重難點(diǎn)6-2 空間幾何體的交線與截面問題（8題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）（原卷版）.docx

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熱點(diǎn)6-1空間幾何體的交線與截面問題空間幾何體的交線與截面問題既是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，往往在高考的選填壓軸題中出現(xiàn)，難度較大。此類題目綜合考察考生的空間想象能力和邏輯推理能力，處理這類問題的基本思路是借助空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系和相應(yīng)的定理，將空間問題平面化?！绢}型1作出空間幾何體的截面】滿分技巧1、作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：（1）在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；（2）凡是相交的直線都要畫出它們的交點(diǎn)；（3）凡是相交的平面都要畫出它們的交線；2、作交線的方法有如下兩種：（1）利用基本事實(shí)3作直線；（2）利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線?！纠?】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為8，，，分別是，，的中點(diǎn)．（1）畫出過點(diǎn)，，的平面與平面的交線；（2）設(shè)平面，求的長(zhǎng)．【變式1-1】（2024·甘肅·高三武威第六中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 分別為棱的中點(diǎn).（1）請(qǐng)?jiān)谡襟w的表面完整作出過點(diǎn)的截面，并寫出作圖過程；（不用證明）（2）求點(diǎn)到平面的距離.【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，直四棱柱的底面為正方形，為的中點(diǎn)．（1）請(qǐng)?jiān)谥彼睦庵校嫵鼋?jīng)過三點(diǎn)的截面并寫出作法（無需證明）．（2）求截面的面積．【變式1-3】（2023·貴州銅仁·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在正三棱柱中，，三棱柱外接球半徑為，且點(diǎn)分別為棱，的中點(diǎn)．（1）過點(diǎn)作三棱柱截面，求截面圖形的周長(zhǎng)；（2）求平面與平面的所成角的余弦值．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【題型2判斷截面多邊形的形狀】滿分技巧判斷截面多邊形形狀時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：1、截面與幾何體表面相交，交線不會(huì)超過幾何體表面?zhèn)€數(shù)。2、不會(huì)與同一個(gè)表面有兩條交線。3、與一對(duì)平行表面相交，交線平行（不一定等長(zhǎng)）4、截面截內(nèi)切球或者外接球時(shí)，區(qū)分與面相切和與棱相切之間的關(guān)系【例2】（2024·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）（多選）在正方體中，用垂直于的平面截此正方體，則所得截面可能是（）A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形【變式2-1】（2023·江西宜春·高三宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，、，、分別為棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上，且，過點(diǎn)、、作一個(gè)截面，該截面的形狀為（）A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形【變式2-2】（2024·陜西安康·安康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，過三點(diǎn)作該正方體的截面，則（）A．該截面是四邊形B．平面C．平面平面D．該截面與棱的交點(diǎn)是棱的一個(gè)三等分點(diǎn)【變式2-3】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）（多選）已知直三棱柱，，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，，，，平面EFG與直三棱柱相交形成的截面為，則（）A．存在正實(shí)數(shù)，，，使得截面為等邊三角形B．存在正實(shí)數(shù)，，，使得截面為平行四邊形C．當(dāng)，時(shí)，截面為五邊形D．當(dāng)，，時(shí)，截面為梯形【題型3求解截面多邊形的周長(zhǎng)】滿分技巧求解截面多邊形的周長(zhǎng)有兩個(gè)思路：（1）利用多面體展開圖進(jìn)行求解；（2）在各個(gè)表面確定交線，分別利用解三角形進(jìn)行求解。【例3】（2024·四川成都·高三樹德中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知正方體的棱長(zhǎng)為為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作與直線垂直的平面，則平面截正方體的截面的周長(zhǎng)為（）A．B．C．D．【變式3-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，用過點(diǎn)，E，的平面截正方體，則截面周長(zhǎng)為（）A．B．9C．D．【變式3-2】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，在直三棱柱中，，，，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則過三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的最小周長(zhǎng)為．【變式3-3】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱中，，點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，則過點(diǎn)的平面截正四棱柱所得截面多邊形的周長(zhǎng)為（）【變式3-4】（2024·河北廊坊·高三文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖所示，正四棱臺(tái)中，上底面邊長(zhǎng)為3，下底面邊長(zhǎng)為6，體積為，點(diǎn)在上且滿足，過點(diǎn)的平面與平面平行，且與正四棱臺(tái)各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長(zhǎng)為（）A．B．C．D．【題型4求解截面多邊形的面積】滿分技巧求解截面多邊形的面積問題的步驟：（1）通過解三角形求得截面多邊形各邊的長(zhǎng)度；（2）判斷多邊形的形狀是否規(guī)則，若為規(guī)則圖形可直接使用面積公式求解；否則可通過切割法將多邊形分為多個(gè)三角形求解?！纠?】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面面積為（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．C．9D．18【變式4-1】（2023·四川成都·高三石室中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形AA1B1B是矩形，D是棱CC1的中點(diǎn)，CC1=AC=4，，AB=3，，過點(diǎn)D作平面平面，則平面截三棱柱ABC-A1B1C1所得截面面積為（）A．B．C．D．【變式4-2】（2023·安徽·高三合肥一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正三棱錐底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，過棱的中點(diǎn)作與該棱垂直的截面分別交，于點(diǎn)，，則截面的面積為（）A．B．C．D．【變式4-3】（2023·山西大同·高三大同一中校考階段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)分別在棱上，且滿足為底面的中心，過作截面，則所得截面的面積為.【變式4-4】（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為4的正四面體，用所有與點(diǎn)A，B，C，D距離均相等的平面截該四面體，則所有截面的面積和為（）A．B．C．D．【題型5截面分割幾何體的體積問題】學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 滿分技巧截面分割后的幾何體易出現(xiàn)不規(guī)則的幾何體，對(duì)此往往采用“切割法”或“補(bǔ)形法”進(jìn)行體積的求解。【例5】（2023·河北衡水·衡水中學(xué)?？家荒＃┮阎庵^底邊的平面與上底面交于線段，若截面將三棱柱分成了體積相等的兩部分，則（）A．B．C．D．【變式5-1】（2024·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正方體，棱的中點(diǎn)分別為，平面截正方體得兩個(gè)幾何體，體積分別記為，則（）A．B．C．D．【變式5-2】（2024·浙江湖州·高三統(tǒng)考期末）在正四棱錐中，底面的邊長(zhǎng)為為正三角形，點(diǎn)分別在上，且，若過點(diǎn)的截面交于點(diǎn)，則四棱錐的體積是（）A．B．C．D．【變式5-3】（2023·江蘇揚(yáng)州·高郵中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，，是棱AB上一點(diǎn)，若平面把三棱柱分成體積比為的兩部分，則（）A．1B．C．D．【變式5-4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在如圖所示的幾何體中，，平面，，，，.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）證明：平面；（2）過點(diǎn)作一平行于平面的截面，畫出該截面（不用說明理由），并求夾在該截面與平面之間的幾何體的體積.【題型6截面最值的相關(guān)問題】滿分技巧截面最值問題的計(jì)算，主要由以下三種方法：1、極限法：通過假設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至兩端，計(jì)算最值（需注意判斷是否單調(diào)）；2、坐標(biāo)法：通過建系設(shè)坐標(biāo)，構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)進(jìn)行求解；3、化歸法：通過圖形轉(zhuǎn)化，把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，尋找平面圖形中的最值計(jì)算?！纠?】（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，與直線垂直的平面截該正方體所得的截面多邊形為，則的面積的最大值為（）A．B．C．D．【變式6-1】（2024·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直三棱柱中，，過點(diǎn)的平面分別交棱AB，AC于點(diǎn)D，E，若直線與平面所成角為，則截面三角形面積的最小值為．【變式6-2】（2024·山東煙臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）如圖，在直三棱柱中，，，則該三棱柱外接球的表面積為；若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則平面截三棱柱所得截面面積的最大值為.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式6-3】（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面，，，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，過點(diǎn)作三棱錐的截面，使截面平行于直線和，當(dāng)該截面面積取得最大值時(shí)，（）A．B．C．D．【變式6-4】（2023·廣西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)，放入一個(gè)以為鈾線的圓柱，且圓柱的底面所在平面截正方體所得的截面為三角形，則該圓柱體積的最大值為．【題型7球的截面問題】滿分技巧求解球的截面問題的要點(diǎn)：（1）確定球心與半徑；（2）尋找作出并計(jì)算截面與球心的距離；（3）充分利用“球心做弦的垂線，垂足是弦中點(diǎn)”這個(gè)性質(zhì)；（4）強(qiáng)調(diào)弦的中點(diǎn)，不一定是幾何體線段的中點(diǎn)。【例7】（2024·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考一模）球的兩個(gè)平行截面面積分別為和，球心到這兩個(gè)截面的距離之差等于1，則球的直徑為（）A．3B．4C．5D．6【變式7-1】（2024·陜西榆林·統(tǒng)考一模）已知是球的直徑上一點(diǎn)，，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，為上的一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作球的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為（）A．B．C．D．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式7-2】（2024·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，，，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為（）A．B．C．D．【變式7-3】（2023·湖北荊州·高三沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的球O上，點(diǎn)A在平面的射影是線段的中點(diǎn)，，則平面被球O截得的截面面積為（）A．B．C．D．【變式7-4】（2024·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）已知直四棱柱的所有棱長(zhǎng)均為4，，以A為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為．【題型8圓錐的截面問題】【例8】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某圓錐的母線長(zhǎng)為4，軸截面是頂角為120°的等腰三角形，過該圓錐的兩條母線作圓錐的截面，當(dāng)截面面積最大時(shí)，圓錐底面圓的圓心到此截面的距離為（）A．4B．2C．D．【變式8-1】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）已知高為2的圓錐內(nèi)接于球O，球O的體積為，設(shè)圓錐頂點(diǎn)為P，平面為經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的平面，且與直線所成角為，設(shè)平面截球O和圓錐所得的截面面積分別為，，則.【變式8-2】（2024·廣東中山·中山紀(jì)念中學(xué)校考二模）已知球的體積為，高為1的圓錐內(nèi)接于球O，經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的平面截球和圓錐所得的截面面積分別為，若，則學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式8-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）圖，在圓錐中，已知高.底面圓的半徑為2，為母線的中點(diǎn)，根據(jù)圓錐曲線的定義，下列三個(gè)圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線，則下面四個(gè)命題中正確的有（）A．圓錐的體積為B．圓的面積為C．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為D．雙曲線兩漸近線的夾角【變式8-4】（2023·河北·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，用一垂直于某條母線的平面截一頂角正弦值為的圓錐，截口曲線是橢圓，頂點(diǎn)A到平面的距離為3.（1）求橢圓的離心率；（2）已知P在橢圓上運(yùn)動(dòng)且不與長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)重合，橢圓的兩焦點(diǎn)為，，證明：二面角的大小小于.（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知OA為球O的半徑，過OA的中點(diǎn)M且垂直O(jiān)A的平面截球得到圓M，若圓M的面積為，則球O的表面積為（）A．B．C．D．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，過直線EF的平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為，最大值為，則（）A．B．C．D．3．（2023·四川宜賓·高二四川省興文第二中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，在三棱柱中，過的截面與AC交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E（D，E都不與C重合），若該截面將三棱柱分成體積之比為的兩部分，則（）A．B．C．D．4．（2024·四川·校聯(lián)考一模）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，與直線垂直的平面截該正方體所得的截面多邊形為M．則下列結(jié)論正確的是（）．A．M必為三角形B．M可以是四邊形C．M的周長(zhǎng)沒有最大值D．M的面積存在最大值5．（2023·河南·信陽高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，以為球心，為半徑作球，則球面與底面的交線長(zhǎng)度的和為（）A．B．C．D．6．（2023·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，為棱上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，若平面截該正方體所得的截面為五邊形，則線段的取值范圍是（）A．B．C．D．7．（2024·河南南陽·高三統(tǒng)考期末）（多選）用一個(gè)平面去截正方體，關(guān)于截面的說法，正確的有（）A．截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 B．截面有可能是四邊形，并且有可能是正方形C．截面有可能是五邊形，并且有可能是正五邊形D．截面有可能是六邊形，并且有可能是正六邊形8．（2023·遼寧朝陽·高三校聯(lián)考期中）（多選）如圖，有一個(gè)正四面體形狀的木塊，其棱長(zhǎng)為a．現(xiàn)準(zhǔn)備將該木塊鋸開，則下列關(guān)于截面的說法中正確的是（）A．過棱AC的截面中，截面面積的最小值為B．若過棱AC的截面與棱BD（不含端點(diǎn)）交于點(diǎn)P，則的最小值為C．若該木塊的截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為D．與該木塊各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面有7個(gè)9．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）正三棱臺(tái)中，，，點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，若過點(diǎn)，，作截面，則截面與上底面的交線長(zhǎng)為．10．（2023·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為4，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，平面截正方體的截面面積為.11．（2023·廣西河池·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐中，底面為直角梯形，平面，，，，，為中點(diǎn)，過，，的平面截四棱錐所得的截面為．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）若與棱交于點(diǎn)，畫出截面，保留作圖痕跡（不用說明理由），并證明．（2）求多面體的體積．12．（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）如圖，直三棱柱中，點(diǎn)D，E分別為棱的中點(diǎn)，．（1）設(shè)過A，D，E三點(diǎn)的平面交于F，求的值；（2）設(shè)H在線段上，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，求點(diǎn)H到平面的距離．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司