四川省成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2023~2024學(xué)年度高二上期10月學(xué)月考試數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間120分鐘；滿分150分注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)/座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡.2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆填涂；答非選擇題時(shí)，使用0.5毫米的黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)；必須在題號(hào)對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)無(wú)效；保持答卷清潔、完整.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷學(xué)生留存，以備評(píng)講）.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.如圖，已知直線PM、QP、QM的斜率分別為、、，則、、的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先判斷三條直線的傾斜角，進(jìn)而根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系即可得出結(jié)論..【詳解】由于直線PM的傾斜角為鈍角，QP、QM的傾斜角為銳角，當(dāng)傾斜角為銳角時(shí)，斜率為正，即，當(dāng)傾斜角為鈍角時(shí)，斜率為負(fù)，即，又因?yàn)閮A斜角為時(shí)，傾斜角越大，斜率越大，即；所以.故選：B.2.縉云山是著名的旅游勝地．天氣預(yù)報(bào)中秋節(jié)連續(xù)三天，每天下雨的概率為0.5，現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)三天中至少有兩天下雨的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1，2，3，4 表示當(dāng)天下雨，5，6，7，8，9表示當(dāng)天不下雨，每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三天是否下雨的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：926446072021392077663817325615405858776631700259305311589258據(jù)此估計(jì)三天中至少有兩天下雨的概率約為（）A.0.45B.0.5C.0.55D.0.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定數(shù)據(jù)，求出三天中至少有兩天下雨的隨機(jī)數(shù)組數(shù)即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，20組隨機(jī)數(shù)中，表示三天中至少有兩天下雨的隨機(jī)數(shù)有：446，072，021，392，325，405，631，700，305，311，共10組，所以三天中至少有兩天下雨的概率約為.故選：B3.已知直線與直線互相平行，則實(shí)數(shù)的值為()A.B.2或C.2D.【答案】D【解析】【分析】?jī)芍本€斜率存在時(shí)，兩直線平行則它們斜率相等，據(jù)此求出a的值，再排除使兩直線重合的a的值即可﹒【詳解】直線斜率必存在，故兩直線平行，則，即，解得，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，∴．故選：D．4.現(xiàn)從2個(gè)男生2個(gè)女生共4人中任意選出2人參加巴蜀中學(xué)高三年級(jí)的百日誓師大會(huì)，已知選出的2人中有一個(gè)是男生，則另一個(gè)是女生的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】列舉法求古典概型概率. 【詳解】假設(shè)兩名男生為，，兩名女生為，，從中任選兩人有男生的情況有：，，，，共5種情況，其中一男一女的情況有4種，故所求概率為，故選：C5.△ABC中，D為AB上一點(diǎn)且滿足，若P為線段CD上一點(diǎn)，且滿足（，為正實(shí)數(shù)），則的最小值為（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合三點(diǎn)共線的結(jié)論可得，再根據(jù)基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)镻為線段CD上一點(diǎn)，則，且，又因?yàn)?，可得，即，所以，可得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為4.故選：B.6.數(shù)學(xué)家歐拉在1765 年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知的頂點(diǎn)，且，則的歐拉線的方程為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】因?yàn)?，結(jié)合題意可知的歐拉線即為線段的垂直平分線，利用點(diǎn)斜式求方程．【詳解】∵，結(jié)合題意可知的歐拉線即為線段的垂直平分線的中點(diǎn)為，斜率，則垂直平分線的斜率則的歐拉線的方程為，即故選：D．7.在如圖所示的電路中，5個(gè)盒子表示保險(xiǎn)匣，設(shè)5個(gè)盒子被斷開(kāi)分別為事件，，，，.盒子中所示數(shù)值表示通電時(shí)保險(xiǎn)絲被切斷的概率，下列結(jié)論正確的是（）A.，兩個(gè)盒子串聯(lián)后暢通的概率為B.，兩個(gè)盒子并聯(lián)后暢通的概率為C.，，三個(gè)盒子混聯(lián)后暢通的概率為D.當(dāng)開(kāi)關(guān)合上時(shí)，整個(gè)電路暢通的概率為【答案】D【解析】【分析】串聯(lián)電路中，同時(shí)暢通電路才暢通；并聯(lián)電路中，同時(shí)斷電才斷電；故利用對(duì)立事件，相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率判斷選項(xiàng)． 【詳解】對(duì)于A：，兩個(gè)盒子串聯(lián)后暢通的概率為，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B：，兩個(gè)盒子并聯(lián)后暢通的概率為，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C，，兩個(gè)盒子串聯(lián)后不暢通的概率為，所以，，三個(gè)盒子混聯(lián)后暢通的概率為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)開(kāi)關(guān)合上時(shí)，整個(gè)電路暢通的概率為，故D正確．故選：D．8.的最小值所屬區(qū)間為（）A.B.C.D.前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】C【解析】【分析】利用代數(shù)式的幾何意義可求最小值.【詳解】如圖，設(shè)．根據(jù)題意，設(shè)題中代數(shù)式M，則，等號(hào)當(dāng)P，Q分別為直線與x軸，y軸交點(diǎn)時(shí)取得．因此所求最小值為13．故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分. 9.某保險(xiǎn)公司為客戶定制了5個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短險(xiǎn)；乙，兩全保險(xiǎn)；丙，理財(cái)類保險(xiǎn)；丁，定期壽險(xiǎn)：戊，重大疾病保險(xiǎn)，各種保險(xiǎn)按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賠．該保險(xiǎn)公司對(duì)5個(gè)險(xiǎn)種參?？蛻暨M(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計(jì)圖例：用該樣本估計(jì)總體，以下四個(gè)選項(xiàng)正確的是（）A.54周歲以上參保人數(shù)最少B.18～29周歲人群參?？傎M(fèi)用最少C.丁險(xiǎn)種更受參保人青睞D.30周歲以上的人群約占參保人群20%【答案】AC【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖可得A正確；B選項(xiàng)，從扇形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算出54周歲以上人群參?？傎M(fèi)用比18～29周歲人群參?？傎M(fèi)用低，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，從條形統(tǒng)計(jì)圖可得C正確；D選項(xiàng)，從扇形統(tǒng)計(jì)圖可得到D錯(cuò)誤.【詳解】設(shè)抽查的5個(gè)險(xiǎn)種參?？蛻舻目?cè)藬?shù)為，A選項(xiàng)，從扇形圖可得到54周歲以上參保人數(shù)占比為，人數(shù)最少，A正確；B選項(xiàng)，18～29周歲人群人均參保費(fèi)用高于3500元，故參?？傎M(fèi)用高于，54周歲以上人群人均參保費(fèi)用為6000元，故參?？傎M(fèi)用為，由于，故18～29周歲人群參?？傎M(fèi)用不是最少的，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，從條形統(tǒng)計(jì)圖可看出丁險(xiǎn)種所占比例為，比其他險(xiǎn)種均高，故更受參保人青睞，C正確；D選項(xiàng)，30周歲以上的人群約占參保人群為，D錯(cuò)誤.故選：AC10.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（） A.過(guò)兩點(diǎn)的所有直線，其方程均可寫(xiě)為B.已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，則的最小值為C.直線與直線之間的距離為D.已知兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是【答案】AC【解析】【分析】利用直線的兩點(diǎn)式方程的意義判斷A；利用對(duì)稱思想求出的最小值判斷B；求出平行線間距離判斷C；求出直線斜率范圍判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)或時(shí)，過(guò)兩點(diǎn)的直線方程不能用表示，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，作點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交y軸于點(diǎn)，連接，對(duì)于y軸上任意點(diǎn)，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)取等號(hào)，因此，B正確；對(duì)于C，直線化為：，所求距離為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線的斜率，由直線與線段有公共點(diǎn)，得直線的斜率滿足：或，所以直線的斜率的取值范圍是，D正確. 故選：AC11.在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為D.當(dāng)時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【答案】ABD【解析】【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算判斷AB；利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率計(jì)算判斷C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為，A正確；對(duì)于B，三次傳輸，發(fā)送1，相當(dāng)于依次發(fā)送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為，B正確；對(duì)于C，三次傳輸，發(fā)送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和， 它們互斥，由選項(xiàng)B知，所以所求的概率為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，三次傳輸，發(fā)送0，則譯碼為0的概率，單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0的概率，而，因此，即，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.12.如圖；正方體的棱長(zhǎng)為2，是側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界）；點(diǎn)在棱上；則下列結(jié)論正確的有（）A.若；沿正方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離為B.若，三棱錐的外接球表面積為C.若；，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為D.若；平面被正方體截得截面面積為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，將正方體的下面和側(cè)面展開(kāi)，連接，計(jì)算即可判斷；對(duì)于B正弦定理知外接圓半徑，又平面，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，求得即可判斷；對(duì)于C，由線面垂直和面面平行的判定定理，設(shè)平面交平面于，則的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段，求得即可判斷；對(duì)于D，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接交于，連接，則平面被正方體 截得的截面為，利用三角形相似即可判斷．【詳解】對(duì)于A，將正方體的下面和側(cè)面展開(kāi)可得如圖圖形，連接，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)，所以中，，則，設(shè)外接圓半徑為，則由正弦定理知：，則，又平面，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，所以三棱錐的外接球表面積，故B正確；對(duì)于C，如圖：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，，平面，所以平面，平面，所以，同理可得，，，平面．所以平面，所以過(guò)點(diǎn)作交交于，過(guò)作交交于，所以平面，同理可得平面，平面，所以平面平面，所以平面,取連接,則均在平面上，則的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段，由于平面,平面,所以, 由點(diǎn)在棱上，且，可得，所以，故C正確；對(duì)于D，如圖：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接交于，連接，所以平面被正方體截得的截面為．，所以，所以，所以，所以，且，所以截面為梯形，，所以截面為等腰梯形，設(shè)梯形的高為，則,所以，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作出截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.在一次籃球比賽中，某支球隊(duì)共進(jìn)行了8場(chǎng)比賽，得分分別為29，30，38，25，37，40，42，32，那么這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為_(kāi)_____. 【答案】39【解析】【分析】根據(jù)第75百分位數(shù)的定義計(jì)算可得答案.【詳解】8場(chǎng)比賽的得分從小到大排列為：25，29，30，32，37，38，40，42，因?yàn)?，所以?5百分位數(shù)為.故答案為：3914.直線l過(guò)點(diǎn)（1，2），且縱截距為橫截距的兩倍，則直線l的方程是___________.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①直線過(guò)原點(diǎn)，又由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得出答案.②直線不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)其方程為，又由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入求出，即可求出直線l的方程.【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論：①直線過(guò)原點(diǎn)，又由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，此時(shí)直線的方程為，即；②直線不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)其方程為，又由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則有，解可得，此時(shí)直線的方程為，故直線l的方程為或.故答案為：或.15.正四棱錐底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)S、A、B、C、D都在同一個(gè)球的球面上，則該球的表面積為_(kāi)___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理即可求解球半徑,由球的表面積公式即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)球半徑為，底面中心為且球心為，正四棱錐中，， ，可得，．在中，，，解得，因此可得外接球的表面積為：．故答案為：．16.如圖，某人在垂直于水平地面的墻面前的點(diǎn)處進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知點(diǎn)到墻面的距離為，某目標(biāo)點(diǎn)沿墻面上的射線移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)，需計(jì)算由點(diǎn)觀察點(diǎn)的仰角的大小，則的最大值是______.（仰角為直線與平面所成的角）【答案】【解析】【分析】根據(jù)仰角的定義，作圖，利用圖中的幾何關(guān)系列出函數(shù)式，借助二次函數(shù)求解作答.【詳解】過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，如圖， 則由仰角的定義得，由題意，設(shè)，則，當(dāng)點(diǎn)與不重合時(shí)，在中，，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，上式也成立，在中，，當(dāng)時(shí)，取最大值，綜上，的最大值為.故答案為：.四、解答題：第17題10分，第18~22題每道題12分，共計(jì)70分.解答應(yīng)寫(xiě)出相應(yīng)的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或者演算步驟.17.已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取７名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)．（Ⅰ）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？（Ⅱ）設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作．（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；（ii）設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)”，求事件M發(fā)生的概率．【答案】（1）3，2，2（2）（i）見(jiàn)解析（ii） 【解析】【詳解】分析：（Ⅰ）結(jié)合人數(shù)的比值可知應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）由題意列出所有可能的結(jié)果即可，共有21種．（ii）由題意結(jié)合（i）中的結(jié)果和古典概型計(jì)算公式可得事件M發(fā)生的概率為P（M）=．詳解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．（ii）由（Ⅰ），不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來(lái)自甲年級(jí)的是A，B，C，來(lái)自乙年級(jí)的是D，E，來(lái)自丙年級(jí)的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．所以，事件M發(fā)生的概率為P（M）=．點(diǎn)睛：本小題主要考查隨機(jī)抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基本知識(shí)．考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力．18.已知直線l1：2x+y+3＝0，l2：x﹣2y＝0．(1)求直線l1關(guān)于x軸對(duì)稱的直線l3的方程，并求l2與l3的交點(diǎn)P；(2)求過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)O（0，0）距離等于2的直線m的方程．【答案】(1)2x﹣y+3＝0，P（﹣2，﹣1）；(2)3x+4y+10＝0或x＝﹣2.【解析】【分析】(1)由對(duì)稱關(guān)系求直線l3的方程，聯(lián)立l2與l3的方程，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，(2)當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m的點(diǎn)斜式方程，由點(diǎn)到直線距離公式列方程求斜率，由此可得直線m的方程，再檢驗(yàn)過(guò)點(diǎn)P的斜率不存在的直線是否滿足要求.【詳解】(1)由題意，直線l3與直線l1的傾斜角互補(bǔ)，從而它們的斜率互為相反數(shù)，且l1與l3必過(guò)x軸上相同點(diǎn)，∴直線l3的方程為2x﹣y+3＝0，由解得 ∴P（﹣2，﹣1）．(2)當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m的方程為y+1＝k（x+2），即kx﹣y+2k﹣1＝0，∴原點(diǎn)O（0，0）到直線m距離為，解得，∴直線m方程為3x+4y+10＝0，當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，直線x＝﹣2滿足題意，綜上直線m的方程為3x+4y+10＝0或x＝﹣2．19.某市為了了解人們對(duì)“中國(guó)夢(mèng)”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這人的平均年齡和第80百分位數(shù)；（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任本市的“中國(guó)夢(mèng)”宣傳使者.（i）若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定人選宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；（ii）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，據(jù)此估計(jì)這人中35~45歲所有人的年齡的方差.【答案】（1）32.25歲；37.5；（2）（i）；（ii）10.【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖，利用組中值乘以相應(yīng)的頻率，即可的這人的平均年齡；設(shè)第80 百分位數(shù)為，計(jì)算從左到右頻率和為或計(jì)算從右到左頻率和為，即可求出；(2)（i）由題意可得，第四組應(yīng)抽取4人，記為，，，甲，第五組抽取2人，記為，乙，根據(jù)古典概型計(jì)算方法求解即可；（ii）根據(jù)方差的計(jì)算原理計(jì)算合并后方差即可.【詳解】解：（1）設(shè)這人的平均年齡為，則（歲）.設(shè)第80百分位數(shù)為，方法一：由，解得.方法二：由，解得.（2）（i）由題意得，第四組應(yīng)抽取4人，記為，，，甲，第五組抽取2人，記為，乙，對(duì)應(yīng)的樣本空間為：，共15個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)事件“甲、乙兩人至少一人被選上”，則，共有9個(gè)樣本點(diǎn).所以，.（ii）設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，則，，，，設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為.則，，因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，據(jù)此，可估計(jì)這人中年齡在35~45歲的所有人的年齡方差約為10.20.為了普及垃圾分類知識(shí)，某校舉行了垃圾分類知識(shí)考試. 試卷中只有兩道題目，已知甲同學(xué)答對(duì)每題的概率都為，乙同學(xué)答對(duì)每題的概率都為，且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響.已知每題甲?乙同時(shí)答對(duì)的概率為，恰有一人答對(duì)的概率為.（1）求和的值；（2）試求兩人共答對(duì)3道題的概率.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用獨(dú)立、互斥事件概率公式得到方程組求解；（2）先求出甲、乙答對(duì)題目數(shù)為0、1、2的概率，再由甲乙總共答對(duì)3道題，等價(jià)于甲答對(duì)2道題乙答對(duì)1道題或甲答對(duì)1道題乙答對(duì)2道題，利用獨(dú)立、互斥事件概率公式計(jì)算求得.【小問(wèn)1詳解】由題意可得即，解得或由于，所以【小問(wèn)2詳解】設(shè)甲同學(xué)答對(duì)了道題乙同學(xué)答對(duì)了道題.由題意得，，，設(shè)甲乙二人共答對(duì)3道題，則，由于和相互獨(dú)立，與相互互斥，所以 ，所以甲乙二人共答對(duì)3道題的概率為.21.在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.（1）求A；（2）若D為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理和三角恒等變換化簡(jiǎn)求值即可；（2）分別在和中利用正弦定理表示出，進(jìn)而表示出，根據(jù)為銳角三角形求出，從而求出的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】角A，B，C是的內(nèi)角，故.在銳角中,由正弦定理得，，即，所以，即，故，又，所以.【小問(wèn)2詳解】在中，，在中，，所以 故.因?yàn)闉殇J角三角形，,所以，解得，所以，所以，從而.故的取值范圍為.22.如圖，四邊形與均為菱形，，，，記平面與平面的交線為．（1）證明：；（2）證明：平面平面；（3）記平面與平面夾角為，若正實(shí)數(shù)，滿足， ，證明：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）通過(guò)線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可；（2）通過(guò)圖形關(guān)系證明，，然后得到線面垂直，再證明面面垂直即可；（3）首先通過(guò)幾何圖形關(guān)系得到即為平面與平面的夾角，得到角度后，通過(guò)基本不等式或三元均值不等式轉(zhuǎn)化證明即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闉榱庑危?，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所?【小問(wèn)2詳解】連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榱庑危?，為中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫妫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫嫘?wèn)3詳解】因?yàn)闉榱庑?，，，所以，，又因?yàn)闉榱庑?，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，即?又因?yàn)?，平面，，所以平面，又由?）知，所以平面，所以即為平面與平面的夾角，在直角中，，所以，所以平面與平面夾角的大小為，因?yàn)?，所以，兩式相加得，，下面證明：①；②；且等號(hào)不同時(shí)取；法一：基本不等式因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，同理（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)）所以，即，所以法二：三元均值不等式 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，同理（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)）所以，即，所以.