上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期五月月考數(shù)學(xué)試題 Word版含解析.docx

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上海實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三月考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（第1—6題每題4分，第7—12題每題5分，滿分54分）1.已知集合，集合，則________．【答案】【解析】【分析】直接利用集合的交集運(yùn)算得到答案.【詳解】由，所以.故答案為：.2.已知角的頂點(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，始邊在x軸的正半軸上，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值是________．【答案】##【解析】【分析】由題意和三角函數(shù)定義可得sinα和cosα，再由二倍角公式可得答案．【詳解】由題意和三角函數(shù)的定義可得，，所以.故答案為：3.在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：（是參數(shù)，），圓C：（是參數(shù)，），則圓心到直線的距離是________．【答案】## 【解析】【分析】先將直線方程和圓方程化為普通方程，求出圓心坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得答案【詳解】直線l：（t是參數(shù)，）的普通方程為，圓C：（是參數(shù)，）的普通方程為，則圓心，所以圓心到直線的距離為，故答案為：4.設(shè)由復(fù)數(shù)組成的數(shù)列滿足：對(duì)任意的，都有(是虛數(shù)單位)，則數(shù)列的前2020項(xiàng)和的值為_(kāi)________.【答案】0【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式得前n項(xiàng)和公式，可求得，再運(yùn)用可得答案.【詳解】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則由已知得，所以，而，所以，故答案為：0.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，關(guān)鍵在于運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式求和，，，屬于中檔題. 5.已知函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)___【答案】（1，＋∞）【解析】【分析】由已知條件得出函數(shù)為奇函數(shù)，并且在在R時(shí)單調(diào)遞增，由此可得出關(guān)于x不等式，解之可得不等式的解集.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在R時(shí)單調(diào)遞增.所以不等式化為，所以，解得，所以不等式的解集為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解不等式，屬于中檔題.6.把3本不同的語(yǔ)文書(shū)，4本不同的數(shù)學(xué)書(shū)隨機(jī)的排在書(shū)架上，則語(yǔ)文書(shū)排在一起的概率是________.【答案】【解析】【分析】利用捆綁法，將語(yǔ)文書(shū)當(dāng)做一個(gè)元素，與4本數(shù)學(xué)書(shū)一起全排列，再將語(yǔ)文書(shū)排列，即可得出語(yǔ)文書(shū)排在一起的情況有多少，然后計(jì)算出7本書(shū)全排列的基本事件個(gè)數(shù)，利用古典概型概率公式計(jì)算即可．【詳解】本書(shū)的全排列有種，語(yǔ)文書(shū)排在一起的排法有種，語(yǔ)文書(shū)排在一起的概率是. 故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查排列數(shù)的計(jì)算，捆綁法的應(yīng)用，古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7.已知中，角的對(duì)邊分別為，且，則的值是___．【答案】【解析】【詳解】試題分析:因,故由可得,即.故應(yīng)填答案.考點(diǎn)：余弦定理及同角關(guān)系得的運(yùn)用．8.已知等邊的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)、分別在邊、上且滿足，則__________.【答案】【解析】【分析】用向量的分解方法來(lái)計(jì)算，因?yàn)榈冗吶我鈨蓷l邊夾角為特殊角，所以可以將向量取兩條邊作為基底來(lái)分解.【詳解】因?yàn)槎?，又因?yàn)?，，所以。所以故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，可以嘗試建平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)法和斜坐標(biāo)系的向量分解方法去做.本題是中檔題9.半徑為2的球面上有四點(diǎn)，且兩兩垂直，則，與面積之和的最大值為_(kāi)_____．【答案】8【解析】 【分析】AB，AC，AD為球的內(nèi)接長(zhǎng)方體的一個(gè)角，故，計(jì)算三個(gè)三角形的面積之和，利用基本不等式求最大值．【詳解】如圖所示，將四面體置于一個(gè)長(zhǎng)方體模型中，則該長(zhǎng)方體外接球半徑為2．不妨設(shè)，，，則有，即．記．從而有，即，從而．當(dāng)且僅當(dāng)，即該長(zhǎng)方體為正方體時(shí)等號(hào)成立．從而最大值為8．【點(diǎn)睛】本題考查了利用基本不等式求最值問(wèn)題，考查了學(xué)生解決交匯性問(wèn)題的能力．解答關(guān)鍵是利用構(gòu)造法求球的直徑．10.設(shè)函數(shù)，方程有四個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，，，，則的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】先求出分段函數(shù)的解析式，然后作出函數(shù)圖象，確認(rèn)零點(diǎn)所在區(qū)間以及零點(diǎn)之間的關(guān)系，然后將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，求出函數(shù)的值域即可.【詳解】因?yàn)?，則，作出函數(shù)圖象，如圖： 不妨設(shè)，由圖象知關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以，，所以，所以，所以因?yàn)?，所以令，所以原式化為，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，即的取值范圍為. 故答案為：.11.已知實(shí)數(shù)同時(shí)滿足：（1），其中是邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)：（2）關(guān)于的方程在上恰有兩解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________【答案】．【解析】【分析】由已知向量等式可得，令，把關(guān)于的方程在，上恰有兩解轉(zhuǎn)化為在上有唯一解，進(jìn)一步得到關(guān)于的不等式（組求解，與取交集得答案．【詳解】由，且，得，即，是邊延長(zhǎng)線上，，即．關(guān)于的方程在，上恰有兩解，令，可得在上有唯一解，或，又，解得或．實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：一元二次方程的根的分布問(wèn)題常從以下幾個(gè)方面考慮：（1）二次函數(shù)的拋物線的開(kāi)口方向；（2）對(duì)稱(chēng)軸位置；（3）大??；（4）端點(diǎn)函數(shù)值；（5）拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).12.設(shè)，若對(duì)任意，都存在唯一實(shí)數(shù)，滿足，則正數(shù)的最小值為_(kāi)___________ 【答案】##【解析】【分析】由已知函數(shù)解析式得到函數(shù)值域，結(jié)合存在唯一的，滿足，可得，即，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，，求解不等式得到的范圍，進(jìn)一步得到的范圍得答案．【詳解】解：函數(shù)的值域?yàn)椋闹涤驗(yàn)?；的值域?yàn)椋闹涤驗(yàn)樯嫌袃蓚€(gè)解，要想在上只有唯一的滿足，必有．，即，解得：．當(dāng)時(shí)，與存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，，且．，解得：或者（舍去）．，解得．故答案為：．二、選擇題（本大題共4題，滿分20分）13.已知?jiǎng)tp是q的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)解分式不等式的方法，結(jié)合充分不必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】或，顯然由p一定能推出q，但是由q不一定能推出p， 所以p是q的充分不必要條件，故選：A14.一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示，則此四棱錐的體積為（）A.12B.8C.16D.24【答案】B【解析】【分析】由三視圖可得四棱錐的高和底面矩形的長(zhǎng)和寬，利用棱錐體積公式求得結(jié)果.【詳解】由三視圖可知，四棱錐底面是長(zhǎng)為，寬為的矩形，高為四棱錐體積故答案為【點(diǎn)睛】本題考查椎體體積求解問(wèn)題，關(guān)鍵是利用三視圖準(zhǔn)確還原幾何體，屬于基礎(chǔ)題.15.方程的曲線所滿足的性質(zhì)為①不經(jīng)過(guò)第二?四象限；②關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；③關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；④關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；A.①③B.②③C.①④D.①②【答案】A【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)在曲線上，則點(diǎn)滿足方程，然后判定，， 否在曲線上，從而得到結(jié)論．【詳解】解：若點(diǎn)在曲線上，則，令，，則，故點(diǎn)不在曲線上，即不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；令，，則，即，故點(diǎn)在曲線上，即關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；令，，則，故點(diǎn)不在曲線上，即不關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；若且時(shí)，；且時(shí)，即曲線不經(jīng)過(guò)第二?四象限故正確的有：①③．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是曲線的對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)也在曲線上，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)也在曲線上，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)也在曲線上，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)也在曲線上，則曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)也在曲線上，則曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，屬于基礎(chǔ)題．16.設(shè)等差數(shù)列，，…，（，)的公差為，滿足，則下列說(shuō)法正確的是A.B.的值可能為奇數(shù)C.存在，滿足D.的可能取值為【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)出絕對(duì)值函數(shù)，根據(jù)絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【詳解】因?yàn)樗?令則（）①當(dāng)時(shí)，，不滿足（），舍去．②當(dāng)時(shí)，由（）得為平底型，故為偶數(shù)．的大致圖像為：則所以，故A正確．由當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)故不存在，滿足，C錯(cuò) 由于所以，故D錯(cuò)③當(dāng)時(shí)，令由于的圖像與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故只需研究故令因?yàn)樗杂散谥獮槠降仔?，故為偶?shù)，故B錯(cuò)令所以，故A正確由②知，不存在，滿足，故C錯(cuò)由②知，，故D錯(cuò)綜上所述，A正確,BCD錯(cuò)誤故選A.【點(diǎn)睛】本題結(jié)合等差數(shù)列綜合考查絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題．三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）17.如圖，已知矩形ABCD是圓柱O1O2的軸截面，N在上底面的圓周O2上，AC、BD相交于點(diǎn)M；（1）求證：CN⊥平面ADN；（2）已知圓錐MO1和圓錐MO2的側(cè)面展開(kāi)圖恰好拼成一個(gè)半徑為2的圓，直線BC與平面CAN所成角的正切值為，求異面直線AB與DN所成角的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） 【解析】【詳解】（1）∵矩形ABCD是圓柱O1O2的軸截面，N在上底面的圓周O2上，∴CN⊥DN，AD⊥平面CDN，∵CN?平面CDN，∴CN⊥AD，∵AD∩DN=D，∴CN⊥平面ADN．（2）∵圓錐MO1和圓錐MO2的側(cè)面展開(kāi)圖恰好拼成一個(gè)半徑為2的圓，∴MC=MD=MA=MB=2，設(shè)AD=c，則AB=，以N為原點(diǎn)，ND為x軸，NC為y軸，過(guò)點(diǎn)N垂直于平面CND的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)D（a，0，0），C（0，b，0），則A（a，0，﹣c），B（0，b，﹣c），N（0，0，0），=（a，0，﹣c），=（0，b，0），=（0，0，c），設(shè)平面NAC的法向量=（x，y，z），則，取x=1，得=（1，0，），∵直線BC與平面CAN所成角的正切值為，∴直線BC與平面CAN所成角的正弦值為，∴|cos＜＞|===，解得c=2，∴AB==2，a2+b2=AB2=4，∵=（a，﹣b，﹣c），平面NAC的法向量=（1，0，），∴=a﹣1=0，解得a=1，∴b=，∴=（﹣1，，0），=（1，0，0），設(shè)異面直線AB與DN所成角為α，則cosα===，∴，∴異面直線AB與DN所成角為． 18.已知平面向量，函數(shù)．（1）寫(xiě)出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè)，求函數(shù)與圖象的所有交點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）減區(qū)間為；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合輔助角公式、正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)極限的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合特殊角的正弦值進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，解得：，因此函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，即，所以交點(diǎn)的坐標(biāo)為； 當(dāng)時(shí)，，即，方程無(wú)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，，即，或，解得或，即交點(diǎn)坐標(biāo)為，綜上所述：交點(diǎn)坐標(biāo)為.19.根據(jù)預(yù)測(cè)，某地第個(gè)月共享單車(chē)的投放量和損失量分別為和（單位：輛），其中，，第個(gè)月底的共享單車(chē)的保有量是前個(gè)月的累計(jì)投放量與累計(jì)損失量的差.（1）求該地區(qū)第4個(gè)月底的共享單車(chē)的保有量；（2）已知該地共享單車(chē)停放點(diǎn)第個(gè)月底的單車(chē)容納量（單位：輛）.設(shè)在某月底，共享單車(chē)保有量達(dá)到最大，問(wèn)該保有量是否超出了此時(shí)停放點(diǎn)的單車(chē)容納量？【答案】（1）935；（2）見(jiàn)解析.【解析】【詳解】試題分析：（1）計(jì)算和的前項(xiàng)和的差即可得出答案；（2）令得出，再計(jì)算第個(gè)月底的保有量和容納量即可得出結(jié)論.試題分析：（1）（2），即第42個(gè)月底，保有量達(dá)到最大，∴此時(shí)保有量超過(guò)了容納量.20.已知橢圓，短軸長(zhǎng)為，左、右焦點(diǎn)分別為，，P是橢圓C 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為2．（1）求橢圓C的方程；（2）求的取值范圍；（3）過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A作直線軸，M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，B為橢圓右頂點(diǎn)，直線BM交橢圓C于點(diǎn)Q．試判斷數(shù)量積，是否為定值，如果為定值，求出定值；如果不是定值，說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）（3）是，4【解析】【分析】（1）設(shè)，利用，的最大值為2，得到bc的值，結(jié)合短軸長(zhǎng)為，從而求出a，b，c的值，即可求出橢圓C的方程；（2）利用橢圓方程得到關(guān)于的表達(dá)式，用坐標(biāo)表示，結(jié)合的取值范圍，得到的取值范圍；（3）設(shè)出直線方程BM的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，解得，，從而得到Q點(diǎn)坐標(biāo)，，M點(diǎn)坐標(biāo)，，再表示出，從而求出和的值.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“＝”，．又，∴，∴，從而橢圓C的方程為．【小問(wèn)2詳解】 ∵橢圓，∴，．∵P為橢圓C上一點(diǎn)，∴，∴．又，∴．【小問(wèn)3詳解】設(shè)直線BM的斜率為k，則直線BM的方程為，設(shè)，將代入橢圓C的方程中并化簡(jiǎn)得，解得，，∴，從而，．令，得，所以，．又，∴（定值），（定值），綜上可知，，均定值．21.設(shè)對(duì)集合上的任意兩相異實(shí)數(shù)，，若恒成立，則稱(chēng)在上優(yōu)于；若恒成立，則稱(chēng)在上嚴(yán)格優(yōu)于.（1）設(shè)在上優(yōu)于，且是偶函數(shù)，判斷并證明的奇偶性；（2）若在上嚴(yán)格優(yōu)于，，若是上的增函數(shù)，求證：在上也是增函數(shù)； （3）設(shè)函數(shù)，，若，是否存在實(shí)數(shù)使得在上優(yōu)于，若存在，求實(shí)數(shù)的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）偶函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）存在，.【解析】【分析】（1）令，代入已知不等式中，再結(jié)合是偶函數(shù)，即可證明是偶函數(shù)；（2）根據(jù)新定義先列出不等式，再把是上的增函數(shù)轉(zhuǎn)化為若，則，代入不等式即可證明在上也是增函數(shù)；（3）先根據(jù)新定義列出不等式，再將不等式化簡(jiǎn)得到在，時(shí)恒成立.令，取，證明當(dāng)時(shí)，，再證明，當(dāng)時(shí)不合題意，從而求得的最大值．【詳解】（1）設(shè)為任意實(shí)數(shù)，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即，∴，即∴為偶函數(shù).（2）對(duì)于任意，，且，因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，所以，即，所以即，得證.（3）若存在實(shí)數(shù)使得在上優(yōu)于，因?yàn)椋?，在，時(shí)恒成立，不妨設(shè)，則，∴， ∴在，時(shí)恒成立在，時(shí)恒成立在，時(shí)恒成立.令，取當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性，奇偶性），考查不等式恒成立的轉(zhuǎn)化，新定義問(wèn)題，著重考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于難題．新定義題型的特點(diǎn)是：通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決.