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《浙江省金華市第一中學2023-2024學年高二上學期期末數(shù)學試題 Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
金華一中2023學年高二第一學期期末考試數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.空間直角坐標系中，點是點在坐標平面內(nèi)的射影，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出B點坐標，然后直接用距離公式計算即可.【詳解】由點是點在坐標平面內(nèi)的射影可得，則.故選：A.2.橢圓：的左焦點為，橢圓上的點與關于坐標原點對稱，則的值是（）A.3B.4C.6D.8【答案】D【解析】【分析】令橢圓C的右焦點，由已知條件可得四邊形為平行四邊形，再利用橢圓定義計算作答.【詳解】令橢圓C的右焦點，依題意，線段與互相平分，于是得四邊形為平行四邊形，因此，而橢圓：的長半軸長，所以.故選：D3.等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A.B.8C.1或D.或
【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式及等比數(shù)列通項公式即可求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則因為，所以，即，解得或，所以或.故選：C.4.攢（cuán）尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見于亭閣或園林式建筑．下圖是一頂圓形攢尖，其屋頂可近似看作一個圓錐，其軸截面（過圓錐軸的截面）是底邊長為，頂角為的等腰三角形，則該屋頂?shù)拿娣e約為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由軸截面三角形，根據(jù)已知可得圓錐底面半徑和母線長，然后可解.【詳解】軸截面如圖，其中，，所以，所以，所以圓錐的側(cè)面積.故選：B5.已知圓：，點，則點到圓上點的最小距離為（）
A.1B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】寫出圓的圓心和半徑，求出距離的最小值，再結(jié)合圓外一點到圓上點的距離最小值的方法即可求解.【詳解】由圓：，得圓，半徑為，所以，所以點到圓上點的最小距離為.故選：C.6.直線與曲線相切，且與圓相切，則（）A.B.C.3D.【答案】B【解析】【分析】先由直線與曲線求出，再由直線與圓相切即可求出【詳解】設直線在曲線上的切點為，則，解得，故切點坐標為，將代入直線中，解得，所以直線方程為，即，又與圓相切，則，
故選：B7.在數(shù)列中，，若，，則n的值為（）A.9B.10C.11D.12【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得，利用累加法可得，結(jié)合即可求出n的值.【詳解】由，得，所以，所以，又，所以，又滿足，所以由，解得.故選：B8.已知，是雙曲線的左、右焦點，點A是的左頂點，為坐標原點，以為直徑的圓交的一條漸近線于、兩點，以為直徑的圓與軸交于兩點，且平分，則雙曲線的離心率為（）A.B.2C.D.3【答案】B【解析】【分析】由直徑所對圓周角是直角，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)和角平分線定義可解.【詳解】由圓的性質(zhì)可知，，，所以，因為，所以又因為平分，所以，由，得，所以，即
所以故選：B二、多項題：本題共4小題，每小題5分，共20分．9.已知點橢圓上一點，橢圓焦點是，則下列說法中正確的是（）A.橢圓的長軸長是9B.橢圓焦距是C.存在使得D.三角形的面積的最大值是【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)逐個判斷即可.【詳解】，所以，對于A：因為，所以長軸為，A錯誤；對于B：因為，所以焦距為，B正確；對于C：當取到上頂點時此時取到最大值，此時，，所以，所以此時為鈍角，所以存在使得，C正確；對于D：當取到上頂點時此時三角形的面積取到最大值，此時，D正確，
故選：BCD10.等差數(shù)列的前項和為，，，則（）A.數(shù)列是遞減數(shù)列B.C.是中最小項D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項求和公式可得、，結(jié)合通項公式和前n項求和公式計算，依次判斷選項即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，因，所以.A：由，得等差數(shù)列為遞增數(shù)列，故A錯誤；B：，故B正確；C：，因為，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當或時，取到最小值，即為中最小項，故C正確；D：，，由，得，故D錯誤.故選：BC11.如圖，正方體的棱長為2，分別為的中點．則下列結(jié)論正確的是（）
A.直線與平面垂直B.直線與平面平行C.三棱錐的體積為D.點到平面的距離為【答案】BCD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，求出相關各點坐標，求出平面的法向量，利用向量的數(shù)量積的計算，可判斷A,B；根據(jù)等體積法可求得三棱錐的體積，可判斷C；利用空間距離的向量計算公式，可判斷D.【詳解】如圖，以D點為坐標原點，以DA為x軸，以DC為y軸，以為z軸，建立空間直角坐標系，則,對于A,,設平面AEF的法向量為，則，可取，
而，與不平行，故直線與平面不垂直，故A錯；對于B，,平面AEF的法向量為,,不在平面內(nèi),故直線與平面平行，故B正確；對于C，,故C正確；對于D，,平面AEF的法向量為,,故點到平面距離為，故D正確，故選：BCD12.已知拋物線，點，，過點的直線交拋物線與兩點，設，，下列說法正確的有（）A.B.的最小值為C.D.【答案】ABD【解析】【分析】首先設直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去，得，分別寫出，式子，然后逐項驗證，對于A直接得出，對于B利用弦長公式再結(jié)合二次函數(shù)求最值即可，對于C，直接利用兩點間的距離公式計算即可，對于D，利用即可驗證.【詳解】設直線的方程為，則由，消去整理，得，因為直線交拋物線與兩點，設，，則
所以，，故A正確.，m=0時等號成立，故B正確，同理，可得，則，故C不正確..,即，故D正確.故選：ABD.【點睛】解決本題的關鍵就是設出直線的方程為，這樣很大程度減小了運算量，聯(lián)立直線方程與拋物線，進而利用韋達定理寫出交點縱坐標之間的關系，在逐項驗證即可.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.直線的傾斜角的是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關系即可求解.【詳解】因為直線的斜率，設直線的傾斜角為，則，因為，所以，
故答案為：.14.已知函數(shù)，則___________.【答案】【解析】【分析】先求函數(shù)的導數(shù)，利用賦值法求出，即可得函數(shù)解析式，從而求得的值.【詳解】由于，所以，解得，所以，則，所以.故答案為：15.九連環(huán)是我國古代流傳至今的一種益智游戲，它由九個鐵絲圓環(huán)相連成串，按一定規(guī)則移動圓環(huán)，移動圓環(huán)的次數(shù)決定解開圓環(huán)的個數(shù).在某種玩法中，推廣到m連環(huán)，用表示解下個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)，若數(shù)列滿足：，且，則解下n（n為偶數(shù)）個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)___________.（用含n的式子表示）【答案】【解析】【分析】根據(jù)通項公式得到，構(gòu)造出等比數(shù)列，進而求出.【詳解】因為n為偶數(shù)，當時，，即，又，所以是以為首項，4為公比的等比數(shù)列，故，所以，故答案為：16.已知在平面直角坐標系xOy中，，動點P滿足則P點的軌跡Γ為圓_______，過點A的直線交圓Γ于兩點C，D，且，則______.
【答案】①.②.【解析】【分析】設，根據(jù)可得圓的方程，利用垂徑定理可求.【詳解】設，則，整理得到，即.因為，故為的中點，過圓心作的垂線，垂足為，則為的中點，則，故，解得，故答案為：，.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列中，，且（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出；（2）數(shù)列前項和為，求．【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義可證是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式可求.
（2）利用錯位相減法可求.【小問1詳解】因為，是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，.【小問2詳解】，，，.18.如圖，直三棱柱中，，，是棱的中點，（1）求異面直線所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)建立空間直角坐標系,求出相關各點的坐標,求出,利用向量的夾角公式求得答案;(2)求出平面平面和平面的一個法向量,利用向量夾角公式求得答案.【小問1詳解】
以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,所以，所以直線所成角的余弦值為；【小問2詳解】設為平面的一個法向量，,則m?AD=12x+12y=0m·AB1=x+z=0,∴x+y=0x+z=0，，同理,則,可取平面的一個法向量為，則,由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.
19.已知橢圓經(jīng)過點，．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線的傾斜角為銳角，與圓相切，與橢圓交于、兩點，且的面積為，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)將點M、N的坐標代入橢圓方程計算，求出a、b的值即可；(2)設l的方程為：，，根據(jù)直線與圓的位置關系可得，直線方程聯(lián)立橢圓方程并消去y，利用韋達定理表示出，根據(jù)弦長公式求出，進而列出關于k的方程，解之即可.【小問1詳解】橢圓經(jīng)過點，．則，解得，【小問2詳解】設l的方程為：與圓相切設點，∴（1+2k2)x2+4kmx+2m2?2=0，
則Δ>0x1+x2=?4km1+2k2x1x2=2m2?21+2k2，，，，，，，，，，故，20.如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為矩形，，AB=2，，平面，，，E是SA的中點．（1）求直線EF與平面SCD所成角的正弦值；（2）在直線SC上是否存在點M，使得平面MEF平面SCD？若存在，求出點M的位置；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，M與S重合【解析】【分析】（1）分別取AB，BC中點M，N，易證兩兩互相垂直，以
為正交基底，建立空間直角坐標系，先求得平面SCD的一個法向量，再由求解；（2）假設存在點M，使得平面MEF平面SCD，再求得平面MEF的一個法向量，然后由求解.【小問1詳解】解：分別取AB，BC中點M，N，則，又平面則兩兩互相垂直，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，，所以，設平面SCD的一個法向量為，，，則，，
直線EF與平面SBC所成角的正弦值為.【小問2詳解】假設存在點M，使得平面MEF平面SCD，，，設平面MEF的一個法向量，，令，則，平面MEF平面SCD，，，存在點，此時M與S重合.21.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為，求使得的最小正整數(shù).【答案】（1）證明見解析，（2）4【解析】【分析】（1）利用與的關系式化簡出，再構(gòu)造成即可證明為等比數(shù)列同時求出通項公式；（2）化簡可得，再通過分組求和可得，判斷的單調(diào)性即可求出的最小正整數(shù).
【小問1詳解】因為，所以①當時，，所以；當時，②①-②得，即，則，而，所以數(shù)列構(gòu)成以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，則，所以.【小問2詳解】，，的前項和的前項和單調(diào)遞增且，所以使得最小正整數(shù)4.22.已知雙曲線過點，且的漸近線方程為．
（1）求的方程；（2）如圖，過原點作互相垂直的直線，分別交雙曲線于，兩點和，兩點，，在軸同側(cè)．①求四邊形面積的取值范圍；②設直線與兩漸近線分別交于，兩點，是否存在直線使，為線段的三等分點，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）①；②不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求得，即可得解；（2）①易知直線，的斜率均存在且不為，設，的方程為，則的方程為，聯(lián)立，消元，則，利用韋達定理求得，再根據(jù)弦長公式可求得，同理可求得的范圍及，再根據(jù)整理即可得出答案；②設直線的方程為，，聯(lián)立，消元，根據(jù)求得的關系，利用韋達定理求得，再利用弦長公式求得，易求得的坐標，即可求出，再根據(jù)，為線段的三等分點，可得，結(jié)合，可得兩個等量關系，從而可得出結(jié)論.
【小問1詳解】解：由題意有，則，將點代入雙曲線方程得，聯(lián)立解得，故的方程為；【小問2詳解】解：①，易知直線，的斜率均存在且不為，設，的方程為，則的方程為，聯(lián)立，消整理得，直線與雙曲線交于兩點，故且，則，則，則，聯(lián)立，消整理得，直線與雙曲線交于兩點，故且，解得，則，
則，根據(jù)對稱性可知四邊形為菱形，其面積，，∴，∴，∴，；②，假設滿足題意的直線存在，易知直線斜率存在，設直線的方程為，，聯(lián)立，整理得，則且，解得且，由韋達定理有，
則，不妨設為直線與漸近線的交點，聯(lián)立，解得，，同理可得點的坐標為，則，因為，為線段的三等分點，，即，整理得，①，，則，即，，整理得,②聯(lián)立①②得，無解，故沒有滿足條件的直線．
