畢業(yè)論文之線性丟番圖方程

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1、線性丟番圖方程趙沖1.線性丟番圖方程的問題背景不定方程的整數(shù)解問題是數(shù)論的一個重要課題，在現(xiàn)實生活中,該問題有很強的實用意義.一個簡單的例子是求用給定面值的郵票湊成所需郵資的全部解法。一個較為復(fù)雜的例子是為判定某未知蛋白質(zhì)分子組成,需將其分子量表為種氨基酸的已知分子量，，的線性組合，顯然及其待求組合系數(shù)都是非負(fù)整數(shù),而且只給出一種或幾種可能的分解是不夠的,必須提供全部可能的分解,以供生物學(xué)家們選擇。Def1（1）稱為元一次線性丟番圖方程。求一個僅與有關(guān)的整數(shù)，在時，方程（1）有非負(fù)整數(shù)解，而在時，方程（1）無非負(fù)整數(shù)解。Def2稱為整系數(shù)線性型的最大不可表數(shù)，稱為Frobenius數(shù)。求的問題

2、就是歷史上著名的Frobenius問題。當(dāng)時，該問題已徹底解決。在有解的情況下，本文將詳細(xì)討論二元一次和三元一次線性丟番圖方程的Frobenius問題。2.元一次線性丟番圖方程何時非負(fù)整數(shù)解定理2.1設(shè)，，是不全為零的正整數(shù)，對任意的整數(shù)，都存在，，使得方程成立當(dāng)且僅當(dāng)。特殊的，方程（1）對每個有解當(dāng)且僅當(dāng)【1】。證明設(shè)因為，如果方程（1）有整數(shù)解，那么則存在某個整數(shù)使得由得存在整數(shù)，，，使得（2）再令則方程（2）可化為（3）即特殊的，當(dāng)時，方程（1）對任意整數(shù)都有解。定理2.2，，均為正整數(shù)，，如果，方程存在非負(fù)整數(shù)解，，【1】。證明由定理1知存在整數(shù)，，使得又由帶余除法得令，那么此時可能為

3、負(fù)整數(shù)，為了保證它的非負(fù)性，令則有，從而，故得證。定理2.3，，均為正整數(shù)，，不妨設(shè)，則證明作差比較法與作差故得證。定理2.2簡化成，，均為正整數(shù)，，只需，方程存在非負(fù)整數(shù)解，，1.Frobenius問題設(shè)，，均為正整數(shù)，，記為線性丟番圖方程(1)的Frobenius數(shù)，即1.當(dāng)時，方程（1）有非負(fù)整數(shù)解；2.當(dāng)時，方程（1）無非負(fù)整數(shù)解。3.1二元的Frobenius問題定理3.1.1設(shè)，為正整數(shù)，，則【1】。證明由定理2.1,2.2,2.3知，對，存在，使得且（*）假設(shè)表示法不唯一，則且則即又故又因為所以同理可得從而（*）式的表示唯一。如果不能表成，和，的組合，則有則（*）式變?yōu)樗粤硪环?/p>

4、面，若（**）則又因為則，故，故（**）式變?yōu)?，這是不可能的綜上可得定理3.1.2設(shè)，，為正整數(shù)，，則無非負(fù)整數(shù)解得充要條件為存在正整數(shù)，使得，且該表示唯一【2】。定理3.1.3設(shè)，為正整數(shù)，則。（其中表示不超過的最大整數(shù)）類似的，也有根據(jù)（其中表示的小數(shù)部分）有以下推論：推論設(shè)，為正整數(shù)，則【2】設(shè)，為正整數(shù)，，令是且無非負(fù)整數(shù)解的這樣的的個數(shù)。求證：證明：由定理3.1.2，定理3.1.3，可得從而。例1求一元二次丟番圖方程的所以非負(fù)整數(shù)解。解：首先，滿足定理3.1.2，則該方程一定有非負(fù)整數(shù)解又則即有四組非負(fù)整數(shù)解，，和例2求一元二次丟番圖方程的所以非負(fù)整數(shù)解。解：首先，不滿足定理3.1.

5、2，則該方程不一定有非負(fù)整數(shù)解但無論取上述值中的任何值，都不滿足非負(fù)整數(shù)的條件于是無非負(fù)整數(shù)解3.2三元的Frobenius問題在四川大學(xué)學(xué)報上，柯召教授證明了下面一個定理定理3.2.1設(shè)，，為正整數(shù)，，則。且當(dāng)時，有【3】。陸文瑞把定理3.2.1推廣，得到一個充要條件定理3.2.2設(shè)，，為正整數(shù)，，則的充要條件是（，，為非負(fù)整數(shù)）能表出【4】。定理3.2.2包含了定理3.2.1，因為當(dāng)時，由定理3.1.1知可經(jīng)表出而即時1956年，陳重穆把這個定理推廣到任意上，即有定理3.2.3設(shè)，，為正整數(shù)，且，，，則有，當(dāng)時，【3】。定理3.2.1有以下特殊情形推論1若，，為正整數(shù)，，則。且當(dāng)時，有證明

6、此定理的證明直接由定理3.2.1和定理3.2.2可得。定理3.2.3也有以下特殊情形推論2設(shè)，，為正整數(shù)，且，，，則有，當(dāng)時，。證明當(dāng)時，由定理3.1.1知，方程（1）存在非負(fù)整數(shù)解，事實上取即可。故假設(shè)時，方程（1）也存在非負(fù)整數(shù)解，則由條件可知此時有，即存在非負(fù)整數(shù)解，使與定理3.1.1矛盾。綜上可知定理3.2.2又較定理3.2.1更為廣泛，可由下面的例子說明例3求解由定理3.2.1，，均不能成立，即不能滿足定理3.2.1的條件，但滿足定理3.2.1的條件且，因而例4求解又故滿足推論1的條件從而類似的運用推論1可以計算10以內(nèi)的的滿足推論1的條件的這些①②③④⑤⑥⑦另外還有一些10以內(nèi)的的

7、但不滿足推論1的條件的這些如，故不滿足推論1的條件，但是仍有是肯定的。于是采用列舉法求它的Frobenius數(shù)。有非負(fù)整數(shù)解，則有非負(fù)整數(shù)解，則有非負(fù)整數(shù)解，則無非負(fù)整數(shù)解，則但是這樣的算法在所給的數(shù)較大時比較麻煩，我們急于尋求更簡單更直接的方法來計算，于是就有了下面的定理。定理3.2.4設(shè)，，為正整數(shù)，，如不能表為的形狀。即下列二種情況必有一種成立：i）有正整數(shù)存在，適合ii）有正整數(shù)存在，適合