高中數(shù)學(xué)解題方法之反證法

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1、反證法反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得。法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪(Hadamard)對反證法的實(shí)質(zhì)作過概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾”。具體地講，反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律

2、”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假。再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真。所以反證法

3、是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的。反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定→推理→否定”。即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應(yīng)用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論→推導(dǎo)出矛盾→結(jié)論成立。實(shí)施的具體步驟是：第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；第三步，結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。在應(yīng)用反證法證題時，一定要用到“反設(shè)”進(jìn)行推理，否則就不

4、是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧薄Ｒ话銇碇v，反證法常用來證明的題型有：命題的結(jié)論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結(jié)論更明顯。具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入

5、手進(jìn)行反面思考，問題可能解決得十分干脆。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1.已知函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則方程f(x)＝0______。A.至多一個實(shí)根B.至少一個實(shí)根C.一個實(shí)根D.無實(shí)根2.已知a<0,－1ab>abB.ab>ab>aC.ab>a>abD.ab>ab>a3.已知α∩β＝l，aα，bβ，若a、b為異面直線，則_____。A.a、b都與l相交B.a、b中至少一條與l相交C.a、b中至多有一條與l相交D.a、b都與l相交4.四面體頂

6、點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個，在其中取4個不共面的點(diǎn)，不同的取法有_____。(97年全國理)A.150種B.147種C.144種D.141種【簡解】1小題：從結(jié)論入手，假設(shè)四個選擇項(xiàng)逐一成立，導(dǎo)出其中三個與特例矛盾，選A；2小題：采用“特殊值法”，取a＝－1、b＝－0.5，選D；3小題：從逐一假設(shè)選擇項(xiàng)成立著手分析，選B；4小題：分析清楚結(jié)論的幾種情況，列式是：C－C×4－3－6,選D。SCAOBⅡ、示范性題組：例1.如圖，設(shè)SA、SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點(diǎn)。求證：AC與平面SO

7、B不垂直?！痉治觥拷Y(jié)論是“不垂直”，呈“否定性”，考慮使用反證法，即假設(shè)“垂直”后再導(dǎo)出矛盾后，再肯定“不垂直”?！咀C明】假設(shè)AC⊥平面SOB，∵直線SO在平面SOB內(nèi)，∴AC⊥SO，∵SO⊥底面圓O，∴SO⊥AB，∴SO⊥平面SAB，∴平面SAB∥底面圓O，這顯然出現(xiàn)矛盾，所以假設(shè)不成立。即AC與平面SOB不垂直?！咀ⅰ糠穸ㄐ缘膯栴}常用反證法。例如證明異面直線，可以假設(shè)共面，再把假設(shè)作為已知條件推導(dǎo)出矛盾。例2.若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0,x＋2ax－2a＝0至少有

8、一個方程有實(shí)根。試求實(shí)數(shù)a的取值范圍?！痉治觥咳齻€方程至少有一個方程有實(shí)根的反面情況僅有一種：三個方程均沒有實(shí)根。先求出反面情況時a的范圍，再所得范圍的補(bǔ)集就是正面情況的答案?！窘狻吭O(shè)三個方程均無實(shí)根，則有：,解得,即－