售臺數(shù)（單位：百臺）5781416.5生產(chǎn)商發(fā)現(xiàn)時(shí)間代碼和銷售臺數(shù)有很強(qiáng)的相關(guān)性，決定用回歸方程進(jìn)行模擬，則 的值是（）參考數(shù)據(jù)、公式：；；若，則A.3.2B.3.1C.3D.2.9【答案】C【解析】【分析】計(jì)算出，代入公式，求出.【詳解】，，故.故選：C7.已知函數(shù)（），若在區(qū)間內(nèi)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)和3條對稱軸，則的取值范圍是（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用整體換元法，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】函數(shù)．當(dāng)時(shí)，令，則，若在有且僅有3個(gè)零點(diǎn)和3條對稱軸， 則在有且僅有3個(gè)零點(diǎn)和3條對稱軸，則，解得.故選：A．8.如圖，一只青蛙開始時(shí)位于數(shù)軸上原點(diǎn)位置，每次向數(shù)軸的左側(cè)或右側(cè)隨機(jī)跳躍一個(gè)單位，記為第次跳躍后對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)字（，），則滿足，的跳躍方法有多少種（）A.336B.448C.315D.420【答案】B【解析】分析】先分兩類：①，，②，，然后每類分兩步，根據(jù)組合數(shù)公式列式求出結(jié)果再相加可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以?當(dāng)，時(shí)，前次向左跳躍次，向右跳躍次，后次向右跳躍次，所以有種；當(dāng)，時(shí)，前次向右跳躍次，向左跳躍次，后次向左跳躍次，向右跳躍次，所以有種.綜上所述：滿足，的跳躍方法有種.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：排列組合題一般思路是：先分類，再每類分步計(jì)數(shù). 二、多選題（每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分）9.對于的展開式，下列說法正確的是（）A.展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為256B.展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對值之和為C.展開式中的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128D.展開式中的常數(shù)項(xiàng)是1120【答案】BCD【解析】【分析】對于A：賦值令，即可得結(jié)果；對于B：因?yàn)檎归_式中各項(xiàng)系數(shù)絕對值之和與的系數(shù)和相等，賦值令，即可得結(jié)果；對于C：根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)運(yùn)算求解；對于D：根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解.【詳解】對于選項(xiàng)A：令，可得，所以展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：因?yàn)檎归_式中各項(xiàng)系數(shù)絕對值之和與的系數(shù)和相等，令，可得，所以展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對值之和為，故B正確；對于選項(xiàng)C：展開式中的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)榈恼归_式為，令，解得，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)是，故D正確；故選：BCD10.如圖，已知正方體的棱長為，分別為棱的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（） A.面B.四點(diǎn)共面C.三棱錐的外接球的半徑是D.平面經(jīng)過三棱錐的外接球的球心【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)可證得，，由線面垂直的判定可知A正確；可證得，由此可得B正確；易知正方體的外接球即為三棱錐的外接球，由此可確定球心位置，知D正確；根據(jù)正方體外接球半徑的求法可知C錯(cuò)誤.【詳解】對于A，，四邊形為正方形，；平面，平面，；，平面，平面， 又平面，；同理可得：，又，平面，平面，A正確；對于B，連接，分別為中點(diǎn)，；，，四邊形為平行四邊形，，，四點(diǎn)共面，B正確；對于CD，三棱錐的頂點(diǎn)均為正方體的頂點(diǎn)，正方體的外接球即為三棱錐的外接球，正方體的中心即為三棱錐外接球的球心，記正方體中心為，則，平面，即平面經(jīng)過三棱錐的外接球的球心，D正確；三棱錐的外接球半徑，C錯(cuò)誤.故選：ABD.11.已知函數(shù)，直線，若有且僅有一個(gè)正整數(shù)，使得點(diǎn)在直線的上方，則下列說法正確的是（）A.直線恒過定點(diǎn)B. C.D.實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)的求法可求得A正確；利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，結(jié)合可知B錯(cuò)誤；作出圖象，通過分析圖象可知，且根據(jù)函數(shù)值大小關(guān)系可構(gòu)造不等式組求得范圍，知C錯(cuò)誤，D正確.【詳解】對于A，直線方程可整理為：，由得：，直線恒過定點(diǎn)，A正確；對于B，定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又，，B錯(cuò)誤；對于CD，直線方程可整理為，且直線過定點(diǎn)；作出圖象如下圖所示，當(dāng)，即時(shí)，有無數(shù)個(gè)正整數(shù)，使得點(diǎn)在直線的上方，不合題意；當(dāng)，即，若有且僅有一個(gè)正整數(shù)，使得點(diǎn)在直線的上方，結(jié)合圖象可知：，C錯(cuò)誤； 此時(shí)需滿足，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，D正確.故選：AD.12.已知數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，前項(xiàng)和為，，滿足（），則下列說法正確的是（）A.長度為，，1的三條線段可以圍成一個(gè)內(nèi)角為的三角形B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】利用余弦定理判斷A，對式子變形，換元求解數(shù)列前n項(xiàng)和及通項(xiàng)公式，從而判斷BC，再利用數(shù)列求和判斷D.【詳解】設(shè)邊長為對應(yīng)的角為，因?yàn)?，所以，又，所以，即邊長為對應(yīng)的角為，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，令，則，令，為銳角， 則，所以，所以，又，所以，即，所以，所以，所以，所以，故選項(xiàng)C正確；所以，當(dāng)時(shí)，，又也適合，所以，又，所以，故選項(xiàng)B正確；構(gòu)造，則，記，則，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，又時(shí)，，所以，所以， 所以，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】與數(shù)列相關(guān)的不等式問題證明方法點(diǎn)睛：（1）可以利用數(shù)學(xué)歸納法來進(jìn)行證明；（2）可以構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明，通過求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合不等式進(jìn)行放縮得到結(jié)果.非選擇題部分（共90分）三、填空題（每小道5分，共20分）13.已知（為虛數(shù)單位），則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義和復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則直接求解即可.【詳解】，，.故答案為：.14.十個(gè)數(shù)據(jù)：101、103、108、107、106、105、104、109、102、110的第60百分位數(shù)是______.【答案】106.5##【解析】【分析】先將數(shù)據(jù)按升序排列，再結(jié)合百分位數(shù)的定義運(yùn)算求解.【詳解】將十個(gè)數(shù)據(jù)按升序排列可得：101、102、103、104、105、106、107、108、109、110，因?yàn)?，所以?0百分位數(shù)是第6位與第7位的平均數(shù)，即為.故答案為：106.5.15.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊與射線（）重合，則______.【答案】 【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率等于傾斜角的正切值可知，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式解得答案即可.【詳解】由題意，，且，，則由，解得，則.故答案為：.16.已知直線過拋物線：的焦點(diǎn)，與拋物線交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，過作垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為，則的最小值是______.【答案】【解析】【分析】設(shè)直線，，，聯(lián)立拋物線方程得到關(guān)于的一元二次方程，得到韋達(dá)定理式，求出坐標(biāo)，利用弦長公式和兩點(diǎn)距離公式得到和的表達(dá)式，再利用基本不等式即可得到答案.【詳解】顯然當(dāng)直線AB斜率為0時(shí)，不合題意；故設(shè)直線，，，聯(lián)立拋物線方程有，則，，，則，，，則，則，準(zhǔn)線方程為，，則，，， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，此時(shí).故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是采取設(shè)線法聯(lián)立拋物線方程得到韋達(dá)定理式，再利用中點(diǎn)公式得到點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用弦長公式和兩點(diǎn)距離公式得到相關(guān)表達(dá)式，最后利用基本不等式即可得到答案.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.在中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足.（1）求角；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再結(jié)合和差公式求解可得；（2）利用三角恒等變換公式化簡，根據(jù)銳角三角形性質(zhì)求得B的范圍，再由正弦函數(shù)性質(zhì)可得.【小問1詳解】，， ，或【小問2詳解】是銳角三角形，則，是銳角三角形，，即，，，的取值范圍為.18.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）記，證明：數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若，求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析； 【解析】【分析】（1）利用裂項(xiàng)相消法可求得，由可得結(jié)論；（2）利用與的關(guān)系可整理得到，進(jìn)而得到，由等差數(shù)列定義可證得結(jié)論；利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到.【小問1詳解】，；數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，，，則.【小問2詳解】當(dāng)且時(shí)，，，整理可得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，得，滿足條件，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，19.中國的CT機(jī)打破了歐美30年的技術(shù)壟斷，實(shí)現(xiàn)了從無到有的突破，中國的CT機(jī)不僅在技術(shù)上達(dá)到了國際水平，而且在價(jià)格上也更具競爭力.此外，中國的CT機(jī)還具有更好的定制化服務(wù)，能夠更好地滿足不同地區(qū)和不同醫(yī)療機(jī)構(gòu)的需求，明峰醫(yī)療和聯(lián)影醫(yī)療是中國CT機(jī)行業(yè)中的佼佼者.2023年8月某醫(yī)院購進(jìn)甲型CT機(jī)2臺，乙型CT機(jī)1臺，該醫(yī)院決定按照以下方案調(diào)試新機(jī)器：每臺設(shè)備最多進(jìn)行2次調(diào)試，只要調(diào)試成功就投入使用，每次調(diào)試費(fèi)用0元：如果兩次調(diào)試均不成功，則邀請生產(chǎn)商上門調(diào)試，生產(chǎn)商調(diào)試一臺醫(yī)院調(diào)試不成功的CT機(jī)需要額外支付1000元，生產(chǎn)商調(diào)試后直接投入使用；其中醫(yī)院對甲機(jī)型每次調(diào)試成功的概率為，對乙機(jī)型每次調(diào)試成功的概率為，調(diào)試相互獨(dú)立.（1）求醫(yī)院不需要生產(chǎn)商上門調(diào)試的概率； （2）計(jì)算醫(yī)院支付調(diào)試費(fèi)用的分布列.【答案】（1）（2）分布列見解析【解析】【分析】（1）記事件為一臺甲設(shè)備調(diào)試成功，事件為一臺乙設(shè)備調(diào)試成功，根據(jù)題意求出，然后由獨(dú)立事件和概率公式可求得結(jié)果，（2）由題意得的可能取值為0，1000，2000，3000，求出相應(yīng)的概率，從而可求得的分布列.【小問1詳解】記事件為一臺甲設(shè)備調(diào)試成功，事件為一臺乙設(shè)備調(diào)試成功，則由題意得，，所以醫(yī)院不需要生產(chǎn)商上門調(diào)試的概率，【小問2詳解】由題意可得的可能取值為0，1000，2000，3000，則，所以的分布列為010002000300020.如圖三棱柱中，是邊長為2的正三角形，，二面角的余弦值為. （1）證明：平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)題意分析可知：二面角的平面角為，進(jìn)而可得，利用勾股定理結(jié)合線面垂直的判定定理分析證明；（2）方法一：建系，利用空間向量求線面夾角；方法二：利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離為，進(jìn)而可得結(jié)果；方法三：過作，連接，分析可知與平面所成角，運(yùn)算求解即可.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，則，，可得二面角的平面角為，即，在中，則，因?yàn)椋矗?可得，，即，，且，平面，所以平面.【小問2詳解】方法一：由（1）可知：，，，平面，所以平面，且平面，可得平面平面，若過作平面的垂線，可知垂線在平面內(nèi)，如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建系，則，，，，設(shè)點(diǎn)在平面的投影為，由面面垂直可知：，連接，在中，由等面積法可得，解得，則，所以，可得，所以設(shè)平面的法向量，則，令，則，即， 則，所以與平面所成角的正弦值為.方法二：由（1）可知：，，，平面，所以平面，且平面，可得，又因?yàn)椤?，所以，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，則，解得所以與平面所成角的正弦值為；方法三：由（1）可知：，，，平面，所以平面，且平面，可得，又因?yàn)椤?，所以，則，過作，連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，且，平面，所以平面，所以與平面所成角， 在中，由等面積法可得，解得，所以與平面所成角的正弦值為.21.已知函數(shù)（），.（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)，的圖象存在兩條公切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間是，無單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是；（2）【解析】【分析】（1）求出，分和兩種情況討論的正負(fù)即可得答案；（2）設(shè)函數(shù)上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，且，函數(shù)上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，可得，求出公切線，代入，得，將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)，作出的大致圖象，結(jié)合圖象即可得答案.【小問1詳解】解：因?yàn)椋?，①若，則，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，無單調(diào)增區(qū)間；②若，令，則有，解得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間是，無單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是.【小問2詳解】解：設(shè)函數(shù)上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，且，函數(shù)上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，且.又，，則公切線的斜率，則，所以，則公切線方程為，即，代入得：，則，整理得，若總存在兩條不同的直線與函數(shù)，圖象均相切，則方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，設(shè)，，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又由可得，則趨于時(shí)，趨于；趨于時(shí)，趨于，則函數(shù)的大致圖象如下： 所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是通過設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)得到切線方程，從而有，再通過設(shè)新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合圖形從而得到的范圍.22.類似于圓的垂徑定理，橢圓：（）中有如下性質(zhì)：不過橢圓中心的一條弦的中點(diǎn)為，當(dāng)，斜率均存在時(shí)，，利用這一結(jié)論解決如下問題：已知橢圓：，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，使，求四邊形的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出，由可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程可得點(diǎn)的軌跡方程.（2）設(shè)，由，知為中點(diǎn)，當(dāng)直線不與坐標(biāo)軸重合時(shí)，結(jié)合已知條件，可得，求出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，可得根與系數(shù)關(guān)系，由弦長公式求出，再由點(diǎn)到直線的距離公式可求得，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離，可求得面積，當(dāng)直線與坐標(biāo)軸重合時(shí)，易得解. 【小問1詳解】設(shè)，因?yàn)?，，代入橢圓得：，點(diǎn)的軌跡方程為：.【小問2詳解】設(shè)，由（1）則，①當(dāng)直線不與坐標(biāo)軸重合時(shí)，由，知為中點(diǎn)，，直線：，代入橢圓：的方程得：即：，設(shè)，，由根與系數(shù)關(guān)系，，設(shè)表示點(diǎn)到直線的距離，表示點(diǎn)到直線的距離， ；它法：利用比例關(guān)系轉(zhuǎn)化：，酌情給分.②當(dāng)直線與坐標(biāo)軸重合時(shí)，不妨取，，，或，，，綜上所述：四邊形的面積是.