實變函數(shù)論教學大綱

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1、實變函數(shù)論教學大綱(FunctionsofRealVariable)課程代碼218.114.1編寫時間課程名稱實變函數(shù)論英文名稱FunctionsofRealVariable學分數(shù)3周學時3+1任課教師*徐勝芝、黃昭波等開課院系**數(shù)學學院預(yù)修課程課程性質(zhì)：本課程是數(shù)學系基礎(chǔ)課，為數(shù)學系本科學生所必修?；疽蠛徒虒W目的：通過本課程的學習，學生應(yīng)熟練掌握關(guān)于可測集、可測函數(shù)的概念和性質(zhì)，深刻理解并掌握Lebesgue積分的理論，并在學習過程中形成抽象思維能力和邏輯推理能力的一個飛躍。課程基本內(nèi)容簡介：本課程主要是以n維Euclid空間及其上實值函數(shù)為

2、背景，運用點集分析的方法建立測度與積分的理論，具體內(nèi)容包括：集合、映射，Rn中點集的拓樸，可測集和可測函數(shù)，積分理論，微分和不定積分。教學方式:課堂講授+習題課訓練教材和教學參考資料：作者教材名稱出版社出版年月教材夏道行實變函數(shù)論與泛函分析（上冊）高等教育出版社1984自編講義實變函數(shù)與泛函分析參考資料那湯松實變函數(shù)論高等教育出版社1958HewittE.,StrombergK.RealandAbstractAnalysisSpringer-Verlag1975教學內(nèi)容安排：第一章集合和Rn中的點集（10學時）§1集和集的運算（2學時）§2映射和勢（

3、4學時）§3Rn中的點集（4學時）本章教學要求熟練掌握集合的代數(shù)運算和極限運算，能應(yīng)用Bernstein定理確定一些集合的勢，熟悉Rn的點集拓撲中關(guān)于開集、閉集、稠密與疏朗等基本概念。第二章測度（12學時）§1外測度與可測集（4學時）§2測度及其性質(zhì)（4學時）§3可測集類（4學時）本章教學要求：掌握外測度的概念，正確理解Caratheudory條件，熟練掌握測度及其性質(zhì)，熟悉一些重要的可測集類，理解不可測集的典型例子。第三章可測函數(shù)（10學時）§1可測函數(shù)及其基本性質(zhì)（4學時）§2可測函數(shù)列的收斂（4學時）§3Lebesgue可測函數(shù)的結(jié)構(gòu)（2學時）

4、本章教學要求：熟練掌握可測函數(shù)的概念及其基本性質(zhì)，正確理解并掌握可測函數(shù)列幾種不同收斂的概念，通過對本章中幾個基本定理證明過程的分析，深刻領(lǐng)會實分析中的點集分析方法。第四章積分（14學時）§1積分的基本概念及性質(zhì)（4學時）§2積分的極限定理（4學時）§3重積分和Fubini定理（4學時）§4一般集上的測度和積分簡介（2學時）本章教學要求：正確掌握積分的定義及其基本性質(zhì)，牢固掌握并能熟練應(yīng)用積分的Levi定理，F(xiàn)atou定理，Lebesgue控制收斂定理，掌握乘積測度和重積分的概念，熟練掌握Fubini定理，了解一般集上的測度和積分理論概要。第五章導(dǎo)數(shù)

5、與不定積分（8學時）§1有界變差函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（4學時）§2不定積分與全連續(xù)函數(shù)（4學時）本章教學要求：掌握有界變差函數(shù)與全連續(xù)函數(shù)的概念，掌握有界變差函數(shù)的可導(dǎo)性及其正規(guī)分解和Lebesgue分解，掌握Newton-Leibniz公式成立的充要條件。三、附注本課程可選擇采用兩種方案講授，其一是直接建立一般的測度和積分理論，以Lebesgue測度與積分作為特例；其二是著重介紹Lebesgue測度和積分理論，而后簡述一般測度論的結(jié)果，并引導(dǎo)有興趣的學生自行深入討論。作業(yè)和考核方式：閉卷筆試*如該門課為多位教師共同開設(shè)，請在教學內(nèi)容安排中注明。**考慮到有

6、時同一門課由不同院系的教師開設(shè)，請任課教師填寫此欄。