重慶市南開中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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重慶南開中學(xué)高2026級(jí)高一（上）期中考試數(shù)學(xué)試題本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答題卷上．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題．每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．請(qǐng)將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上．1.設(shè)全集小于10的正整數(shù)，，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】用列舉法求出全集，再利用補(bǔ)集、交集的定義求解即得.【詳解】依題意，全集，而，則，又，所以.故選：A2.命題“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題即可求解.【詳解】命題“，”的否定是:，,故選：B3.若函數(shù)，則的定義域?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】由具體函數(shù)的定義域求解即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以?故的定義域?yàn)?故選：C.4.已知，則“”是“”的（）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件【答案】B【解析】【分析】利用分式不等式的解法，結(jié)合必要非充分條件定義即可進(jìn)行判斷．【詳解】，由可得，解得：或，所以“”不能推出“”；當(dāng)時(shí)，可得：，所以“”可以推出“”“”是“”的必要非充分條件．故選：B．5.下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在單調(diào)遞增的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)基本函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合奇偶性的定義即可逐一求解.【詳解】對(duì)于A,函數(shù)在單調(diào)遞減，故不符合要求，對(duì)于B，在單調(diào)遞減，故不符合要求，對(duì)于D,為對(duì)勾函數(shù)，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故不符合要求， 對(duì)于C，由于的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且故為奇函數(shù)，且函數(shù)均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以為上的單調(diào)遞增函數(shù)，符合要求，故選：C6.已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，若在單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（）A.B.CD.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，以及分類討論即可解決.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù)，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，不等式的解集等價(jià)于：或，即或，所以不等式的解集為：或或，故選：D.7.已知，，，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，再利用基本不等式求函數(shù)最值，最后解關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式即可.【詳解】因?yàn)楹愠闪?，所?又因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即，所以.故選：A.8.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分析給定分段函數(shù)的性質(zhì)，變形方程并結(jié)合圖形求出的范圍即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)取值集合是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)取值集合是，方程，化為，解得或，如圖， 觀察圖象知，的解，即函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，顯然方程只有一個(gè)解，要原方程有四個(gè)不同實(shí)數(shù)根，當(dāng)且僅當(dāng)有3個(gè)不同的實(shí)根，因此直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分．請(qǐng)將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上．9.已知實(shí)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若，則B.若，，則C.若，則D.若，則【答案】ABC【解析】【分析】利用不等式性質(zhì)及特殊值逐項(xiàng)分析即可.【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，故A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)?，，所以，故B正確；選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，所以，故C正確；選項(xiàng)D：，取，故D錯(cuò)誤；故選：ABC. 10.在同一坐標(biāo)系下，函數(shù)與在其定義域內(nèi)的圖像可能是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)以及一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】若，則直線和函數(shù)均為上的單調(diào)遞減函數(shù)，故可排除CD；當(dāng)，此時(shí)，滿足圖象B,若，則直線和函數(shù)均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，比如時(shí)，此時(shí)A選項(xiàng)中的圖象滿足，故選：AB11.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)可能的值有（）A.B.C.D.0【答案】BC【解析】【分析】利用分段函數(shù)在上的單調(diào)性，求出的范圍即判斷得解.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，即可能的值有，. 故選：BC12.定義在上的偶函數(shù)滿足：，且對(duì)于任意，，若函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.在單調(diào)遞增B.C.在單調(diào)遞減D.若正數(shù)滿足，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷、的單調(diào)性判斷AC，根據(jù)單調(diào)性比較大小判斷B，根據(jù)單調(diào)性解不等式判斷D.【詳解】對(duì)于任意，，所以，所以在單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以，所以為奇函?shù)，所以，由在單調(diào)遞增，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于任意，，因?yàn)?，，所以，所以，所以在單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，即，又，所以，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，解得，即，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD 第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)將答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13.若函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)__________．【答案】0【解析】【分析】利用奇函數(shù)定義，列式求解即得.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，由為奇函數(shù)，得，，因此，解得，所以實(shí)數(shù).故答案為：014.已知，則___________.【答案】【解析】【分析】換元令再代入求解即可.【詳解】令，則，故.故答案為：15.求函數(shù)，的最小值__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得，再結(jié)合基本不等式的，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值為. 故答案為：16.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】令，分段解不等式得的取值范圍，再分段解關(guān)于的不等式即得.【詳解】函數(shù)，令，由，得或，解得或，即，因此，即，于是或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．請(qǐng)將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上．17.已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解分式不等式化簡(jiǎn)集合A，把代入求出集合B，再利用交集定義求解即得.（2）由（1）的信息，利用集合的包含關(guān)系列式求解即得.【小問(wèn)1詳解】 由，得，解得，即，當(dāng)時(shí)，，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，而，由，得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)，的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)直接利用冪函數(shù)的定義和在上單調(diào)遞增求出.(2)先分離常數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，再求值域.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，又在上單調(diào)遞增，所以；【小問(wèn)2詳解】由函數(shù)的單調(diào)性可知在上是單調(diào)遞增的，所以 所以，值域?yàn)?9.為定義在上的函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)均滿足．（1）求的解析式；（2）若存在使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，聯(lián)立方程即可求出的解析式；（2）由題意可得存在，使得，令，即，求解在的最大值即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)棰伲寓?，所以②①得?【小問(wèn)2詳解】存在使得不等式成立，即存在使得不等式成立，即，令，所以，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故.故實(shí)數(shù)的取值范圍為．20. 重慶南開中學(xué)作為高中新課程新教材實(shí)施國(guó)家級(jí)示范校，校本選修課是南開中學(xué)課程創(chuàng)新中的重要一環(huán)，學(xué)校為了支持生物選修課程開展，計(jì)劃利用學(xué)校面積為的矩形空地建造試驗(yàn)田，試驗(yàn)田為三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形區(qū)域之間間隔，三塊矩形區(qū)域的前、后與空地邊沿各保留寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左右邊沿保留寬的通道，如圖．設(shè)矩形空地長(zhǎng)為，三塊種植植物的矩形區(qū)域（如下圖中陰影部分所示）的總面積為．（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）求的最大值，及此時(shí)長(zhǎng)的值．【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）根據(jù)題意表示出空地寬為，再表示出關(guān)于的函數(shù)式；（2）利用基本不等式直接求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題知，空地寬為，則【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，故的最大值為，此時(shí)長(zhǎng)的值為.21.已知為定義在上不恒為的函數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)任意，滿足： ，．且當(dāng)時(shí)，．（1）證明：；（2）證明：在單調(diào)遞減；（3）解關(guān)于的不等式：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，可知，可得，即可得證；（2）利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性，（3）根據(jù)函數(shù)的定義可知，再根據(jù)函數(shù)的定義域與單調(diào)性解不等式.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，，且，所以，所以，解得，綜上所述，當(dāng)時(shí)，.【小問(wèn)2詳解】由（1）得當(dāng)時(shí)，，任取，，且，則，，，，所以， 所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；【小問(wèn)3詳解】由（2）得函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以，所以，解得，所以不等式的解集為.22.已知函數(shù)．（1）若方程恰有兩個(gè)不同的正根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若①求在上的最大值；②若，對(duì)有：恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）①；②．【解析】【分析】（1）設(shè)出方程的兩根分別為，根據(jù)即可解出； （2）①根據(jù)分類討論函數(shù)的單調(diào)性，即可求出；②由①求出，即可解不等式求出.【小問(wèn)1詳解】設(shè)方程兩根分別為，因?yàn)榈葍r(jià)于，依題意可得，，解得：，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．【小問(wèn)2詳解】①設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，易知，；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性易知，在上遞減，在上遞增，而，所以，，即．當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)算可知，在上單調(diào)遞增，即，所以，，因?yàn)椋?，?綜上，.②根據(jù)①可知，，所以依題可得，恒成立，解得：或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．補(bǔ)證：函數(shù)在上遞減，在上遞增．設(shè)，則，因?yàn)?，所以，即，所以函?shù)在上遞減，同理可證，函數(shù)在上遞增．【點(diǎn)睛】本題第二問(wèn)的解題關(guān)鍵是分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性以及取最大值的位置，即可得解．