四川省廣元中學2023-2024學年高二上學期第一次階段性測試（10月）數學Word版含解析.docx

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廣元中學高2022級高二上期第一次階段性測試數學試題考試時間：120分鐘一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知直線的傾斜角是，則該直線的斜率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據直線斜率與傾斜角的關系進行求解即可.【詳解】因為直線的傾斜角是，所以該直線的斜率為，故選：C2.對于空間任意一點和不共線的三點，有如下關系：，則（）A.四點必共面B.四點必共面C.四點必共面D.五點必共面【答案】B【解析】【分析】根據如下結論判斷：對于空間任一點和不共線三點，若點滿足且，則四點共面.【詳解】對于空間任一點和不共線三點，若點滿足且，則四點共面.而，其中，所以四點共面.故選：B.3.點關于平面對稱的點的坐標是（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用空間直角坐標系的性質即可得出結果.【詳解】由空間直角坐標系的性質可知，點關于平面對稱的點的坐標是.故選：A4.直三棱柱中，若，，，則（）.A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據空間向量對應線段位置關系，及向量加減的幾何意義用表示出即可.【詳解】根據向量的加減法運算法則得：.故選：A5.已知隨機事件和互斥，且,.則A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據互斥事件的概率公式可求得，利用對立事件概率公式求得結果. 【詳解】與互斥本題正確選項：【點睛】本題考查概率中互斥事件、對立事件概率公式的應用，屬于基礎題.6.如圖所示，已知正方體，，分別是正方形和的中心，則和所成的角是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，令正方體的棱長為，則，，，，所以，，設和所成的角為，則，因為，所以.故選：B 7.已知在平行六面體中，向量，，兩兩的夾角均為，且，，，則（）A.5B.6C.4D.8【答案】A【解析】【分析】利用向量數量積公式即可求解.【詳解】如圖，平行六面體中，向量、、兩兩的夾角均為，且，，，.，故選：A.8.設點?，若直線l過點且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（）A.或B.或C.D.【答案】A【解析】 【分析】根據斜率的公式，利用數形結合思想進行求解即可.【詳解】如圖所示：依題意，，要想直線l過點且與線段AB相交，則或，故選：A二、多選題（本大題共4個小題，每題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.下列選項正確的是（）A.若直線l的一個方向向量(1，)，則直線l的斜率為B.已知向量，則在上的投影向量為C.若，則是銳角D.直線l的方向向量為，且l過點，則點到直線l的距離為2【答案】ABD【解析】【分析】由直線方向向量的概念即可判斷A，由投影向量的定義，即可判斷B，由平面向量數量積的定義即可判斷C，由空間中點到直線的距離公式，即可判斷D.【詳解】因為直線l的一個方向向量(1，)，則直線l的斜率為，故A正確；由投影向量的定義可知，在上的投影向量為 ，故B正確；若，則，故C錯誤；由條件可得，由，所以在方向上的投影為，則點到直線的距離為，故D正確；故選：ABD.10.下列命題中，是假命題的是（）A.若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大B.若直線的傾斜角為，則直線的斜率為C.若直線傾斜角，則斜率的取值范圍是D.若直線的斜率為，則直線的傾斜角為【答案】ABD【解析】【分析】利用正切函數圖象判斷選項AC的真假；B.若直線的傾斜角為直角，則直線沒有斜率，所以該選項錯誤；舉反例說明選項D錯誤.【詳解】A.若直線的傾斜角是銳角，則斜率大于零，若直線的傾斜角是鈍角，則斜率小于零，所以該選項錯誤；B.若直線的傾斜角為直角，則直線沒有斜率，所以該選項錯誤；C.若直線傾斜角，則斜率的取值范圍是，所以該選項正確；D.若直線的斜率為，則但是直線的傾斜角為不是，而是，所以該選項錯誤.故選：ABD11.已知空間中三點，，，則下列結論錯誤的是（） A.與是共線向量B.與同向的單位向量是C.與夾角的余弦值是D.平面的一個法向量是【答案】AC【解析】【分析】A：利用共線向量定義進行判斷；B：與同向的單位向量；C：利用向量夾角余弦公式判斷；D：設平面的法向量為，則，由此能求出結果．【詳解】對于A：，與不是共線向量，故A錯誤；對于B：，則與同向的單位向量是，故B正確；對于C：，∴，故C錯誤；對于D：，設平面的法向量為，則，取，得，故D正確．故選：AC．12.如圖所示，棱長為1的正方體中，點為線段上的動點（不含端點），則下列結論正確的是（）． A.平面平面B.三棱錐的體積為C.D.【答案】ACD【解析】【分析】以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，根據空間向量的坐標運算，逐項判斷即可.【詳解】如圖，以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，則對于A，連接，因為平面，平面，所以是平面的一個法向量，又，所以，則，又平面，所以平面則是平面的一個法向量，又， 所以平面平面，故A正確；對于B，連接，因為，，所以，則，又平面，平面，所以平面，點在線段上的動點，點到平面的距離即點到平面的距離，設平面的法向量為，又，則，令，所以又，所以距離，在中，所以正三角形，故B不正確；對于C，點為線段上的動點（不含端點），則設所以，則，故C正確；對于D，因為，，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共4個小題，每題5分，共20分）13.已知直線與直線互相垂直，直線的斜率為-2，則直線的斜率為___________．【答案】##【解析】【分析】根據垂直直線的斜率關系列出方程，求解即可得出答案.【詳解】設直線的斜率為，因為，直線的斜率為-2， 所以，解得.故答案為：.14.已知，，則線段AB的長為___________．【答案】【解析】【分析】根據空間中兩點間距離公式，準確計算，即可求解.【詳解】因為點，，根據空間中兩點間距離公式，可得.故答案為：.15.正方體的棱長為2，若動點在線段上運動，則的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標系，設，即可求出，再根據的范圍，求出的取值范圍．【詳解】解：以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系．則，，，，．，，．點在線段上運動， ，且．，，∵，∴，即，故答案為：．16.已知菱形的各邊長為.如圖所示，將沿折起，使得點到達點的位置，連接，得到三棱錐，此時.若是線段的中點，點在三棱錐的外接球上運動，且始終保持則點的軌跡的面積為__________.【答案】【解析】【分析】取中點，由題可得平面，設點軌跡所在平面為，則軌跡為平面截三棱錐的外接球的截面圓，利用球的截面性質求截面圓半徑即得.【詳解】取中點，連接，則，，平面，所以平面，又因為，則，作于，設點軌跡所在平面為，則平面經過點，且，設三棱錐外接球的球心為，半徑為，的中心分別為，可知平面平面，且四點共面，由題可得， 在Rt中，可得，又因為，則，易知到平面的距離，故平面截外接球所得截面圓的半徑為，所以截面圓的面積為.故答案為：.【點睛】方法點睛：多面體與球切、接問題的求解方法利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解．四、解答題（本大題共6個小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知空間向量，，．（1）若，求；（2）若與相互垂直，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據空間向量共線公式列式求參即可；（2）根據空間向量垂直數量積為0列式求參即可.小問1詳解】 ，，，即，且，，解得；【小問2詳解】，，又，解得．18.一個口袋中裝有5個大小完全相同的球，其中3個紅色，2個白色，若從中任取2個球．（1）求事件“恰有1個紅色球”的概率；（2）求事件“兩個都是紅色球”的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】根據古典概型公式求解即可.【小問1詳解】設3個紅球分別是，兩個白球分別為，從中任取2個球，基本事件為：，共10個．事件“恰有1個紅色球”的基本事件為：，共6個．所以．【小問2詳解】事件“兩個都是紅色球”的基本事件為：，共3個．所以．19.已知在?ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4).（1）求點D的坐標；（2）試判定?ABCD是否為菱形？【答案】（1）D(－1,6)（2）為菱形 【解析】【分析】（1）設點D坐標為(a，b)，根據四邊形ABCD為平行四邊形，由kAB＝kCD，kAD＝kBC求解；（2）根據kAC·kBD＝－1判斷.【小問1詳解】解：設點D坐標為(a，b)，因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，所以解得所以D(－1,6).【小問2詳解】因為kAC＝＝1，kBD＝＝－1，所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，所以?ABCD為菱形.20.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，M為PC中點．（1）求證：平面MBD；（2）若，求直線BM與平面AMD所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2） 【解析】【分析】（1）根據線面平行的判定定理，結合中位線的性質即可得證；（2）根據題意，建立空間直角坐標系，得到對應點的坐標，求得和平面AMD的法向量，由向量夾角的計算公式，可得答案.【小問1詳解】連接AC交BD于點O，連接OM，由四邊形ABCD為矩形，可知O為AC中點，M為PC中點，所以，又平面，平面，所以平面MBD.【小問2詳解】以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的法向量為，則，令，則，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為． 21.已知，函數.（1）求的周期和單調遞減區(qū)間；（2）設銳角的三個角所對的邊分別為a，b，c，若，且，求周長的取值范圍.【答案】（1）最小正周期為，（2）【解析】【分析】(1)將利用平面向量數量積的坐標運算和三角恒等變換化簡后可得；然后利用正弦函數的周期公式和單調性即可求出單調遞減區(qū)間；（2）利用正弦定理表示出，利用三角恒等變換將化簡，再根據角度范圍求出結果.【小問1詳解】，則，函數的最小正周期為.的單調遞減區(qū)間需要滿足： ，即，所以的單調遞減區(qū)間為.【小問2詳解】因為，所以，因為，所以，因為，則由正弦定理可得，所以，因為，所以，所以，所以，則，所以的取值范圍為.所以周長的取值范圍是22.在直角梯形中，，，，直角梯形繞直角邊旋轉一周得到如下圖的圓臺，已知點分別在線段上，二面角的大小為． （1）若，，，證明：平面；（2）若，點為上的動點，點為的中點，求與平面所成最大角的正切值，并求此時二面角的余弦值．【答案】（1）證明見詳解（2），【解析】【分析】（1）構造面面平行來推線面平行，作QE∥AB交AC于E，連接PE即證面PEQ∥面AB1即可；（2）建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量求出與平面所成最大角時的P點位置，求其正切，再求二面角即可.【小問1詳解】如圖所示，過Q作QE∥AB交AC于E，連接PE，過C1作C1F∥A1A，交AC于F，∵，結合圓臺的特征知，又∵，解三角形得，故，即，∵，由題意易知四邊形為直角梯形， ∴，，故，∵面，面，∴QE∥面，同理PE∥面，又面PQE，∴面∥面，面，∴平面，得證；【小問2詳解】如圖，結合圓臺的特征，當時，此時兩兩垂直，故以A為中心，以AB、AC、AA1所在的直線分別為軸、軸、軸，則，設，則，，易知軸⊥面，不妨取作為面的一個法向量，設與平面所成角為，則，即當時，取得最大值，此時為最大角，，設此時面APQ的一個法向量為， 易得，則，令，則，即，由圖可知該二面角的平面角為銳角，設其為，故，