安徽省皖東智校協(xié)作聯(lián)盟2024屆高三上學期10月聯(lián)考數(shù)學Word版含解析.docx

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2023年皖東智校協(xié)作聯(lián)盟高三10月聯(lián)考數(shù)學試題試卷滿分：150分考試用時：120分鐘注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)滿足，則等于（）A.B.0C.1D.22.已知集合，，若，則的取值范圍為（）A.B.C.D.3.已知和是兩個互相垂直的單位向量，，則是和夾角為的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.設為等差數(shù)列的前項和，且，都有，若，則（）A.的最小值是B.的最小值是C.的最大值是D.的最大值是5.銳角中，角，，的對邊分別為，，，若，則的取值范圍是（） A.B.C.D.6.0.618是無理數(shù)的近似值，被稱為黃金比值.我們把腰與底的長度比為黃金比值的等腰三角形稱為黃金三角形.如圖，是頂角為，底的第一個黃金三角形，是頂角為的第二個黃金三角形，是頂角為的第三個黃金三角形，是頂角為的第四個黃金三角形…，那么依次類推，第2023個黃金三角形的周長大約為（）A.B.C.D.7.已知定義在上的函數(shù)是偶函數(shù)，當時，若關于的方程有且僅有6個不同實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.8.法國數(shù)學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，過上的動點作的兩條切線，分別與交于，兩點，直線交于，兩點，則下列結(jié)論不正確的是（）A.橢圓的離心率為B.面積的最大值為 C.到的左焦點的距離的最小值為D.若動點在上，將直線，的斜率分別記為，，則二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.某學校共有學生2000人，其中高一800人，高二高三各600人，學校為了了解學生在寒假期間每天的讀書時間，按照分層隨機抽樣的方法從全校學生中抽取100人，其中高一學生，高二學生，高三學生每天讀書時間的平均數(shù)分別為，，，每天讀書時間的方差分別為，，，則下列正確的是（）A.從高二年級抽取30人B.被抽取的學生中，高二年級每天的總讀書時間比高一年級多15小時C.被抽取的學生每天的讀書時間的平均數(shù)為3小時D.估計全體學生每天的讀書時間的方差為10.在棱長為2的正方體中，點為線段（包含端點）上一動點，則下列選項正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.在點運動過程中，存在某個位置使得平面C.截面三角形面積的最大值為D.當三棱錐為正三棱錐時，其內(nèi)切球半徑為11 .乒乓球，被稱為中國的“國球”，是一種世界流行的球類體育項目，是推動外交的體育項目，被譽為“小球推動大球”.某次乒乓球比賽采用五局三勝制，當參賽甲，乙兩位中有一位贏得三局比賽時，就由該選手晉級而比賽結(jié)束.每局比賽皆須分出勝負，且每局比賽的勝負不受之前比賽結(jié)果影響.假設甲在任一局贏球的概率為，實際比賽局數(shù)的期望值記為，下列說法正確的是（）A.三局就結(jié)束比賽的概率為B.的常數(shù)項為3C.D.12.已知函數(shù)和有相同的極大值，若存在，使得成立，則（）A.B.C.當時，D.若的根記為，，的根記為，，且，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.展開式中，項的系數(shù)為______.14.甲和乙兩個箱子中各裝有10個球，其中甲箱中有5個白球，5個紅球，乙箱中有8個紅球，2個白球.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點數(shù)為5或6，從甲箱子隨機摸出1個球；如果點數(shù)為1，2，3，4，從乙箱子中隨機摸出1個球.則在摸到紅球的條件下，紅球來自甲箱子的概率為______.15.若正四面體的側(cè)面所在平面內(nèi)有一動點，已知到底面的距離與到點的距離之比為正常數(shù)，且動點的軌跡是拋物線，則的值為______.16.已知函數(shù)，函數(shù)，若，使成立，則實數(shù)的取值范圍為______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）某市擬在長為16km的道路的一側(cè)修建一條供市民游玩的綠道，綠道的前一部分為曲線，該曲線段為函數(shù)的圖像，且圖像的最高點為，綠道的后一段為折線段，且（如圖所示）. （1）求實數(shù)和的值以及、兩點之間的距離；（2）求面積的最大值.18.（本小題滿分12分）如圖，在棱長為的正方體中，，分別是，中點，過，，三點的平面與正方體的下底面相交于直線.（1）畫出直線的位置，并說明作圖依據(jù)；（2）正方體被平面截成兩部分，求較小部分幾何體的體積.19.（本小題滿分12分）教育儲蓄是指個人按國家有關規(guī)定在指定銀行開戶、存入規(guī)定數(shù)額資金、用于教育目的的專項儲蓄，是一種專門為學生支付非義務教育所需教育金的專項儲蓄，儲蓄存款享受免征利息稅的政策.若你的父母在你12歲生日當天向你的銀行教育儲蓄賬戶存入2000元，并且每年在你生日當天存入2000元，連續(xù)存6年，在你十八歲生日當天一次性取出，假設教育儲蓄存款的年利率為10%.（1）在你十八歲生日當天時，一次性取出的金額總數(shù)為多少？（參考數(shù)據(jù)：）（2）高考畢業(yè)，為了增加自己的教育儲蓄，你利用暑假到一家商場勤工儉學，該商場向你提供了三種付酬方案：第一種，每天支付38元；第二種，第1天付4元，從第2天起，每一天比前一天都多付4元；第三種，第1天付0.4元，以后每一天比前一天翻一番（即增加1倍）.你會選擇哪種方式領取報酬？20.（本小題滿分12分） 統(tǒng)計學是通過收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)來認識未知現(xiàn)象的一門科學.面對一個統(tǒng)計問題，首先要根據(jù)實際需求，通過適當?shù)姆椒ǐ@取數(shù)據(jù)，并選擇適當?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進行整理和描述，在此基礎上用各種統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)進行分析，從樣本數(shù)據(jù)中提取需要的信息，推斷總體的情況，進而解決相應的實際問題.概率論是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學分支.概率是對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量，它已滲透到我們的日常生活中，成為一個常用詞匯.同學們在學完高中統(tǒng)計和概率相關章節(jié)后，探討了以下兩個問題，請幫他們解決：（1）從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，分別寫出有放回簡單隨機抽樣、不放回簡單隨機抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間，并分別計算在三種抽樣方式下抽到的兩人都是男生的概率，結(jié)合計算結(jié)果分析三種抽樣；（2）一個袋子中有100個除顏色外完全相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作為樣本.用表示樣本中黃球的個數(shù)，分別就有放回摸球和不放回摸球，求的分布列和數(shù)學期望.結(jié)合計算結(jié)果分析兩種摸球方式的特點.21.（本小題滿分12分）平面直角坐標系中，為動點，與直線垂直，垂足位于第一象限，與直線垂直，垂足位于第四象限，且，記動點的軌跡為.（1）求的方程；（2）已知點，，設點與點關于原點對稱，的角平分線為直線，過點作的垂線，垂足為，交于另一點，求的最大值.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，設，，且.（1）證明：；（2）當時，證明：. 參考答案及多維細目表題號123456789101112答案BCACBDCBACDACBCDACD1.【答案】B【解析】由題意可得，可得，，，，，則，，故.故選B.2.【答案】C【解析】∵，∴，①當時，滿足，此時，解得；②當時，由，得，解得；綜上所述，，故選C.3.【答案】A【解析】，，，，當時，，即和夾角為，故是和夾角為的充分不必要條件.故選A.4.【答案】C【解析】由得，即，∴數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，∵，∴，，∴當且時，；當且時，；∴有最大值，最大值為.故選C.5.【答案】B 【解析】由，得，由余弦定理得，∴，即，由正弦定理得，∵，∴，即.∵，∴，∴，又為銳角三角形，∴，∴，解得，又，，，∴，∴.故選B.6.【答案】D【解析】第一個黃金三角形：的底為，由可得腰長；第二個黃金三角形：的底為，由可得腰長；第三個黃金三角形：的底為，由可得腰長；…以此類推，第2023個黃金三角形的底為，腰長為，∴周長為，∵，∴原式.故選D.7.【答案】C【解析】由題意可知，函數(shù)的圖像如下圖所示： 根據(jù)函數(shù)圖像，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；且時取最大值2，在時取最小值0，是部分圖像的漸近線.令，則關于的方程即可寫成，此時關于的方程應該有兩個不相等的實數(shù)根（其他情況不合題意），設，為方程的兩個實數(shù)根，顯然，有以下兩種情況符合題意：①當，時，此時，則；②當，時，此時，則；綜上可知，實數(shù)的取值范圍是.故選C.8.【答案】B【解析】對于A，依題意，過橢圓的上頂點作軸的垂線，過橢圓的右頂點作軸的垂線，則這兩條垂線的交點在圓上，∴，得，∴橢圓的離心率，故A正確；對于B，∵點，，都在圓上，且，∴為圓的直徑，∴，∴面積的最大值為，故B錯誤；對于C，解法一：設，的左焦點為，連接，∵， ∴，又，∴，則到的左焦點的距離的最小值為，故C正確；解法二：為圓上的動點，到左焦點的距離的最小值就是到圓心的距離減去到左焦點的距離，即為，故C正確；對于D，由直線經(jīng)過坐標原點，易得點，關于原點對稱，設，，則，又，，又兩式相減得，∴，又，∴，故D正確.故選B.9.【答案】ACD【解析】對A，根據(jù)分層抽樣，分別從高一學生，高二學生，高三學生中抽取40人，30人，30人，故A正確；對B，抽取的高二年級每天的總讀書時間為，抽取的高一年級每天的總讀書時間為，高二年級每天的總讀書時間比高一年級少15小時，故B錯誤；對C，被抽取的學生每天的讀書時間的平均數(shù)為（小時），故C正確；對D，被抽取的學生每天的讀書時間的方差為，∴估計全體學生每天的讀書時間的方差為，故D正確.故選ACD.10.【答案】AC 【解析】對A，，而為定值.連接，∵且，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面，∴上所有點到平面的距離不變，∴三棱錐的高不變，∴為定值，故A正確；對B，若平面，平面，則，又，∴，不成立，故B錯誤；對C，∵為定值，∴只要到的距離最長，過作于，過作于，連接，∵，∴，又，，平面，∴平面，又平面，則，要使最長，只需最長，即點在時，最長，此時，故C正確；對D，當在點時，為正三棱錐，設三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，由等體積法：，∴，∴，故D錯誤.故選AC.11.【答案】BCD【解析】設實際比賽局數(shù)為，則，， ，因此三局就結(jié)束比賽的概率為，故A錯誤；，由，則常數(shù)項為3，故B正確；，故C正確；，∵，∴，令，解得；令，解得，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∵，∴關于對稱，且越極端，越可能快結(jié)束，有，得，則D正確.故選BCD.12.【答案】ACD【解析】，令，解得，令，解得，∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，∴在處取得極大值，，令，解得，令，解得，∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，∴在處取得極大值，依據(jù)題意，和有相同的極大值，故，解得，故A正確；作出函數(shù)圖象如下圖所示，若，則，故B錯誤；由圖像可知，當時，，，∴，C正確；對于D，若時，則，，，則有，∴，可得，同理可得，∴，故D正確.故選ACD. 13.【答案】【解析】，∵的指數(shù)是3，∴得到，∵的指數(shù)是2，得到，∴項的系數(shù)為.14.【答案】【解析】從甲箱中摸紅球：擲到點數(shù)為5或6的概率為，再從甲箱中摸到紅球的概率為，故從甲箱中摸到紅球的概率為；從乙箱中摸紅球：擲到點數(shù)為1，2，3，4的概率為，再從乙箱中摸到紅球的概率為，故從乙箱中摸到紅球的概率為；因此，摸到紅球的概率為，∴紅球來自甲箱子的概率.15.【答案】【解析】設正四面體二面角平面角為，則，點到底面的距離為，點到定直線的距離為，則.再由點到底面的距離與到點的距離之比為正常數(shù)，可得，故，∵平面內(nèi)，點為定點，直線為定直線，又動點的軌跡是拋物線，故，故.16.【答案】 【解析】∵，則，設，，，如圖，∴，∴，當且僅當，，三點共線且在，之間時等號成立，又，故的最大值為；∵，令，則，化簡可得，∴，∴，又，使成立，∴，∴，故.17.【解析】（1）圖像的最高點為，且，∴，根據(jù)圖像可知，則，，解得，∴的解析式為，令，得即的坐標為，∴，綜上，，，、兩點之間的距離為10.……5分（2）在中，，，由余弦定理可得，即，由均值不等式得 ，∴.∴面積最大值為.10分18.【解析】（1）延長交的延長線于，連接，則即為直線的位置.∵，∴平面，平面，∴平面平面，∴平面平面，則即為直線的位置.（也可根據(jù)線面平行性質(zhì)確定直線位置）……6分（2）設直線與交于點，則為四等分點，正方體被平面截成兩部分，較小部分為三棱臺，.……12分19.【解析】（1），∴在十八歲生日當天時，一次性取出的金額總數(shù)為17000元.……4分（2）設到商場勤工儉學的天數(shù)為，則第一種方案領取的報酬為；第二種方案每天報酬與天數(shù)成首項為4，公差為4的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前項和公式可得：領取的報酬為；第三種方案每天報酬與天數(shù)成首項為0.4，公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前項和公式可得：領取的報酬為.， 當時，；當時，；當時，.令，則，當時，，此時數(shù)列單調(diào)遞減，則；當時，，此時數(shù)列單調(diào)遞增，即.∵，則，又∵，，故當時，，即，當時，，即.令，其中，則，令，則，當時，，此時數(shù)列單調(diào)遞增，則，則，∴當時，數(shù)列單調(diào)遞增，則，即，綜上所述，當時，，應選第一種方案；當時，，應選第三種方案.……12分20.【解析】（1）設第一次抽取的人記為，第二次抽取的人記為，則可用數(shù)組表示樣本點.設事件“抽到兩名男生”，有放回簡單隨機抽樣的樣本空間，；……2分不放回簡單隨機抽樣的樣本空間，；……4分按性別等比例分層抽樣，先從男生中抽一人，再從女生中抽一人，其樣本空間， ∵按性別等比例分層抽樣，不可能抽到兩名男生，∴，因此.……5分計算表明，在總體的男、女生人數(shù)相同的情況下，用有放回簡單隨機抽樣進行抽樣，出現(xiàn)全是男生的樣本的概率為0.25；用不放回簡單隨機抽樣進行抽樣，出現(xiàn)全是男生的樣本的概率約為0.167，可以有效地降低出現(xiàn)“極端”樣本的概率.特別是，在按性別等比例分層抽樣中，全是男生的樣本出現(xiàn)的概率為0，真正避免了這類極端樣本的出現(xiàn).所以改進抽樣方法對于提高樣本的代表性很重要.……6分（2）對于有放回摸球，每次摸到黃球的概率為，且各次試驗是獨立的，因此，的分布列為，，的數(shù)學期望為；……8分對于不放回摸球，各次試驗不獨立，服從超幾何分布，的分布列為，，的數(shù)學期望為.……10分說明：二項分布和超幾何分布都可以描述隨機抽取的件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律，并且二者的均值相同.對于不放回抽樣，當遠遠小于時，每抽取一次后，對的影響小，此時，超幾何分布可以用二項分布近似.……12分21.【解析】（1）由題意得：設，，∴，又∵垂足位于第一象限，垂足位于第四象限，，∴的軌跡方程為.…4分（2）由對稱性，不妨設在第一象限，設，則，設直線的斜率為，記，由為的角平分線，則，其中，，，，∴， 同理得：，代入中，，化簡得：，將代入，中，解得：，，∴，，設直線的方程為，將代入，解得：，∴直線的方程為，，由點到直線距離公式得：，由直線的斜率為，設直線的方程為，將點代入，解得：，∴直線的方程為，將其與聯(lián)立得：，設，則，，由可知，，由均值不等式，，當且僅當， 即時，等號成立，∵，故，∴，當且僅當時，等號成立，的最大值為.……12分22.【解析】（1），不妨設，，即，得，令，則，即證：，令，，∴在上是減函數(shù)，∴，∴得證，∴成立.……5分（2）方法一：當時，，，令，則，∴在單調(diào)遞增，∴，當時，，設，則，在單調(diào)遞減，∴，即，令，∴，即， ∴，若能證，即可證，即證：，令，，∴在單調(diào)遞增∴，得證.∴當時，.……12分方法二：證明：令，，當時，，當時，，從而在單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，當時，，即，，（這里用到，），令，，從而，，從而，即.當時，要證即證，令，則只需證，令，則，當時，，∴時，，，∴.