重難點3-2 解三角形的綜合應用（8題型+滿分技巧+限時檢測）（原卷版）.docx

《重難點3-2 解三角形的綜合應用（8題型+滿分技巧+限時檢測）（原卷版）.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

重難點3-2解三角形的綜合應用解三角形一直是高考數(shù)學中的熱門考點，這類試題主要考查學生數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)學運算和邏輯推理的能力。一般為中等難度，但題目相對綜合，涉及知識較多，可通過三角恒等變換、構造函數(shù)或構造基本不等式等方法加以解決?！绢}型1四邊形中的解三角形問題】滿分技巧四邊形中的解三角形問題通常需將四邊形分成多個三角形，觀察各個三角形之間的關系，找出同角、共邊的三角形，有時還需結(jié)合三角恒等變換?！纠?】（2024·湖南婁底·高三統(tǒng)考期末）如圖所示，在平面四邊形中，角為鈍角，且.（1）求鈍角的大?。唬?）若，求的大小.【變式1-1】（2024·云南昆明·統(tǒng)考一模）在中，，，.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）求的面積；（2）如圖，，，求.【變式1-2】（2024·重慶·高三重慶八中?？奸_學考試）已知四邊形的外接圓面積為，且為鈍角，（1）求和；（2）若，求四邊形的面積．【變式1-3】（2024·云南楚雄·楚雄彝族自治州民族中學模擬預測）如圖，在四邊形中，為的中點，，，，（1）求；（2）若，，求.【題型2解三角形中的中線應用】滿分技巧1、中線長定理：在?ABC中，AD是邊BC上的中線，則AB2+AC2=2(BD2+AD2)【點睛】靈活運用同角的余弦定理，適用在解三角形的題型中2、向量法：AD2=14b2+c2+2bccosA【點睛】適用于已知中線求面積（已知BDCD的值也適用）.【例2】（2024·廣東廣州·廣州六中?？既＃┰谥?，角，，對應的邊分別為，，且.（1）求角；（2），，點在上，，求的長.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式2-1】（2024·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習）在中，內(nèi)角所對應的邊分別為，且滿足．（1）求角；（2）若，且，求邊的中線長．【變式2-2】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求；（2）若，BC邊上的中線，求的面積．【變式2-3】（2024·重慶·統(tǒng)考一模）在梯形中，為鈍角，，．（1）求；（2）設點為的中點，求的長．【變式2-4】（2024·全國·高三專題練習）在中，．（1）求的大?。唬?）若，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在，求邊上中線的長．條件①：的面積為；條件②：；條件③：．【題型3解三角形中的垂線應用】滿分技巧1、分別為邊上的高，則2、求高一般采用等面積法，即求某邊上的高，需要求出面積和底邊長度高線兩個作用：（1）產(chǎn)生直角三角形；（2）與三角形的面積相關?！纠?】（2024·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）在中，內(nèi)角A，B，C滿足學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ．（1）求；（2）若邊上的高等于，求．【變式3-1】（2024·福建·高三校聯(lián)考開學考試）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）過點A作的垂線與的延長線交于點D，，的面積為，求的周長．【變式3-2】（2024·江蘇常州·高三統(tǒng)考期末）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，邊上的高為，已知．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【變式3-3】（2024·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．（1）證明：；（2）記邊AB和BC上的高分別為和，若，判斷的形狀．【變式3-4】（2024·全國·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c且，過點A作，使得四邊形ABCD滿足，．（1）求角的大小；（2）若，求四邊形的面積．【題型4解三角形中的角平分線應用】學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 滿分技巧如圖，在?ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所對的邊分別問a，b，c1、利用角度的倍數(shù)關系：∠BAC=2∠BAD=2∠CAD2、內(nèi)角平分線定理：AD為?ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線，則ABAC=BDDC.說明：三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理將分對邊所成的線段比轉(zhuǎn)化為對應的兩邊之比，再結(jié)合抓星結(jié)構，就可以轉(zhuǎn)化為向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”類問題，運用向量知識解決起來都較為簡捷。3、等面積法：因為S?ABD+S?ACD=S?ABC，所以12c?ADsinA2+12b?ADsinA2=12bcsinA，所以b+cAD=2bccosA2整理的：AD=2bccosA2b+c（角平分線長公式）【例4】（2024·河北滄州·高三泊頭市第一中學校聯(lián)考期末）在中，.（1）求；（2）若，點在邊上，平分，求的長.【變式4-1】（2024·廣東湛江·高三統(tǒng)考期末）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.（1）求角A；（2）作角A的平分線與交于點，且，求.【變式4-2】（2024·山東濟南·高三統(tǒng)考期末）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，．（1）求B，（2）的平分線交邊于點D，且，求b．【變式4-3】（2024·浙江寧波·高三余姚中學校聯(lián)考期末）在中，已知.（1）求的長；學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）若的平分線交點，求的最大值.【變式4-4】（2023·安徽·高三校聯(lián)考期末）如圖,在中,的平分線交邊于點,點在邊上,,,.??（1）求的大小;（2）若,求的面積.【題型5解三角形中的等分點應用】滿分技巧當所三角形問題不再是中線、角平分線、垂線這些特殊情況時，要注意結(jié)合補角的三角函數(shù)關系以及同角不同三角形，利用正余弦定理建立方程解出未知量?！纠?】（2024·山西太原·高三統(tǒng)考期末）在中，，，分別為內(nèi)角的對邊，點在線段上，，，的面積為.（1）當，且時，求；（2）當，且時，求的周長.【變式5-1】（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）在中，角的對邊分別為，已知.（1）求證：；（2）若點在邊上，且，求的面積.【變式5-2】（2023·江蘇揚州·高三統(tǒng)考階段練習）如圖，在中，角A，B，C所對的邊分別為，，，且．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）求；（2）已知，為邊上的一點，若，，求的長．【變式5-3】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求證：；（2）如圖：點在線段上，且，求的值.【變式5-4】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預測）已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，且．（1）求；（2）若，點在邊上，，且，求．【題型6與三角值有關的最值范圍】滿分技巧三角形中的最值范圍問題處理方法1、利用基本不等式求最值-化角為邊余弦定理公式里有“平方和”和“積”這樣的整體，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范圍，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的條件。2、轉(zhuǎn)為三角函數(shù)求最值-化邊為角學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 如果所求整體結(jié)構不對稱，或者角度有更細致的要求，用余弦定理和基本不等式難以解決，這時候可以轉(zhuǎn)化為角的關系，消元后使得式子里只有一個角，變?yōu)槿呛瘮?shù)最值問題進行解決。要注意三角形隱含角的范圍、三角形兩邊之和大于第三邊?！纠?】（2024·全國·模擬預測）記的內(nèi)角所對邊分別為，已知．（1）證明：；（2）求的最小值．【變式6-1】（2024·河北邢臺·高三統(tǒng)考期末）在銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求；（2）求的取值范圍．【變式6-2】（2024·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）在中，角所對的邊分別為.若.（1）求；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.【變式6-3】（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）記三個內(nèi)角的對邊分別為，已知為銳角，．（1）求；（2）求的最小值．【變式6-4】（2023·重慶永川·高三重慶市永川北山中學校校考階段練習）在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且.（1）求角的大??；（2）求的取值范圍.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【題型7與邊或周長有關的最值范圍】【例7】（2022·河南·高三專題練習）已知中，角所對的邊分別為，若，且，則的最小值為（）A．B．C．D．【變式7-1】（2022·全國·高三專題練習）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，則的最大值為（????）A．B．C．D．【變式7-2】（2024·廣東汕頭·金山中學?？寄M預測）在①，②，③三個條件中任選一個補充在下列問題中，并解決該問題.在中，角所對的邊分別為，__________，且.求：（1）；（2）周長的取值范圍.【變式7-3】（2024·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，求的取值范圍.【變式7-4】（2023·江蘇鹽城·高三鹽城中學校聯(lián)考階段練習）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且的面積為（1）求；（2）求周長的最小值.【題型8與面積有關的最值范圍】【例8】（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預測）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知該三角形的面積．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）求角的大??；（2）若時，求面積的最大值．【變式8-1】（2024·四川成都·高三成都七中?？奸_學考試）在銳角中，角所對應的邊分別為，已知．（1）求的值；（2）若，求面積的取值范圍．【變式8-2】（2024·上海普陀·高三?？计谀┰谥?，已知分別為的對邊，且，，（1）求滿足的表達式（2）如果，求出此時面積的最大值.【變式8-3】（2024·江西·高三校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，，D為△ABC外一點，，記，.（1）求的值；（2）若的面積為，的面積為，求的最大值.【變式8-4】（2023·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，點O為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，已知，.（1）在①；②；③中選一個作為條件，判斷是否存在，若存在，求出的周長，若不存在，說明理由.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）（2）若為銳角三角形，求面積的取值范圍.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （建議用時：60分鐘）1．（2023·廣東深圳·高三?？计谀┰谄矫嫠倪呅沃?，，，對角線與交于點，是的中點，（1）若，求的長；（2）若，求2．（2024·浙江·校聯(lián)考一模）在中，內(nèi)角所對的邊分別是，已知．（1）求角；（2）設邊的中點為，若，且的面積為，求的長．3．（2023·湖南長沙·高三統(tǒng)考階段練習）已知中，．（1）求；（2）的平分線交于，求的長．4．（2023·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習）在中，內(nèi)角，，所對邊分別為，，，．（1）求的值；（2）若，，點在內(nèi)部，且，，求的面積．5．（2024·廣東·高三廣東實驗中學校聯(lián)考期末）在中，角所對的邊分別為學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 邊上的高設為，且.（1）若，求的值；（2）求的取值范圍.6．（2024·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）在中，已知．（1）若，求的值；（2）已知中線交于，角平分線交于，且，，求的面積．7．（2024·全國·武鋼三中校聯(lián)考模擬預測）已知中，角，，所對的邊分別為.（1）求的值；（2）若為線段上一點且滿足平分，求的面積的取值范圍.8．（2024·山東威?！じ呷y(tǒng)考期末）在中，角所對的邊分別為記的面積為，已知.（1）求角的大?。唬?）若，求的最大值.9．（2024·湖北·校聯(lián)考模擬預測）在中，已知，D為的中點.（1）求A；（2）當時，求的最大值.10．（2024·四川成都·成都七中?？寄M預測）記鈍角的內(nèi)角的對邊分別為．若學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 為銳角且．（1）證明：；（2）若，求周長的取值范圍．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司