熱點(diǎn)3-3 正弦定理與余弦定理（8題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）（解析版）.docx

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熱點(diǎn)3-3正弦定理與余弦定理“解三角形”是每年高考?？純?nèi)容，在選擇題、填空題中考查較多，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在解答題中。對(duì)于解答題，一是考查正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用；而是考查兩個(gè)定理的綜合應(yīng)用，多與三角變換、平面向量等知識(shí)綜合命題。以實(shí)際生活為背景（如測(cè)量、航海、幾何天體運(yùn)行和物理學(xué)上的應(yīng)用等）考查解三角形問題，此類問題在近幾年高考中雖未涉及，但深受高考命題者的青睞，應(yīng)給予關(guān)注；在高考試題中出現(xiàn)有關(guān)解三角形的試題大多數(shù)為容易題、中檔題。【題型1正、余弦定理解三角形邊與角】滿分技巧利用正、余弦定理求解三角形的邊角問題，實(shí)質(zhì)是實(shí)現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化，解題的思路是：1、選定理.（1）已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；（2）已知兩邊及其一邊的對(duì)角，求另一邊所對(duì)的角，利用正弦定理；（3）已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；（4）已知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；（5）已知兩邊及其一邊的對(duì)角，求另一邊，利用余弦定理；2、巧轉(zhuǎn)化：化邊為角后一般要結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化；若將條件轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系，則式子一般比較復(fù)雜，要注意根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征靈活化簡.3、得結(jié)論：利用三角函數(shù)公式，結(jié)合三角形的有關(guān)性質(zhì)（如大邊對(duì)大角，三角形的內(nèi)角取值范圍等），并注意利用數(shù)形結(jié)合求出三角形的邊、角或判斷出三角形的形狀等。【例1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在中，，則（）A．B．C．D．【答案】A學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】由余弦定理得，則．由正弦定理得，即，所以.故選：A．【變式1-1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在中，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，又，所以，由余弦定理得，得，由正弦定理得，即，所以，故選：A．【變式1-2】（2023·新疆·校聯(lián)考一模）在中，角的對(duì)應(yīng)邊是，且，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以由余弦定理可得，利用正弦定理邊化角得，因?yàn)?，所以，且，由得，所以，整理得，解得或，所以或，又，所以，所?故選：B學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式1-3】（2024·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）已知在中，，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)椋是?，故，且，故，故，而，故，故，故，故選：A.【變式1-4】（2024·吉林長春·東北師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若，且，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）.由正弦定理，可得又，.（2），設(shè)，則，在中，.在與中，.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 .【題型2正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)】滿分技巧已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時(shí)有唯一解，三角形被唯一確定；已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角，此時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三角形不能被唯一確定。（1）從代數(shù)的角度分析：以已知和，解三角形為例由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質(zhì)可得：①若，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為0；②若，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1；③若，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1或者2；顯然由若可得有兩個(gè)值，一個(gè)大于，一個(gè)小于，考慮“大邊對(duì)大角”、“三角形內(nèi)角和等于”等，此時(shí)需進(jìn)行分類討論。（2）畫圖法：以已知角的對(duì)邊為半徑畫圓弧，通過與鄰邊的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷解的個(gè)數(shù)在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：當(dāng)A為銳角時(shí)：當(dāng)A為鈍角時(shí)【例2】（2023·山東臨沂·高三?？茧A段練習(xí)）（多選）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，根據(jù)下列條件判斷三角形的情況，則正確的是（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．，，，有兩解B．，，，有兩解C．，，，只有一解D．，，，只有一解【答案】CD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，，則，由正弦定理，得，顯然有唯一結(jié)果，即只有一解，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，由正弦定理得，無解，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，有，則，由正弦定理得，有唯一解，C正確；對(duì)于D，，，，有，則，此時(shí)，有唯一解，D正確.故選：CD【變式2-1】（2022·河北張家口·高三校聯(lián)考期中）（多選）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以只有一解；故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以由正弦定理得，因?yàn)椋?，所以，所以有兩解（，或），故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以由正弦定理得，即，因?yàn)椋杂袃山猓?，或，），故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以由正弦定理得，由于，故，所以只有一解，故D錯(cuò)誤；故選：BC學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式2-2】（2023·北京順義·高三牛欄山一中?？计谥校┰谥?，，，，滿足條件的（）A．有無數(shù)多個(gè)B．有兩個(gè)C．有一個(gè)D．不存在【答案】D【解析】因?yàn)椋?，，由正弦定理，即，所以，又，由正弦函?shù)的性質(zhì)可得不存在，所以滿足條件的不存在.故選：D【變式2-3】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為.若，且該三角形有兩解，則的范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理得，所以,因?yàn)樵撊切斡袃山?，?故，即，故選：B【變式2-4】（2023·安徽·池州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）在中，，若滿足條件的三角形有兩個(gè)，則邊的取值可能是（）A．1.5B．1.6C．1.7D．1.8【答案】BC【解析】根據(jù)題意可得：滿足條件的有兩個(gè)，可得，故選:BC【題型3正、余弦定理判斷三角形形狀】滿分技巧判定三角形形狀的兩種常用途徑1、角化邊：利用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；2、邊化角：通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【例3】（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，若，則為（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】由，得，由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以或，所以?即是等腰或直角三角形，故選：D.【變式3-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，，分別為角，，的對(duì)邊，已知．若，，成等比數(shù)列，則是（）A．直角三角形B．等邊三角形C．等腰三角形D．不確定【答案】B【解析】因?yàn)?，由誘導(dǎo)公式得，由正弦定理得，又，所以，即，又，所以.又因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，由余弦定理得，解得，所以為等邊三角形，故選：B.【變式3-2】（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）中，，，分別是角，，的對(duì)邊，且，則的形狀為（）A．直角三角形B．銳角三角形C．直角或鈍角三角形D．鈍角三角形【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，即，所以，即，所以，所以，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 又因?yàn)?，所以，所以為鈍角三角形.故選：D.【變式3-3】（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高三海拉爾第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則的形狀為（）A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形或直角三角形【答案】B【解析】∵，∴，即，又由余弦定理可得，∴，可得：∴是以∠C為直角的直角三角形．故選：B．【變式3-4】（2024·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊市十二中?？茧A段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則的形狀是（）A．等腰三角形或直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形【答案】B【解析】，故，由正弦定理得，其中，即，故，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)椋?，的形狀為直角三角形，故選：B【題型4求三角形（四邊形）的面積】滿分技巧1、常用的三角形面積公式：在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為a，b，c，邊，，邊上的高分別記作，，，為內(nèi)切圓半徑，為外接圓半徑，為內(nèi)切圓心。（1）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）（3）（4）2、與三角形面積有關(guān)問題的解題策略（1）利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關(guān)邊、角之后，直接求三角形的面積；（2）把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量?！纠?】（2024·江西上饒·高三校考階段練習(xí)）在中，，，分別為，，的對(duì)邊，且，，的面積為，那么等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可得，又，且，得，所以，則，故選：B【變式4-1】（2024·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在中，，，，則的面積為.【答案】【解析】由余弦定理可知，即，解得；所以的面積為.【變式4-2】（2023·湖南長沙·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知成等差數(shù)列，，則的面積為（）A．3B．C．12D．16【答案】B學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，可得，又因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼茫?，整理得，即，所以的面積為，故選：B.【變式4-3】（2024·重慶長壽·高三統(tǒng)考期末）在中，，且的面積為，則（）A．B．C．2D．3【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，解得，由余弦定理可得，所?故選：B.【變式4-4】（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）在三角形中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，已知，，，則的面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，故，即，故，因?yàn)?，所以，故，解得，由余弦定理得，即，因?yàn)?，，所以，解得，，故選：B【題型5三角形的外接圓問題】學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 滿分技巧正弦定理：（其中為外接圓半徑）【例5】（2023·江蘇徐州·高三?？茧A段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，則外接圓的半徑為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意得，所以，設(shè)外接圓的半徑為，則由正弦定理得，所以，故選：B.【變式5-1】（2023·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知，，則外接圓的半徑為（）.A．B．C．D．3【答案】A【解析】因?yàn)闉殇J角，所以.設(shè)外接圓的半徑為，因?yàn)椋?，故選：A【變式5-2】（2022·遼寧葫蘆島·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，則外接圓的半徑為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以外接圓的半徑為，故選：A.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式5-3】（2022·河南南陽·高三統(tǒng)考期中）在中,角，，所對(duì)的邊分別為，，，，則的外接圓面積為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正弦定理可知,,即，因?yàn)?，，根據(jù)正弦定理可知，得，則的外接圓面積，故選：D【變式5-4】（2023·湖南婁底·高三漣源市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則的外接圓的面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以，即，又，所以，所以，所?因?yàn)?，由余弦定理得，即，又，所以，所以，由正弦定理得，所?設(shè)的外接圓的半徑為，所以，解得，所以的外接圓的面積為，故選：B.【題型6證明三角形中恒等式或不等式】【例6】（2024上·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）證明：；（2）記邊AB和BC上的高分別為和，若，判斷的形狀．【答案】（1）證明見解析；（2）直角三角形.【解析】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，，整理可得，，又，于是，即，因?yàn)椋?，所以或（舍去），所以；?）根據(jù)等面積法可知，即，由，可得，又由及正弦定理可得，，解得，由于，所以，所以，所以是直角三角形.【變式6-1】（2024·湖南長沙·統(tǒng)考一模）在中，角，，所對(duì)的邊長分別為，，，且滿足.（1）證明：；（2）如圖，點(diǎn)在線段的延長線上，且，，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究是否為定值？【答案】（1）證明見解析；（2）為定值.【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，再由余弦定得得，整理?（2）因?yàn)榛パa(bǔ)，所以，結(jié)合余弦定理可得，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 因?yàn)?，，則，整理得，又，則，從而，故為定值.【變式6-2】（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）證明：；（2）若，，求．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)闉榈膬?nèi)角，即，所以或，得或（舍去），所以.（2）由（1）得，由，及正弦定理，得，則，得，所以，由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍去），所以.【變式6-3】（2024·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）證明：；（2）若，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】（1）證明：由正弦定理及條件可得，由余弦定理可得，化簡得．（2）由得，化簡得，又，故，所以，故．【變式6-4】（2024上·海南?？凇じ呷Ｄ现袑W(xué)校考階段練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為﹐已知．（1）若，求B；（2）證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，然后根據(jù)余弦定理可知，，化簡得：，故原等式成立．【題型7距離、高度、角度的測(cè)量】滿分技巧解三角形的實(shí)際應(yīng)用問題的類型及解題策略1、求距離、高度問題學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，要先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的量．（2）確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理．2、求角度問題（1）分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步，畫圖時(shí)，要明確仰角、俯角、方位角以及方向角的含義，并能準(zhǔn)確找到這些角．（2）將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正、余弦定理的綜合應(yīng)用．【例7】（2023·江蘇南通·高三海門中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，某人為測(cè)量塔高，在河對(duì)岸相距的，處分別測(cè)得，，（其中，與塔底在同一水平面內(nèi)），則塔高（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在中，由正弦定理得，，則，在中，.故選：A【變式7-1】（2023·福建廈門·高三湖濱中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖是隋唐天壇，古叫圜丘，它位于唐長安城明德門遺址東約950米，即今西安市雁塔區(qū)陜西師范大學(xué)以南．天壇初建于隋而廢棄于唐末，比北京明清天壇早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之處．某數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)得天壇的直徑，在天壇外圍測(cè)得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，據(jù)此可以估計(jì)天壇的最下面一層的直徑AD大約為(結(jié)果精確到1米)(參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.646)（）A．53B．55C．57D．60學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】A【解析】如圖，連接，在中，，則是等邊三角形，，由，得，而，在中，由余弦定理得：（米）.故選：A【變式7-2】（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）某校學(xué)生參加課外實(shí)踐活動(dòng)“測(cè)量一土坡的傾斜程度”，在坡腳A處測(cè)得，沿土坡向坡頂前進(jìn)后到達(dá)D處，測(cè)得．已知旗桿，土坡對(duì)于地平面的坡角為，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在中，由正弦定理可得在中，易知，則整理可得，故選：D【變式7-3】（2022·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）位于燈塔A處正西方向相距nmile的B處有一艘甲船需要海上救援，位于燈塔A處北偏東45°相距nmile的C處的一艘乙船前往營救，則乙船的目標(biāo)方向線（由觀測(cè)點(diǎn)看目標(biāo)的視線）的方向是南偏西（）A．30°B．60°C．75°D．45°【答案】B學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】依題意，過點(diǎn)作的延長線交于點(diǎn)，如圖，則，，，在中，，在中，，，又，，則乙船的目標(biāo)方向線（由觀測(cè)點(diǎn)看目標(biāo)的視線）的方向是南偏西60°，故選：B.【變式7-4】（2024·全國·高三專題練習(xí)）鄂州十景之一“二寶塔”中的文星塔位于文星路與南浦路交匯處，至今已有四百六十多年的歷史，該塔為八角五層樓閣式磚木混合結(jié)構(gòu)塔.現(xiàn)在在塔底共線三點(diǎn)、、處分別測(cè)塔頂?shù)难鼋菫椤?、，且m，則文星塔高為m.【答案】【解析】如圖所示，設(shè)建筑物的高為，則，，，由余弦定理可得，，因?yàn)椋?，即，可?學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【題型8正余弦定理與三角函數(shù)綜合】【例8】（2024·甘肅蘭州·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最值及取得最值時(shí)的取值集合；（2）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，且，求的面積．【答案】（1）答案見解析；（2）或【解析】（1），，，，易知的最大值為，此時(shí)，化簡得，的最小值為，此時(shí)，化簡得，綜上當(dāng)時(shí)，取到最小值，當(dāng)時(shí)，取到最大值.（2）在中，結(jié)合，故，解得(其它解舍去)，故由余弦定理得，由已知得，由正弦定理得，聯(lián)立方程組，解得或，當(dāng)，時(shí)，,當(dāng)，時(shí)，.【變式8-1】（2023·四川綿陽·高三南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）在中，分別是角的對(duì)邊，若，，且的面積為，求外接圓的半徑.【答案】（1）；（2）2學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】（1），的最小正周期；（2）由，可得，又，，，，由，得，由余弦定理得：，得，由正弦定理得外接圓的半徑.【變式8-2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，，，點(diǎn)D是線段EF上靠近點(diǎn)F的三等分點(diǎn)，且．（1）求函數(shù)的最小值；（2）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，，，的面積為，求a的值．【答案】（1）3；（2）【解析】（1）∵，，，點(diǎn)D是線段EF上靠近點(diǎn)F的三等分點(diǎn)，,則，∴，∴，∴．由，得，∴當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，為．（2）由（1）及，得，則，由，得學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ∴，則．由，可得，在中，由余弦定理得，∴．【變式8-3】（2023·福建泉州·高三德化第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)（1）當(dāng)，求的最值，及取最值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值；（2）在中，為銳角，且，求的面積．【答案】（1）,；，；（2）【解析】（1），，，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；（2）由，即，而為銳角，，則，，又，由余弦定理得，即，即，.【變式8-4】（2023·河北石家莊·高三石家莊市第二十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，內(nèi)切圓面積為，求的最小值；【答案】（1）；（2）6.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】（1）由題設(shè)，所以函數(shù)的最小正周期.（2）由題設(shè)，而，則，又內(nèi)切圓面積為，則內(nèi)切圓半徑，如下圖示，為內(nèi)切圓圓心，為切點(diǎn)，則，由圓切線的性質(zhì)有，顯然，又，即，所以，結(jié)合基本不等式得，可得（舍）或，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由，故的最小值為6.（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2024·四川自貢·統(tǒng)考一模）在中角所對(duì)邊滿足，則（）A．4B．5C．6D．6或【答案】A【解析】依題意，，由余弦定理得，解得，故選：A2．（2023·海南·?？寄M預(yù)測(cè)）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，已知，，，則（）A．B．C．D．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】D【解析】由余弦定理，，因?yàn)?，所以，即，解得（舍），所以，，故選：D3．（2022·全國·高三校聯(lián)考專題練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c若a，b，c成等比數(shù)列，且，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，滿足成等比數(shù)列，得，且，得，a由余弦定理，，故選：B.4．（2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高三期末）若在中滿足：則邊上的高為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)樗杂捎嘞叶ɡ砜傻眉?，解得，或（舍去），設(shè)邊上的高為，則，即，故選：B.5．（2023·新疆·高三校聯(lián)考期中）在中，已知向量，向量，若，則（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】因?yàn)椋瑒t，即，設(shè)角的對(duì)邊分別為，根據(jù)正弦定理可得，即，由余弦定理得，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 且，可知，所以，故選：C.6．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，，，且的面積為，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)中角所對(duì)的邊分別為，因?yàn)?，所以由正弦定理可得，又解得，所以由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，故選：D7．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）在中，，則下列結(jié)論不成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)?，由正弦定理可得，所以A正確；由，，由，可得，所以B正確；由，又由B可知，所以C正確；由，所以D錯(cuò)誤.故選：D．8．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知中，角的對(duì)邊分別是，且，的外接圓半徑為，邊上的高為2，則（）A．5B．6C．8D．9【答案】B學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】由，得，整理得，由正弦定理得，則，則，則．因?yàn)椋?，所以．由于，所以．且．，得，由余弦定理得，即，因此，則，所以，故選：B．9．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由及正弦定理，得，所以，且A，C均為銳角．由，得，兩邊同時(shí)除以，得，與聯(lián)立得，，則，所以，，，所以，因?yàn)椋?，所以的面積，故選：A．10．（2023·江蘇南通·高三?？奸_學(xué)考試）塔是一種在亞洲常見的，有著特定的形式和風(fēng)格的中國傳統(tǒng)建筑.如圖，為測(cè)量某塔的總高度AB，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得，，米，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角為，則塔的總高度為（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】D【解析】在中，，，則，，由正弦定理得，即，所以，得，在直角中，，則，故選：D11．（2024·遼寧大連·高三統(tǒng)考期末）（多選）在中，角的對(duì)邊分別是，若，，則（）A．B．C．D．的面積為【答案】AC【解析】由余弦定理可得，解得，故A正確；由及正弦定理，可得,化簡可得.因?yàn)椋?，所以，?因?yàn)椋?，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋郧?，代入，可得，解得?因?yàn)?，，，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以由正弦定理可得，由，可得，化簡可得，解得或（舍），故C正確；.故選:AC.12．（2024·廣東肇慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）若的三個(gè)內(nèi)角的正弦值為，則（）A．一定能構(gòu)成三角形的三條邊B．一定能構(gòu)成三角形的三條邊C．一定能構(gòu)成三角形的三條邊D．一定能構(gòu)成三角形的三條邊【答案】AD【解析】對(duì)于A，由正弦定理得，所以，，作為三條線段的長一定能構(gòu)成三角形，A正確，對(duì)于B，由正弦定理得，例如，則，由于，，故不能構(gòu)成三角形的三條邊長，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,由正弦定理得，例如：、、，則、、，則，，，作為三條線段的長不能構(gòu)成三角形，C不正確；對(duì)于D，由正弦定理可得，不妨設(shè)，則，故，且，所以，故D正確，故選：AD13．（2023·河北石家莊·高三石家莊市第二十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，下列四個(gè)命題中，正確的有（）A．當(dāng)時(shí)，滿足條件的三角形共有1個(gè)B．若是鈍角三角形，則C．若，則D．當(dāng)時(shí)，的周長為學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】BD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：由余弦定理有：……①代入①式有：……②上式判別式，故②式無解，即不存在，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，；故顯然成立；當(dāng)時(shí)，……③對(duì)③式兩邊同乘以有：；當(dāng)時(shí)，；故顯然成立；綜上所述三種情況都有：恒成立，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，得不出，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)：……④上式化簡有：即：……⑤由⑤式得：，故，所以，故.故D選項(xiàng)正確.故選：BD.14．（2023·浙江湖州·高三湖州市第二中學(xué)校考期中）（多選）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，下列四個(gè)命題中正確的是（）A．若，則一定是等腰三角形B．若，則是等腰三角形C．若，則一定是等邊三角形D．若，則是直角三角形【答案】BC【解析】對(duì)于A，若，由正弦定理得，即，又，則或，即或，所以三角形為等腰三角形或直角三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 則由正弦定理得，又，則或（舍去），則是等腰三角形，故B正確；對(duì)于C，若，由正弦定得理，即，又為三角形內(nèi)角，所以，三角形是等邊三角形，故C正確；對(duì)于D，由于，由余弦定理可得，可得，解得，所以，故是等邊三角形，故D錯(cuò)誤．故選：BC.15．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，則．【答案】【解析】由余弦定理及可知，，所以，即，整理得，=所以，或（舍去），所以，則，由于，所以．16．（2024·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且，則．【答案】【解析】由，由余弦定理得，由正弦定理得，因?yàn)?，即，即，因?yàn)?，則，因?yàn)椋?17．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊為a，b，c.若的面積學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，其外接圓半徑，且，則.【答案】或【解析】由題可知的面積，即，則；由外接圓半徑，得，故，結(jié)合，得，即，由于，故，又，故或.18．（2024·山西晉城·統(tǒng)考一模）在中，，，．（1）求A的大??；（2）求外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由余弦定理得，因?yàn)?，所以．?）設(shè)外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑分別為，，由正弦定理得，則．的面積，由，得．19．（2023·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）證明：.（2）證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）在中，由正弦定理得，所以，解得，所以，則.（2）由（1）知，在中，由余弦定理得，則.在中，.所以，因?yàn)?，所以，所以，?20．（2023·上海靜安·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期及函數(shù)在上的最大值；（2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且求sinB的值.【答案】（1）最小正周期為，最大值為2；（2）【解析】（1）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以函數(shù)的最小正周期.當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)即時(shí)，取得最大值，且.（2），則.因?yàn)?，則所以.由余弦定理，可得，解得或（舍）.根據(jù)正弦定理，可得.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司