1.5可降階的高階方程

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1、本節(jié)介紹幾種特殊的高階方程，它們的共同特點(diǎn)是經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q可將其化成較低階的方程來(lái)求解?？山惦A的高階微分方程以二階方程為例展開(kāi)討論重點(diǎn)討論能將二階導(dǎo)數(shù)解出的情況如果我們?cè)O(shè)法作變量代換把它從二階降至一階，就有可能應(yīng)用前節(jié)中所介紹的方法來(lái)求解一、型特點(diǎn)：右端不含僅是x的函數(shù)解法：將作為新的未知函數(shù)降階令有變量可分離的一階方程積分即再積分對(duì)n階方程同理令積分得如此連續(xù)積分n次即得原方程的含有n個(gè)任意常數(shù)的通解一般情況特點(diǎn)：解法：z的(n-k)階方程可得通解.例1解例2解代入原方程解線(xiàn)性方程,得兩端積分,得原方程通解為二、型特點(diǎn)：右端不含y解法：降階令代入原方程得若已求得其通解為回代得變量

2、可分離的一階方程積分得例3解方程解令分離變量得即由由故解方程解即例4三、型特點(diǎn)：右端不含x降階解法：令由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得代入原方程得這是一個(gè)關(guān)于y，p的一階方程若已求得它的通解為變量可分離的一階方程積分得即得原方程的通解一般情況特點(diǎn)：解法：求得其解為原方程通解為例5解方程解令若即積分得即或若則包含在通解中四、恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程特點(diǎn)解法：類(lèi)似于全微分方程可降低一階再設(shè)法求解這個(gè)方程.例6解將方程寫(xiě)成積分后得通解注意:這一段技巧性較高,關(guān)鍵是配導(dǎo)數(shù)的方程.練習(xí)題練習(xí)題答案