高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥 函數(shù)模型及其應(yīng)用教材解讀

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1、“函數(shù)模型及其應(yīng)用”教材解讀1.幾類不同增長的函數(shù)模型：（1）一次函數(shù)模型：f(x)=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0)；（2）反比例函數(shù)模型：f(x)=(k,b為常數(shù),k≠0);(3)二次函數(shù)模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0);(4)指數(shù)函數(shù)模型：f(x)=abx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0,b>0,b≠1);(5)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：f(x)=mlogax+n(m,n,a為常數(shù)，a>0，a≠1),(6)冪函數(shù)模型：f(x)=axn+b(m,n,b為常數(shù)，a≠0，n≠1).注：學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)收集一些生活中普遍使用的函數(shù)模型（一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)

2、數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等）的實(shí)例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用.2.幾類函數(shù)模型增長差異：在區(qū)間（0，+∞）上，盡管函數(shù)y=ax(a>1),y=㏒ax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函數(shù)，但他們的增長速度不同，隨著x的增大，y=ax(a>1)的增長速度越來越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn(n>0)的增長速度，而且y=㏒ax(a>1)的增長速度則會(huì)越來越慢.因此，總會(huì)存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí)，就有㏒ax

3、始增長得較慢，隨后增長的速度越來越快；函數(shù)y=x2增長的速度也是越來越快，但越來越不如y=2x增長得快，函數(shù)y=2x和y=x2的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)（2，4）和（4，16）。在x∈（2，4）時(shí)，㏒2x<2x4時(shí)，總有㏒2x

4、實(shí)際上是完成從現(xiàn)實(shí)問題到數(shù)學(xué)模型，再從數(shù)學(xué)模型回到現(xiàn)實(shí)問題的不斷循環(huán)、不斷完善的過程，如圖所示：實(shí)際應(yīng)用（現(xiàn)實(shí)原型）數(shù)學(xué)問題（數(shù)學(xué)模型）實(shí)際解答（理論預(yù)期）數(shù)學(xué)模型解答　　　　　　　　　　　　　數(shù)學(xué)化　　　　　　　　　　　　　　驗(yàn)證　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求解　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　實(shí)際解釋數(shù)學(xué)化是指根據(jù)數(shù)學(xué)建模的目的和所具備的數(shù)據(jù)、圖表、過程、現(xiàn)象等各種信息，將現(xiàn)實(shí)問題翻譯轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)語言將其準(zhǔn)確地表示出來.求解是指利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)解題

5、策略，求出數(shù)學(xué)模型的解答.解釋是指把數(shù)學(xué)語言表述的解答翻譯轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實(shí)問題，給出實(shí)際問題的解答.驗(yàn)證是指用現(xiàn)實(shí)問題的各種信息檢驗(yàn)所得的實(shí)際問題的解答，以確認(rèn)解答的正確性和數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性.上圖直觀地顯示了現(xiàn)實(shí)問題和數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系，即數(shù)學(xué)模型是將現(xiàn)實(shí)問題的信息加以數(shù)學(xué)化的產(chǎn)物，熟悉模型來源于現(xiàn)實(shí)、有超越于現(xiàn)實(shí)，它用精確的語言揭示了現(xiàn)實(shí)問題的內(nèi)在特性。數(shù)學(xué)模型經(jīng)過求解，得到數(shù)學(xué)形式的解答，再經(jīng)過一次轉(zhuǎn)化到現(xiàn)實(shí)問題，給出現(xiàn)實(shí)問題的決策、預(yù)報(bào)、分析等結(jié)果，最后這些結(jié)果還要經(jīng)受實(shí)踐的檢驗(yàn)，完成由實(shí)踐到理論再到實(shí)踐這樣一個(gè)不斷循環(huán)、不斷完善的過程，如果檢驗(yàn)結(jié)果基本正確或者與實(shí)際情況

6、的擬合度非常高，就可以用來指導(dǎo)實(shí)踐，反之則應(yīng)重復(fù)上述過程重新建立模型或者修正模型.4.根據(jù)收集的數(shù)據(jù)直接去解決問題的過程：通過收集數(shù)據(jù)直接去解決問題的一般過程如下：第一步：收集數(shù)據(jù)；第二步：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出散點(diǎn)圖；第三步：根據(jù)點(diǎn)的分布特征，選擇一個(gè)能刻畫散點(diǎn)特征的函數(shù)模型；第四步：選擇其中的幾組數(shù)據(jù)求出函數(shù)模型；第五步：將已知數(shù)據(jù)代入所求的函數(shù)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否符合實(shí)際，若不符合實(shí)際，則重復(fù)第三、四、五步；如符合實(shí)際，則進(jìn)入下一步；第六步：用求得的函數(shù)模型去解決實(shí)際問題。舉例說明：根據(jù)下表給出的數(shù)據(jù)資料，確定該國人口增長規(guī)律，預(yù)測(cè)該國的人口數(shù).時(shí)

7、間（年份）人口數(shù)（百萬）18303.93018405.30918507.24118609.639187012.867188017.070189023.193190031.444時(shí)間(年份)191019201930194019501960197019801990人口數(shù)(百萬）38.55950.15662.94975.99691.973105.712122.712131.670142.698分析：這是一個(gè)確定人口增長模型的問題。一個(gè)國家的人口數(shù)與眾多因素有關(guān)。為使問題簡(jiǎn)化，我們作如下假設(shè)：（1）該國的政治、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)環(huán)境穩(wěn)定；（2