牛頓-拉夫遜法求解非線性方程

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1、牛頓-拉夫遜法潮流計算一、基本原理設(shè)有單變量非線性方程求解此方程時，先給出解的近似值，它與真解的誤差為，則滿足方程（11-29），即將上式左邊的函數(shù)在附近展成泰勒級數(shù)，便得式中，分別為函數(shù)在處的一階導(dǎo)數(shù)，…，階導(dǎo)數(shù)。如果差值很小，的二次及以上的各項均可略去，式（11-30）便簡化成這是對于亦是的修正量的線性方程式，亦稱修正方程式。解此方程可得修正量用所求得的去修正近似解，便得修正后的近似解同真解仍然有誤差。為了進(jìn)一步逼近真解，這樣的迭代計算可以反復(fù)進(jìn)行下去，迭代計算的通式是圖11-26牛頓法的幾何解釋迭代過程的收斂判據(jù)為或式中，和為預(yù)先給定的小正數(shù)。這種解法的幾何意義可以從圖11-2

2、6得到說明。函數(shù)為圖中的曲線。的解相當(dāng)于曲線與軸的交點。如果第次迭代中得到，則過點作一切線，此切線同軸的交點便確定了下一個近似解。由此可見，牛頓拉夫遜法實質(zhì)上就是切線法，是一種逐步線性化的方法。牛頓法不僅用于求解單變量方程，它也是求解多變量非線性代數(shù)方程的有效方法。設(shè)有個聯(lián)立的非線性代數(shù)方程假定已給出各變量的初值，令分別為各變量的修正量，使其滿足方程（11-34）,即將上式中的個多元函數(shù)在初始值附近分別展成泰勒級數(shù)，并略去含有的二次及以上階次的各項，便得方程式（11-36）也可以寫成矩陣形式方程式（11-37）對于修正量的線性方程，稱為牛頓法的修正方程式。利用高斯消去或三角分解可以解

3、出修正量。然后對初始近似解進(jìn)行修正如此反復(fù)迭代，在進(jìn)行第次迭代時，從求解修正方程式得到修正量，并對各變量進(jìn)行修正式（11-39）和式（11-40）也可以縮寫為和式中，和分別是由個變量和修正量組成的維列向量；是由個多元函數(shù)組成的維列向量；是階方陣，稱為雅可比矩陣，它的第個元素是第個函數(shù)對第個變量的偏導(dǎo)數(shù)；上角標(biāo)表示陣的每一個元素都在點處取值。迭代過程一直進(jìn)行到滿足收斂判據(jù)或為止。和為預(yù)先給定的小正數(shù)。