初中數(shù)學(xué)解題方法之反證法專題.doc

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1、反證法專題復(fù)習(xí)對于一個(gè)幾何命題，當(dāng)用直接證法比較困難時(shí)，則可采用間接證法，反證法就是一種間接證法，它不是直接去證明命題的結(jié)論成立，而是去證明命題結(jié)論的反面不能成立。從而推出命題的結(jié)論必然成立，它給我們提供了一種可供選擇的新的證題途徑，掌握這種方法，對于提高推理論證的能力、探索新知識(shí)的能力都是非常必要的。一真題鏈接1.用反證法證明：圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分。已知：如圖，在⊙O中，弦AB、CD交于點(diǎn)P，且AB、CD不是直徑.求證：弦AB、CD不被P平分.2.平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)，沒有三點(diǎn)共線，證明：以任意三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形不可能都是銳角

2、三角形3.平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)，沒有三點(diǎn)共線證明：以任意三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形不可能都是銳角三角形二名詞釋義反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論。反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于

3、；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個(gè)/一個(gè)也沒有；至少有n個(gè)/至多有(n一1)個(gè)；至多有一個(gè)/至少有兩個(gè)；唯一/至少有兩個(gè)。歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。例如：已知：是整數(shù)，2能整除。試證：2能整除①探究：問題實(shí)際上是在討論是奇數(shù)，還是偶數(shù)。已知中：說明是偶數(shù)，則，此時(shí)②反思：條件已用完，結(jié)論還不能明確得證，可

4、能結(jié)論自身有問題。③若結(jié)論有問題，則“2不能整除”應(yīng)該成立，此時(shí)會(huì)發(fā)生怎樣的情況，進(jìn)行推理引出反證法?？偨Y(jié)：在上題由“2不能整除”這個(gè)假設(shè)下，推理出了矛盾，肯定了原題的結(jié)論，從而說明了這種思想可以作為一種證明問題的方法，再通過問題2繼續(xù)認(rèn)識(shí)。三典型例題反證法的證題步驟：①假設(shè)。假設(shè)結(jié)論的反面成立，重點(diǎn)完成對假設(shè)的等價(jià)轉(zhuǎn)化②歸結(jié)矛盾。矛盾來源：與已知，定理，公理，已證，已作，矛盾。③否定假設(shè)，肯定結(jié)論。例1.求證：是無理數(shù)證明：假設(shè)不是無理數(shù)，即是有理數(shù)，那么它就可以表示成兩個(gè)整數(shù)之比，設(shè)且互素，則。所以，。---------①故是偶數(shù)，也必

5、然為偶數(shù)。不妨設(shè)，代入①式，則有，即，所以，也為偶數(shù)。和都是偶數(shù)，它們有公約數(shù)2，這與互素相矛盾。這樣，不是有理數(shù)，而是無理數(shù)。PMQcab例2.在同一平面內(nèi)，兩條直線都和直線垂直。求證：與平行。證明：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即“直線與相交”。不妨設(shè)直線的交點(diǎn)為,與的交點(diǎn)分別為,如圖所示，則.這樣，的內(nèi)角和這與定理“三角形的內(nèi)角和等于”相矛盾。說明假設(shè)不成立。所以，直線與不相交，即與平行。例3．已知：在四邊形ABCD中，M、N分別是AB、DC的中點(diǎn)，且MN＝（AD＋BC）。求證：AD∥BC證明：假設(shè)ADBC，連結(jié)ABD，并設(shè)P是BD的中點(diǎn)，再

6、連結(jié)MP、PN。在△ABD中　　　　　　　∵BM＝MA，BP＝PD　　　　　　　∴MPAD，同理可證PNBC　　　　　　　從而MP＋PN＝（AD＋BC）?、佟　　　　　　∵@時(shí)，BD的中點(diǎn)不在MN上　　　　　　　若不然，則由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC與假設(shè)ADBC矛盾，　　　　　　　于是M、P、N三點(diǎn)不共線?！　　　　　　亩鳰P＋PN＞MN?、凇　　　　　　∮散?、②得（AD＋BC）＞MN，這與已知條件MN＝（AD＋BC）　　　　　　　相矛盾，　　　　　　　故假設(shè)ADBC不成立，所以AD∥BC。解析：反證法是根據(jù)“正難則反”的原理，

7、即如果正面證明有困難時(shí)，或者直接證明需要分多種情況而反面只有一種情況時(shí)，可以考慮用反證法。反證法不僅在幾何中有著廣泛的應(yīng)用，而且在代數(shù)中也經(jīng)常出現(xiàn)。用反證法證明不等式就是最好的應(yīng)用。要證明不等式A＞B，先假設(shè)A≤B，然后根據(jù)題設(shè)及不等式的性質(zhì)，推出矛盾，從而否定假設(shè)。要證明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼，若正面難以找到解題的突破口，可轉(zhuǎn)換視角，用反證法往往立見奇效。四鞏固強(qiáng)化1.設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，求證：下列三個(gè)不等式①a＋b＜c＋d，②，③中至少有一個(gè)不正確。2.已知求證：。3.若

8、，求證：。4.設(shè)a，b，c均為小于1的正數(shù)，求證：，不能同時(shí)大于。5.若，，，求證：，不能同時(shí)大于1。6求證：三角形中至少有一個(gè)角不大于60°。7求證：一直線的垂線與斜線必相交。