高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥 點(diǎn)擊“函數(shù)模型及其應(yīng)用”

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1、點(diǎn)擊“函數(shù)模型及其應(yīng)用”一、課標(biāo)要求1．使用計(jì)算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長(zhǎng)差異；結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義。2．收集一些社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)）的實(shí)例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用。二、方法指導(dǎo)不同的函數(shù)模型能夠刻畫現(xiàn)實(shí)世界不同的變化規(guī)律，函數(shù)模型可以處理生產(chǎn)、生活中很多實(shí)際問題，因此學(xué)習(xí)中應(yīng)注意：1．根據(jù)實(shí)際應(yīng)用問題的條件建立函數(shù)模型，并運(yùn)用函數(shù)的概念和性質(zhì)來解決實(shí)際問題，這類問題的建模方法有兩種：一是根據(jù)幾何和物理概念建立函數(shù)關(guān)

2、系式；另一種是通過觀察和實(shí)驗(yàn)建立函數(shù)關(guān)系式。2．解決應(yīng)用問題的基本步驟（1）審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；（2）建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3）求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；（4）還原：將利用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論，還原為實(shí)際問題的意義。此四步用框圖可表示為：實(shí)際問題抽象、概括數(shù)學(xué)模型演算推理數(shù)學(xué)模型的解還原說明實(shí)際問題的解3．常見的函數(shù)模型（1）一次函數(shù)模型：；（2）二次函數(shù)模型：；（3）指數(shù)函數(shù)模型：；（4）對(duì)數(shù)函數(shù)模型：；（5）冪函

3、數(shù)模型：三、范例剖析例1一片樹林中現(xiàn)有木材30000，如果每年增長(zhǎng)5，經(jīng)過年，樹林中有木材，求經(jīng)過多少年，木材可以增加到40000？（結(jié)果保留1個(gè)有效數(shù)字）分析：如果原來產(chǎn)值的基數(shù)為，平均增長(zhǎng)率為，則對(duì)于時(shí)間的總產(chǎn)值或總產(chǎn)量為。解析：依題意得，∴，使用計(jì)算器可得（年），故大約經(jīng)過6年，木材可以增加到40000。評(píng)注：解函數(shù)應(yīng)用題常見的錯(cuò)誤：一是不會(huì)將實(shí)際問題抽樣轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型或轉(zhuǎn)化不全面；二是在求解過程中忽略實(shí)際問題對(duì)變量參數(shù)的限制條件。例2通過研究學(xué)生的行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述

4、問題所用的時(shí)間。講座開始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，中間有一段不太長(zhǎng)的時(shí)間，學(xué)生的興趣保持理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散。分析結(jié)果和實(shí)踐表明，用表示學(xué)生掌握和接受概念的能力，表示提出和講授概念的時(shí)間（單位：分），可有以下的公式：（1）開講后多少分鐘學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？能維持多長(zhǎng)時(shí)間？（2）開講后5分鐘與開講后比較，學(xué)生的接受能力何時(shí)強(qiáng)一些？（3）一個(gè)數(shù)學(xué)難題，需要55的接受能力以及13分鐘的時(shí)間，老師能否及時(shí)在學(xué)生一直達(dá)到所需要接受能力的狀態(tài)下講授完這個(gè)難題？分析：分段函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，在不同的時(shí)間內(nèi)應(yīng)選取不同的表

5、達(dá)式計(jì)算。解析：（1）當(dāng)時(shí)，有，故遞增，最大值為；顯然，當(dāng)時(shí)，遞減，最大值為。因此，開講后10分鐘，學(xué)生達(dá)到最強(qiáng)的接受能力（值為59），并能維持6分鐘。（2），，因此，開講后5分鐘學(xué)生的接受能力比開講后強(qiáng)一些。（3）當(dāng)時(shí)，令，則，，∴或去）；當(dāng)時(shí)，令，則，∴。因此，學(xué)生達(dá)到（或超過）55的接受能力的時(shí)間為（分鐘），老師來不及在學(xué)生一直達(dá)到所接受能力狀態(tài)下講授完這道難題。評(píng)注：聯(lián)系實(shí)際的應(yīng)用題，具有創(chuàng)意新穎，設(shè)問角度獨(dú)特，解題方法靈活的特點(diǎn)，其關(guān)鍵是建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式。例3放射性物質(zhì)衰變過程中，其剩留質(zhì)量隨時(shí)間按

6、指數(shù)函數(shù)關(guān)系變化，常把它剩留質(zhì)量變?yōu)樵瓉硪话胨?jīng)歷的時(shí)間稱為它的半衰期，記為，衰變公式為（為常數(shù)）?，F(xiàn)測(cè)得某種放射性元素剩留質(zhì)量隨時(shí)間變化的6次數(shù)據(jù)如下：/單位時(shí)間02468103202261601158057由以上記錄，請(qǐng)說明這種元素的半衰期為多少單位時(shí)間，并求出剩余質(zhì)量隨時(shí)間變化的衰變公式。分析：可根據(jù)表中規(guī)律確定半衰期，解出衰變公式。解析：從測(cè)試記錄易知半衰期單位時(shí)間，又時(shí)，，即初始質(zhì)量，時(shí)，，則。故經(jīng)過時(shí)間的剩留質(zhì)量應(yīng)為，這就是所求的衰變公式。評(píng)注：對(duì)不太熟悉領(lǐng)域的應(yīng)用問題，應(yīng)認(rèn)真閱讀材料，讀懂題目所敘述

7、的實(shí)際問題的意義，接受題目所約定的臨時(shí)性定義是解決問題的關(guān)鍵。