有限元算例二維傳熱問題

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1、一個最基本的有限元計算程序胡金山,朱青云,余治國(西安空軍工程大學(xué)工程學(xué)院,西安710038)我們在學(xué)習(xí)有限元課程時做的另一個作業(yè),用C/C++編程求解了一個簡單的有限元問題,可以作為有限元學(xué)習(xí)的編程實例,以更好地理解有限元理論,并為進一步使用大型有限元軟件打下基礎(chǔ)。本文所涉及的有限元基本理論請參考章本照先生編著的<<流體力學(xué)中的有限元方法>>,PP.156-165。源代碼下載:FemSrc.zip一.二維傳熱問題二.解題過程1、對結(jié)構(gòu)進行離散化,將待分析的結(jié)構(gòu)物從幾何上用線或面劃分為有限個單元,按結(jié)構(gòu)物的不同和分析要求,選取不同形

2、式的單元,在單元的邊界上設(shè)置節(jié)點,并書寫編號。計算節(jié)點坐標(biāo)2、單元分析:設(shè)法導(dǎo)出單元的結(jié)點位移和結(jié)點力之間的關(guān)系,建立單元剛度矩陣。單元剛度矩陣的計算:對于方程采用Galerkin弱解表達(dá)式(*)這里采用三節(jié)點的三角形單元,單元的基函數(shù)共有三個,選用插值多項式分別代入單元三個節(jié)點的坐標(biāo)可解得其中e單元中的近似函數(shù)為(**)將式(*)中的積分區(qū)域取為e單元的區(qū)域,并將單元中的近似函數(shù)表達(dá)式(**)代入,并注意到的任意性,可得記(***)(****)將單元基函數(shù)的具體表達(dá)式(*)代入(***)式中,可得通過等參變換(具體見文獻(xiàn)1第201

3、頁),可得這里指p為常數(shù)的情況,A為三角形單元的面積。這里g均為0,所以此項不用計算。3、整體分析(以求結(jié)點力為例)整體分析就是將各個單元組成結(jié)構(gòu)整體進行分析。整體分析的目的在于導(dǎo)出整個結(jié)構(gòu)結(jié)點位移與結(jié)點力之間的關(guān)系,建立整個結(jié)構(gòu)的剛度方程。分析步驟:首先按著一定的集成規(guī)則,將各單元剛度矩陣集合成結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣,并將單元等效結(jié)點荷載集合成整體等效結(jié)點荷載列陣;然后引入結(jié)構(gòu)的位移邊界條件,求解整體平衡方程組,得出基本未知量――結(jié)點位移列陣。4、用選定的算法語言編寫出程序(C/C++),調(diào)試程序調(diào)用高斯消元法解方程的出結(jié)果。附件程序F

4、em1.cpp計算了積分值,F(xiàn)em2.cpp則采用了面積坐標(biāo)下的插值函數(shù),積分值取為三角形面積的三分之一。兩者結(jié)果相同,但是后者更為通用,可以把程序用于其他形狀的二維區(qū)域的有限元計算,F(xiàn)em3.cpp計算了題2。三.單元網(wǎng)格劃分四邊形單元網(wǎng)格劃分單元網(wǎng)格劃分示意如圖1圖1計算結(jié)果結(jié)果數(shù)據(jù)可視化如圖2,3。它們是題1分別用Fem1.cpp程序和Fem2.cpp程序計算結(jié)果的Matlab數(shù)據(jù)可視化圖,它們表現(xiàn)的數(shù)據(jù)基本一致,觀察視點不同。圖4是題2的解。圖2圖3圖4利用此程序的基本框架,我們還成功地解算了三角形、橢圓形區(qū)域的有限元問題。

5、最后感謝我們的老師――在數(shù)學(xué)和計算上具有深厚功力的王旭教授,感謝他對我們的悉心指導(dǎo)和熱情鼓勵!參考文獻(xiàn):1.章本照.流體力學(xué)中的有限元方法[M].機械工業(yè)出版社,1986

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