中國科大《電磁學與電動力學[上冊]》參考答案

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1、《電磁學與電動力學》答案與解題提示第一章1.1設(shè)地球表面的總電量為q1,月球表面的總帶電量q2.由于電荷在月球和地球表面均勻分布,故地球和月球均可等價為點電荷來考慮.設(shè)地月心距為r,而地月之間的萬有引力與庫侖力恰好平衡,則有以下力學平衡方程q1q2m1m2=G(1.1),整理得q1q2=4Gm1m2?"0(1.2)4?"0r2r2記總電量最小值為q0.利用均值不等式,可以由(1.2)得到pp?14q0=2q1q2=24Gm1m2?"0(1.3).代入數(shù)據(jù)得q0=1:14￡10C.若電荷分配與質(zhì)量

2、成正比,可設(shè)比例系數(shù)k滿足q1=km1以及q2=km2.代入(1.2)并整理,解得總電量p14q=4G?"0(m1+m2)(1.4).代入數(shù)據(jù)得q=5:21￡10C.1.2該勻速圓周運動過程中,庫侖力作向心力.給出該質(zhì)點滿足的力學平衡方程:qQ32?′2r3qQ=mr(1.5),整理得=(1.6)4?"0r2TT216?3"0m1.3p±粒子受三等大共面而互成120的力的作用,合力為零.記該平衡位置距任一電荷的距離為r,則應(yīng)有3r=a(1.7).設(shè)粒子在軸線上有一微小位移±,則由對稱性可知諸庫侖

3、力對其合力必沿軸線方向,且3qQ?3qQF=±(1.8).因±?r可寫F=?k±(1.9),其中k=(1.10)4?"0(r2+±2)1:54?"0r3該力大小與位移成正比且反向,從而符合簡諧運動的特征.粒子作簡諧運動.與(1.7)共同考慮,得到rr1k1?3qQ13o==(1.11).代入數(shù)據(jù),解得o=2:1￡10Hz.2?m2?4?"0r3m1.4取兩電荷連線的中點為極點并建立極坐標系.對稱性分析表明,位于該平面上r處的點電荷q0所受力只能在該坐標系平面內(nèi),其大小2q0QrF=(1.12)作

4、為r的單變量函數(shù).4?"0(r2+l2)1:5欲求受力的極大值,可對(1.12)兩端關(guān)于r求微并其等于零,或p22dq0Ql?2r2F==0(1.13).解得r=l(1.14).dr2?"0(r2+l2)2:52可判斷該點為受力最大值點.諸滿足條件的點構(gòu)成一個圓,其半徑由(1.14)給出.1.5對稱性分析表明,A點的電場強度只能沿y^方向.由電場強度疊加原理,直接有no2qdy^22?1:522?1:5E=[(x?d)+d]?[(x+d)+d](1.15).式中2d=l(1.16)4?"0利用x

5、àl可對上式化簡.對分式項進行泰勒展開,舍去二階及以上無窮小量.結(jié)合(1.16),可得到23lqE=y^(1.17).4?"0x4即電四極子產(chǎn)生的電場強度的衰減速度可以預(yù)見地快于電偶極子.它與距離的四次方成反比關(guān)系.1.6只需證明AC上任意位置處的電場強度水平分量為零,或其上電勢處處相等.考慮計算復雜程度,此處取后者.以O(shè)為極心建立極坐標系和直角坐標系,則點P(x;0)處的電勢Z?1Rdμ?0sinμ?0RU=p=(1.18).與x無關(guān).4?"00R2+x2?2xRcosμ?"0上式證明了該直徑

6、上處處等勢.換言之,即該直徑上任一點的電場強度均與該直徑垂直.1《電磁學與電動力學》答案與解題提示1.7將導線段考慮為左邊半圓和右邊兩條長直線兩部分考慮.對稱性分析表明,兩部分導線產(chǎn)生的電場均只能沿水平方向.建立合適的坐標系以用積分求出中心處的電場強度.記右為正方向,則由電場強度疊加原理,Z?Z122?Rdμ2?xdx??E=cosμ?=?=0(1.19)4?"00R24?"00(R2+x2)1:52?"0R2?"0R這就說明,圓心處的電場強度為零.1.8平行于水平軸的電偶極子不受力矩作用而只受

7、力的作用.記2d=l,則由力的合成法則化簡可得qQ4DdF=?z^(1.20)4?"0(D2?d2)2垂直時,電偶極子為了達到與電場強度有相同的取向而受力和力矩的作用.容易寫出0QDp￡z^0QpM=(1.21).以及F=(1.22)4?"0(D2+d2)1:54?"0(D2+d2)1:51.9設(shè)內(nèi)球面上的面電荷密度為?0.選取包含外球面的曲面作為積分面應(yīng)用高斯定理,有ZZ222R24?R1?0+4?R2?="0°E￠dS=0(1.23).解得?0=?2?(1.24)R1再取半徑為r而滿足R16

8、r6R2的球體作積分面應(yīng)用高斯定理,得到ZZ222?R24?R1?0="0°E￠dS=E￠4?r(1.25).聯(lián)立(1.24)解得E=?r^(1.26)"0r2而小球面內(nèi)部的電場強度均為零的結(jié)論是不難得出的.1.10將厚平板視為若干薄板的疊加,則x?x+dx處薄板的面電荷密度?=kxdx.約定x正方向為電場強度正方向.板外任意位置有相同的電場強度大小:Zb2kxdxkbE==forr>b(1.27)02"04"0板內(nèi)的電場強度是縱坐標坐標r的函數(shù),或ZZrbkxdxkxdxk22E=?=(2r?