黑龍江省雙鴨山市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期開學(xué)考試 數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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雙鴨山市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年度高一（下）學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.A.B.C.D.2.已知集合，，則（）A.B.C.D.3.“”是“關(guān)于x函數(shù)（）的圖像過一、三象限”的（）A充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.若函數(shù)且在上是增函數(shù)，那么大致圖象是（）A.B.C.D.5.若正數(shù)、滿足，若不等式的恒成立，則的最大值等于（）A4B.C.D.86.若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，且，則的解集為（） A.B.C.D.7.設(shè)，，則，，的大小關(guān)系是A.B.C.D.8.已知函數(shù)，若函數(shù)有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間單調(diào)遞增的是（）A.B.C.D.10.下列結(jié)論正確是（）A.若，則B.若，則C.若，，則D.若，，則11.已知是定義在R上的函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，，則下列命題正確的是（）A.是周期為2的函數(shù)B.當(dāng)時，C.是偶函數(shù)D.12.已知直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，則下列說法正確的是（）A.在上的兩個零點B.的圖象關(guān)于點對稱 C.在上單調(diào)遞增D.將的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.已知冪函數(shù)的圖像過點，則___________.14.已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點，則________.15.定義：，若，則函數(shù)的最大值與最小值之和是______16.已知是上的增函數(shù)，則a的取值范圍為_________四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（1）（2）18.已知是二次函數(shù)，且滿足，（1）求的解析式.（2）當(dāng)，求的值域.19.已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求值；（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．20.已知函數(shù).（1）化簡； （2）若，且，求的值.21.已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到的圖象，求在區(qū)間上的值域．22.已知點，是函數(shù)圖象上的任意兩點，，且當(dāng)時，的最小值為π.（1）求的解析式；（2）若方程在上有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍. 雙鴨山市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年度高一（下）學(xué)期數(shù)學(xué)開學(xué)考試試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式和兩角和公式得即為所求.【詳解】.故選C.【點睛】本題主要考查了誘導(dǎo)公式，兩角和正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.2已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集定義可得.【詳解】由交集定義可知，.故選：C3.“”是“關(guān)于x的函數(shù)（）的圖像過一、三象限”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】本題先根據(jù)所過象限判斷充分性滿足，再根據(jù)單調(diào)性判斷必要性滿足，最后給出答案【詳解】解：充分性：因為，所以關(guān)于x的函數(shù)（ ）的圖像過一、二、三象限或關(guān)于x的函數(shù)（）的圖像過一、三、四象限，所以關(guān)于x的函數(shù)（）的圖像過一、三象限，故充分性滿足；必要性：因為關(guān)于x的函數(shù)（）的圖像過一、三象限，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以，故必要性滿足；所以“”是“關(guān)于x的函數(shù)（）的圖像過一、三象限”的充要條件.故選：C【點睛】本題考查充要條件的判斷，是基礎(chǔ)題.4.若函數(shù)且在上是增函數(shù)，那么的大致圖象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定a的范圍，再由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷所過的點及其單調(diào)性.【詳解】由函數(shù)在上遞增，當(dāng)時在上遞增且在上遞減，故；由得：過原點，且時，在定義域上遞增.故選：A5.若正數(shù)、滿足，若不等式的恒成立，則的最大值等于（） A.4B.C.D.8【答案】A【解析】【分析】由已知得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值，即可得出實數(shù)的最大值.【詳解】已知正數(shù)、滿足，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以的最小值為，.因此，實數(shù)的最大值為.故選：A.6.若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，且，則的解集為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造特殊函數(shù)，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論【詳解】構(gòu)造特殊函數(shù)f（x）＝﹣x2+1，當(dāng)x＞0時，0，得﹣x2+1＜0，即x＞1，當(dāng)x＜0時，得﹣x2+1＞0，﹣1＜x＜0，故解集為：（﹣1，0）∪（1，+∞），故選：D．【點睛】 本題主要考查不等式的解法，構(gòu)造特殊函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．7.設(shè)，，則，，的大小關(guān)系是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題意，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，，又由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，即可得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，，又由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以.故選A.【點睛】本題主要考查了指數(shù)式與對數(shù)式的比較大小，其中解答中合理利用對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得出的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.8.已知函數(shù)，若函數(shù)有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】依題意，函數(shù)的圖象與直線有4個交點，作出函數(shù)圖象，通過圖象分析找到臨界情況，即可得解．【詳解】函數(shù)，函數(shù)有4個零點，即有四個不同交點. 畫出函數(shù)圖像如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，設(shè)對應(yīng)二次函數(shù)頂點為，則，，當(dāng)時，設(shè)對應(yīng)二次函數(shù)的頂點為，則，.所以.當(dāng)直線與時的函數(shù)圖像相切時與函數(shù)圖像有三個交點，此時，化簡可得.，解得(舍)；當(dāng)直線與時的函數(shù)圖像相切時與函數(shù)圖像有五個交點，此時，化簡可得.，解得(舍)；故當(dāng)有四個不同交點時.故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)零點與方程根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分． 9.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間單調(diào)遞增的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判斷可得；【詳解】解：對于A：為偶函數(shù)，但是在上不具有單調(diào)性，故A錯誤；對于B：為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，故B正確；對于C：為奇函數(shù)，故C錯誤；對于D：，定義域為，，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故D正確；故選：BD10.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，，則D.若，，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合特殊值判斷.【詳解】A.取特殊值，，，顯然不滿足結(jié)論；B.由可知，，由不等式性質(zhì)可得，結(jié)論正確；C.由同向不等式的性質(zhì)知，，可推出，結(jié)論正確；D.取，滿足條件，顯然不成立，結(jié)論錯誤.故選：BC.11.已知是定義在R上的函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，，則下列命題正確的是（）A.是周期為2的函數(shù)B.當(dāng)時，C.是偶函數(shù)D.【答案】ABD 【解析】【分析】A選項：根據(jù)得到，然后兩式相減得到，即可得到的周期；B選項：根據(jù)和時的解析式求時的解析式即可；C選項：利用特殊值的思路和奇偶性的定義判斷即可；D選項：利用周期求函數(shù)值即可.【詳解】A選項：由得，兩式相減可得，即可得到，所以得周期為2，故A正確；B選項：令，則，，所以，故B正確；C選項：，，，所以不是偶函數(shù)，故C錯；D選項：，故D正確.故選：ABD12.已知直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，則下列說法正確的是（）A.在上的兩個零點B.的圖象關(guān)于點對稱C.在上單調(diào)遞增D.將的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)為對稱軸，可求得值，進(jìn)而可得的解析式，逐一檢驗選項，即可判斷A、B、 C的正誤；由三角函數(shù)的平移變換即可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】依題意可得，，即，因為，所以，故.令，所以，令；；，故在上的一個零點，故A不正確；因為，故選項B正確；由，，得，，所以在，上單調(diào)遞減，因為，所以在上單調(diào)遞減，故選項C不正確；將的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.已知冪函數(shù)的圖像過點，則___________.【答案】【解析】【分析】先設(shè)冪函數(shù)解析式，再將代入即可求出的解析式，進(jìn)而求得.【詳解】設(shè)，冪函數(shù)的圖像過點，，，，故答案為：14.已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點，則________.【答案】3 【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像過定點的知識，求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)過定點的知識可知，解得，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查指數(shù)型函數(shù)過定點問題，屬于基礎(chǔ)題.15.定義：，若，則函數(shù)的最大值與最小值之和是______【答案】【解析】【分析】根據(jù)正余弦函數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合分析求最值即可.【詳解】由題，.畫出的圖像，易得的最大值為1，最小值為.故最大最小值之和為.故答案為： 【點睛】本題主要考查了數(shù)形結(jié)合求解三角函數(shù)的最值問題，需要根據(jù)三角函數(shù)平移的以及對稱的性質(zhì)求解.屬于中檔題.16.已知是上的增函數(shù)，則a的取值范圍為_________【答案】【解析】【分析】根據(jù)在上單調(diào)遞增，列出不等式組，求解即可.【詳解】解：在上單調(diào)遞增，即，解得：，即，故答案為：.【點睛】易錯點點睛：在解決分段函數(shù)的單調(diào)性問題時，要注意上下段端點值的問題.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（1）（2）【答案】(1)7；(2)【解析】【分析】（1）利用對數(shù)的運(yùn)算法則、換底公式進(jìn)行求值，即可得答案；（2）利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則求值，即可得答案.【詳解】（1） （2）【點睛】本題考查對數(shù)運(yùn)算法則、指數(shù)運(yùn)算法求多項式的值，考查基本運(yùn)算求解能力，求解過程中要注意符號的正負(fù).18.已知是二次函數(shù)，且滿足，（1）求的解析式.（2）當(dāng)，求的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，通過，可求函數(shù)的解析式；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最值即可．【詳解】（1）設(shè)，因為，所以c=2又，∴即，∴，∴，∴. (2)∵在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，又因為，所以當(dāng)時，的最小值是又因為，當(dāng)時，，，所以的值域是.19.已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求值；（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合奇函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因為定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，所以有，即，因為，所以該函數(shù)是奇函數(shù)，故；【小問2詳解】，由函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)可知：該函數(shù)是實數(shù)集上的減函數(shù)，而該函數(shù)是奇函數(shù)，于是有：，可得：，因此有， 即實數(shù)的取值范圍為.20.已知函數(shù).（1）化簡；（2）若，且，求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡即可．（2）由題意得，又由題意得到，根據(jù)與的關(guān)系求解．【詳解】（1）由題意得.（2）由（1）知．∵，∴，∴.又，∴，∴.∴.【點睛】此題考查了運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握誘導(dǎo)公式是解本題的關(guān)鍵．21.已知函數(shù)，． （1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到的圖象，求在區(qū)間上的值域．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）將函數(shù)化為的形式，求單調(diào)遞增區(qū)間即可；（2）利用函數(shù)圖象變換的規(guī)則，求得函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出在區(qū)間上的值域.【小問1詳解】由已知，得：，即，，由正弦函數(shù)的單調(diào)性，令，解之；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問2詳解】由（1）知，函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，只需將函數(shù)中的換為，得到：， 由，得，當(dāng)時，取得最小值；當(dāng)時，取得最大值；所以的值域為．22.已知點，是函數(shù)圖象上任意兩點，，且當(dāng)時，的最小值為π.（1）求的解析式；（2）若方程在上有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先代入，求，再由條件求得函數(shù)的最小正周期，即可求，求得函數(shù)的解析式；（2）首先整理方程為，再通過換元，設(shè)，并求得的取值范圍，參變分離，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有解，利用基本不等式求實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由，得，又因為當(dāng)時，的最小值為π，所以，即，所以.【小問2詳解】 方程在上有實數(shù)解，即在上有實數(shù)解，令，所以，由，所以，所以，則，同時，所以，所以在上有實數(shù)解，等價于在上有解，即在上有解，①時，方程無解；②時，有解，即在有解令，，則，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的值域為，所以，在有解等價于.綜上：實數(shù)a的取值范圍為.