小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理（5）方程和函數(shù)思想

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1、小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理（五）課程教材研究所　王永春五、方程和函數(shù)思想1．方程和函數(shù)思想的概念。方程和函數(shù)是初等數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域的主要內(nèi)容，也是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具，它們都可以用來(lái)描述現(xiàn)實(shí)世界的各種數(shù)量關(guān)系，而且它們之間有著密切的聯(lián)系，因此，本文將二者放在一起進(jìn)行討論。(1)方程思想。含有未知數(shù)的等式叫方程。判斷一個(gè)式子是不是方程，只需要同時(shí)滿足兩個(gè)條件：一個(gè)是含有未知數(shù)，另一個(gè)是必須是等式。如有些小學(xué)老師經(jīng)常有疑問(wèn)的判斷題：χ=0和χ=1是不是方程？根據(jù)方程的定義，他們滿足方程的條件，都是方程。方程按照未知數(shù)的個(gè)數(shù)和未知數(shù)的最高次數(shù)，可以分為一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元

2、一次方程等等，這些都是初等數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域中最基本的內(nèi)容。方程思想的核心是將問(wèn)題中的未知量用數(shù)字以外的數(shù)學(xué)符號(hào)（常用χ、y等字母）表示，根據(jù)相關(guān)數(shù)量之間的相等關(guān)系構(gòu)建方程模型。方程思想體現(xiàn)了已知與未知的對(duì)立統(tǒng)一。(2)函數(shù)思想。設(shè)集合Ａ、Ｂ是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系?，如果對(duì)于集合Ａ中的任意一個(gè)數(shù)χ，在集合Ｂ中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱y是χ的函數(shù)，記作y＝f(χ)。其中χ叫做自變量，χ的取值范圍Ａ叫做函數(shù)的定義域；y叫做函數(shù)或因變量，與χ相對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，y的取值范圍Ｂ叫做值域。以上函數(shù)的定義是從初等數(shù)學(xué)的角度出發(fā)的，自變量只有一個(gè)，與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也

3、是唯一的。這樣的函數(shù)研究的是兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，一個(gè)變量的取值發(fā)生了變化，另一個(gè)變量的取值也相應(yīng)發(fā)生變化，中學(xué)里學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)都是這類函數(shù)。實(shí)際上現(xiàn)實(shí)生活中還有很多情況是一個(gè)變量會(huì)隨著幾個(gè)變量的變化而相應(yīng)地變化，這樣的函數(shù)是多元函數(shù)。雖然在中小學(xué)里不學(xué)習(xí)多元函數(shù)，但實(shí)際上它是存在的，如圓柱的體積與底面半徑r和圓柱的高的關(guān)系：Ｖ＝πr2h。半徑和高有一對(duì)取值，體積就會(huì)相應(yīng)地有一個(gè)取值；也就是說(shuō)，體積隨著半徑和高的變化而變化。函數(shù)思想的核心是事物的變量之間有一種依存關(guān)系，因變量隨著自變量的變化而變化，通過(guò)對(duì)這種變化的探究找出變

4、量之間的對(duì)應(yīng)法則，從而構(gòu)建函數(shù)模型。函數(shù)思想體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化的、普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)。2.方程和函數(shù)的關(guān)系。(1)方程和函數(shù)的區(qū)別。從小學(xué)數(shù)學(xué)到中學(xué)數(shù)學(xué)，數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域經(jīng)歷了從算術(shù)到方程再到函數(shù)的過(guò)程。算術(shù)研究具體的確定的常數(shù)以及它們之間的數(shù)量關(guān)系。方程研究確定的常數(shù)和未知的常數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系。函數(shù)研究變量之間的數(shù)量關(guān)系。方程和函數(shù)雖然都是表示數(shù)量關(guān)系的，但是它們有本質(zhì)的區(qū)別。如二元一次不定方程中的未知數(shù)往往是常量，而一次函數(shù)中的自變量和因變量一定是變量，因此二者有本質(zhì)的不同。方程必須有未知數(shù)，未知數(shù)往往是常量，而且一定用等式的形式呈現(xiàn)，二者缺一不可，如2χ－4＝6。而函數(shù)至少要有兩個(gè)變量，兩個(gè)

5、變量依據(jù)一定的法則相對(duì)應(yīng)，呈現(xiàn)的形式可以有解析式、圖象法和列表法等，如集合Ａ為大于等于1、小于等于10的整數(shù)，集合Ｂ為小于等于20的正偶數(shù)。那么兩個(gè)集合的數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用y＝2χ表示，也可以用圖象表示，還可以用如下的表格表示。χ12345678910y2468101214161820人們運(yùn)用方程思想，一般關(guān)注的是通過(guò)設(shè)未知數(shù)如何找出數(shù)量之間的相等關(guān)系構(gòu)建方程并求出方程的解，從而解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題。人們運(yùn)用函數(shù)思想，一般更加關(guān)注變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)構(gòu)建函數(shù)模型并研究函數(shù)的一些性質(zhì)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題。方程中的未知數(shù)往往是靜態(tài)的，而函數(shù)中的變量則是動(dòng)態(tài)的。方程已經(jīng)有300

6、0多年的歷史，而函數(shù)概念的產(chǎn)生不過(guò)才300年。(2)方程和函數(shù)的聯(lián)系。方程和函數(shù)雖然有本質(zhì)的區(qū)別，但是它們同屬代數(shù)領(lǐng)域，也有密切的聯(lián)系。如二元一次不定方程aχ＋by＋c＝0和一次函數(shù)y＝kχ＋b，如果方程的解在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，函數(shù)的定義域和值域都是實(shí)數(shù)。那么方程aχ＋by＋c＝0經(jīng)過(guò)變換可轉(zhuǎn)化為,它們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系里畫(huà)出來(lái)的圖象都是一條直線。因此，可以說(shuō)一個(gè)二元一次方程對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)。如果使一次函數(shù)y＝kχ＋b中的函數(shù)值等于0，那么一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為kχ＋b＝0，這就是一元一次方程。因此，可以說(shuō)求這個(gè)一元一次方程的解，實(shí)際上就是求使函數(shù)值為0的自變量的值，或者說(shuō)求一次函數(shù)圖象與χ軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

7、的值。一般地，就初等數(shù)學(xué)而言，如果令函數(shù)值為0，那么這個(gè)函數(shù)就可轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)未知數(shù)的方程；求方程的解，就是求使函數(shù)值為0的自變量的值，或者說(shuō)求函數(shù)圖象與χ軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值。3.方程和函數(shù)思想的重要意義。16世紀(jì)以前，人們主要是應(yīng)用算術(shù)和方程方法解決現(xiàn)實(shí)生活中的各種實(shí)際問(wèn)題，方程與算術(shù)相比，由于未知數(shù)參與了等量關(guān)系式的構(gòu)建，更加便于人們理解問(wèn)題、分析數(shù)量關(guān)系并構(gòu)建模型，因而方程在解決以常量為主的實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮了重要作用。到了17世紀(jì)，隨著社會(huì)