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《重難點(diǎn)4-1 平面向量的最值與范圍（4題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）（解析版）.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
重難點(diǎn)4-1平面向量的最值與范圍平面向量中的最值范圍問(wèn)題是向量問(wèn)題中的重難點(diǎn)，也是近幾年新高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問(wèn)題。常以選擇填空題的形式出現(xiàn)，難度稍大，方法靈活。主要考查向量數(shù)量積的最值、系數(shù)的最值、模長(zhǎng)和夾角的最值。在復(fù)習(xí)過(guò)程中要注重對(duì)基本方法的訓(xùn)練，把握好類型題的一般解法。【題型1向量數(shù)量積的最值與范圍】滿分技巧數(shù)量積的最值范圍處理方法：（1）運(yùn)用平面向量基本定理，將數(shù)量積的兩個(gè)向量用基底表示后，再運(yùn)算；（2）建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)來(lái)處理；（3）利用極化恒等式來(lái)處理?！纠?】（2023·江蘇連云港·高三統(tǒng)考期中）設(shè)，，都是單位向量，且與的夾角為60°，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，，，則所以，故選：D.【變式1-1】（2023·遼寧·高三校聯(lián)考期中）已知正方形的邊長(zhǎng)為，在邊上，則的最大值為（）A．1B．C．2D．【答案】C學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
【解析】由題意，建立如圖所示坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，則，，，所以，所以，故當(dāng)時(shí)，有最大值．故選：C．【變式1-2】（2024·陜西咸陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在等腰梯形中，是線段上一點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，則，其中，，當(dāng)，即同向時(shí)，取最大值，所以的最大值為.故選：C.【變式1-3】（2023·山東·五蓮縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是半徑為2的圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦所對(duì)的圓心角為，則的最大值為（）A．6B．3C．D．【答案】A【解析】因?yàn)橄宜鶎?duì)的圓心角為，且圓的半徑為2，所以，取的中點(diǎn)，所以，，如圖所示：學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
因?yàn)?因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，所以若最大，所以只需最大，所以，所以.故選：A【變式1-4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知過(guò)點(diǎn)且與圓相切的兩條直線的夾角為，再過(guò)點(diǎn)作直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最大值為（）A．0B．8C．D．16【答案】B【解析】如圖，設(shè)過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線的切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以．因?yàn)閳AC的方程可化為，所以，．所以點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，為半徑的圓．如圖，設(shè)MN的中點(diǎn)為H，則，所以．因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，的值最大，最大值為8．故選：B．【題型2向量模長(zhǎng)的最值與范圍】滿分技巧處理平面向量的模長(zhǎng)范圍問(wèn)題，常用的方法有：（1）坐標(biāo)法：即通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，通過(guò)向量坐標(biāo)運(yùn)算求得；（2）基向量表示法：即通過(guò)選設(shè)平面的基底，用基底表示相關(guān)向量，運(yùn)算求得；學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
（3）構(gòu)造幾何圖形法：即根據(jù)模長(zhǎng)定值構(gòu)造圓形，由向量點(diǎn)乘等于零得到兩向量垂直.【例2】（2023·云南昆明·高三統(tǒng)考期中）向量在向量上的投影向量為，則的最大值為．【答案】【解析】依題意，根據(jù)投影向量的定義有：，則，即，又，所以，所以當(dāng)取最大值時(shí)，有最大值，又，所以.【變式2-1】（2024·江西撫州·高三金溪一中?？茧A段練習(xí)）已知非零向量，滿足，，則的最大值為A．B．C．D．5【答案】A【解析】，由，則有，又，即，令，則，故選：A．【變式2-2】（2024·北京朝陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）在中，，當(dāng)時(shí)，的最小值為.若，，其中，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如下圖所示：學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
在直線上取一點(diǎn)，使得，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，即；又，所以可得是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：又可得為的中點(diǎn)，由以及可得在上，可得，所以，可得，則，令，由可得，所以，，由二次函數(shù)在上單調(diào)遞增可得，.故選：C【變式2-3】（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知，，，，，則的最大值為（）A．B．4C．D．【答案】A【解析】如圖所示：學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
不妨設(shè)，滿足，，，又，即，由橢圓的定義可知點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上運(yùn)動(dòng)，，所以該橢圓方程為，而，即，即，這表明了點(diǎn)在圓上面運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)為圓心，為半徑，又，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，故只需求的最大值即可，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上面運(yùn)動(dòng)，所以不妨設(shè)，所以，所以當(dāng)且三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值.故選：A.【變式2-4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，滿足，，，且，則的取值范圍是（）A．B．C．,D．,【答案】A【解析】設(shè)，，，設(shè)，,，所以，所以，設(shè)，,，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
則，其中，所以，所以,，故,，所以,，即,.故選：【題型3向量夾角的的最值與范圍】滿分技巧求兩個(gè)非零向量夾角的步驟第一步：由坐標(biāo)運(yùn)算或定義計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積；第二步：分別求出這兩個(gè)向量的模；第三步：根據(jù)公式求解出這兩個(gè)向量夾角的余弦值；第四步：根據(jù)兩個(gè)向量夾角的范圍是及其夾角的余弦值，求出這兩個(gè)向量的夾角?！纠?】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知向量、滿足，，且，則與的夾角的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)?，，且，則有，因此，而，余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，即有，所以與的夾角的取值范圍是.【變式3-1】（2023·廣東清遠(yuǎn)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知單位向量，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒成立，則向量的夾角的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)向量的夾角為θ，因?yàn)?，所以，則，即恒成立.所以，解得，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
故的夾角的取值范圍是.故選：A.【變式3-2】（2022·重慶沙坪壩·高三鳳鳴山中學(xué)?？计谥校┤羝矫嫦蛄?，，滿足，，，，則，夾角的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)，，，以O(shè)為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，，，，，，三者直接各自的夾角都為銳角，，，，，，即在上的投影為1，在上的投影為3，，，如圖，即，且則，由基本不等式得，，與的夾角為銳角，，由余弦函數(shù)可得：與夾角的取值范圍是，故選：C.【變式3-3】（2023·山東菏澤·高三菏澤一中?？茧A段練習(xí)）已知向量，滿足，若對(duì)任意模為的向量，均有，則向量的夾角的取值范圍為.【答案】學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
【解析】由，若對(duì)任意模為的向量，均有，由三角不等式得，，因?yàn)橄蛄繛槿我饽榈南蛄?，所以?dāng)向量與向量夾角為時(shí)，上式也成立，設(shè)向量的夾角為.，，平方得到，即，則，即，即，同時(shí)，所以，平方得到，即，解得，即，，綜上，又因?yàn)椋?，向量的夾角的取值范圍.【變式3-4】（2023·上?！じ呷笸袑W(xué)?？计谥校┮阎狝，B是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，且，點(diǎn)集.若M，，則向量、夾角的余弦值的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)?，點(diǎn)集，當(dāng)時(shí)，過(guò)作于,延長(zhǎng)于,使得,則可知點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).因?yàn)?，根?jù)數(shù)量積的幾何含義可知，在上的投影為3，即，又因?yàn)镸，，則為線段上的兩個(gè)點(diǎn)，所以、夾角最小為，最大為的二倍，所以、夾角為，則最大為1，最小為所以范圍為.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
【題型4向量系數(shù)的最值與范圍】滿分技巧此類問(wèn)題一般要利用共線向量定理或平面向量基本定理尋找系數(shù)之間的關(guān)系，然后利用函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式求解。（1）平面向量共線定理：已知，若三點(diǎn)共線，反之亦然；（2）等和線：平面內(nèi)一組基底，及任一向量，，若點(diǎn)在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立。我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線。①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時(shí)，；②當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)和直線直線時(shí)，；③當(dāng)直線在點(diǎn)和等和線之間時(shí)，；④當(dāng)?shù)群途€過(guò)點(diǎn)時(shí)，；⑤若兩等和線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則定值互為相反數(shù)?！纠?】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在正六邊形中，點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)闉閯?dòng)點(diǎn)，所以不容易利用數(shù)量積來(lái)得到的關(guān)系，因?yàn)榱呅螢檎呅?，所以建立坐?biāo)系各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)易于確定，可得：，則，所以設(shè)，則由可得：，因?yàn)樵趦?nèi)，且，所以所滿足的可行域?yàn)椋肟傻茫?，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
通過(guò)線性規(guī)劃可得：.【變式4-1】（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，若且，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為1的等邊三角形，所以，，所以，又，，所以，即.令，，解得，，所以，所以，此時(shí)，故選：B.【變式4-2】（2023·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）中，為上一點(diǎn)且滿足，若為上一點(diǎn)，且滿足為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．的最小值為B．的最大值為1C．的最小值為4D．的最大值為16【答案】C【解析】為正實(shí)數(shù)，，，而共線，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，結(jié)合，即時(shí)取等號(hào)，A，B錯(cuò)誤；學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)，即的最小值為4，C正確；又，由于為正實(shí)數(shù)，，則，則，時(shí)取最大值，當(dāng)趨近于0時(shí)，可無(wú)限趨近于0，故，故無(wú)最大值，D錯(cuò)誤，故選：C.【變式4-3】（2023·湖北·高三隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考期中）在中，，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)，則的最小值是（）A．3B．1C．2D．4【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是.故選：D【變式4-4】（2023·山東·高三省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，均為單位向量，滿足，，，，則的最小值為（）A．B．C．D．-1【答案】B【解析】，所以，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
根據(jù)，，則,,如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，由，可知，，得，，，其中，所以，則，所以當(dāng)時(shí)，所以的最小值是.故選：B（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2023·陜西榆林·高三榆林市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知非零向量，滿足，且，則的最小值為（）A．2B．C．D．1【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：B2．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，滿足，，則的最大值為（）A．B．2C．D．4學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，即，整理得，又，所以，即，所以，即，又，所以?dāng)與反向時(shí)，取得最大值，且最大值為.故選：D.3．（2023·寧夏石嘴山·高三平羅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面向量，均為單位向量，且，，則的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依題意平面向量，均為單位向量，且，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，設(shè)，由，所以點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，所以，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知：的最大值是，其中是點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.故選：C4．（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考期中）在四邊形中，，，則的最大值為（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】設(shè)，則,，因?yàn)?，所以，故，所以，即的最大值?故選：C學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
5．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，點(diǎn)滿足，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)，由，得，解得，即點(diǎn)軌跡為圓心為，半徑為的圓，可設(shè)，為任意角，則，，所以，所以當(dāng)時(shí)，最大，且為.故選：A6．（2023·福建莆田·高三莆田第十中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在等腰直角三角形中，斜邊，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），為的中點(diǎn)．將線段繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到線段，則的最小值為（ ??）A．B．C．D．【答案】C【解析】連接,則，,當(dāng)時(shí)，最小，可求得，結(jié)合，得的最小值為，故選：7．（2022·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面四邊形ABCD，，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
，，．若點(diǎn)E為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵,因?yàn)?，，，所以，連接，因?yàn)?，所以≌，所以，所以，則，設(shè)，則，∴，，，，所以，因?yàn)椋?故選：A.8．（2023·天津東麗·高三天津市第一百中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是由三個(gè)全等的鈍角三角形和一個(gè)小的正三角形拼成一個(gè)大的正三角形，若，，點(diǎn)M為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A．B．C．6D．10【答案】D【解析】根據(jù)題意可得，，所以，又因?yàn)?，所?，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
設(shè),則，所以，，所以，令，當(dāng)單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，當(dāng)，取最大值為.故選：D9．（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A，B，C在圓上運(yùn)動(dòng)，且，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則的最大值為（）A．7B．12C．14D．11【答案】D【解析】如圖所示：因?yàn)?，所以AC為圓的直徑，又，則，設(shè)，則，所以，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故選：D10．（2024·湖南婁底·高三統(tǒng)考期末）已知平面非零向量的夾角為，且滿足，則的最小值為（）A．B．12C．D．24【答案】D【解析】由已知非零向量的夾角為，所以，由，兩邊平方得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以的最小值為24.故選：D.11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知為單位向量，且，則的最小值為（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
A．2B．C．4D．6【答案】B【解析】為單位向量，有，得，由，得，有，所以，，，，有，則，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反時(shí)“”成立，如取時(shí)，可使“”成立.所以.故選：B．12．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，是邊上的點(diǎn)，滿足，在線段上（不含端點(diǎn)），且，則的最小值為（）A．B．C．D．8【答案】B【解析】因?yàn)槭沁吷系狞c(diǎn)，滿足，則，所以，，因?yàn)樵诰€段上（不含端點(diǎn)），則存在實(shí)數(shù)，使得，所以，，又因?yàn)椋?、不共線，則，故，因?yàn)?，則，，所以，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：B.13．（2023·福建寧德·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為圓上的任一點(diǎn)，.若，則的最大值為（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】由已知可設(shè)，則，又，因?yàn)?，所?即,所以,其中，當(dāng)時(shí)，有最大值為.故選：C.14．（2022·江蘇南通·高三開(kāi)學(xué)考試）在中，，，過(guò)的外心O的直線(不經(jīng)過(guò)點(diǎn))分別交線段于，且，，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)橹?，，由余弦定理可得，即，且，設(shè)，則，，所以，同理可得，，解得，所以，又因?yàn)?，，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，可得，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
因?yàn)?，所以，所以，同理可得，所以所以，設(shè)，可得，令，可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為；又由，，可得，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，所以的取值范圍是.故選：B.15．（2023·四川南充·閬中中學(xué)?？家荒＃﹫AO是邊長(zhǎng)為的等邊三角形ABC的內(nèi)切圓，其與BC邊相切于點(diǎn)D，點(diǎn)M圓上任意一點(diǎn)，（x，），則的最大值為（）A．B．2C．D．【答案】B【解析】以D點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立坐標(biāo)系，因?yàn)閳AO是邊長(zhǎng)為的等邊三角形ABC的內(nèi)切圓，所以，即內(nèi)切圓的圓心為，半徑為1，可設(shè)，又，∴，，∴，故得到，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
∴，∴，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為2.故選：B.16．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)向量滿足，，若存在實(shí)數(shù)，，則向量與的夾角的取值范圍為．【答案】【解析】設(shè)向量與的夾角為，由，利用平面向量的數(shù)量積可得，即存在實(shí)數(shù)，使成立，于是，即，所以，所以向量與的夾角的取值范圍．17．（2023·山東聊城·高三?？计谥校┮阎沁呴L(zhǎng)為的正三角形，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的取值范圍是．【答案】【解析】以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，，，點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓，點(diǎn)軌跡方程為：，不妨設(shè)，，，，，，，即的取值范圍為.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
18．（2023·上海黃浦·高三格致中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為2，圓的圓心為正六形的中心，半徑為1，若點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心對(duì)稱，則的取值范圍是.【答案】【解析】正六邊形的邊長(zhǎng)為2，則其半徑為2，邊心距為，則正六邊形邊上的點(diǎn)到其中心的距離，因此，所以的取值范圍是.19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量滿足，若的最大值為1，的取值范圍為．【答案】【解析】設(shè)向量的夾角為θ，則；又,所以，所以,所以，又，所以，所以的取值范圍是．20．（2023·湖北荊州·高三沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若正方形邊長(zhǎng)為，點(diǎn)為其內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)，，則的取值范圍是.【答案】【解析】以正方體的中心為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，可得，又由正方形的內(nèi)切圓的方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
則，，因?yàn)?，可得，所以，可得，因?yàn)?，所?學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
