梯度、散度和旋度

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1、梯度、散度和旋度?(2011-09-1220:36:08)轉(zhuǎn)載▼標(biāo)簽：?旋度?散度?梯度?矢量場?拉普拉斯算子?波動方程分類：?電子技術(shù)???梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析”，因為三者是三種偏導(dǎo)數(shù)計算形式。這里假設(shè)讀者已經(jīng)了解了三者的定義。它們的符號分別記作如下：??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????從符號中可以獲得這樣的信息：①求梯度是針對一個標(biāo)量函數(shù)，求梯度的結(jié)果是得到一個矢量函數(shù)。這里

2、φ稱為勢函數(shù)；②求散度則是針對一個矢量函數(shù)，得到的結(jié)果是一個標(biāo)量函數(shù)，跟求梯度是反一下的；③求旋度是針對一個矢量函數(shù)，得到的還是一個矢量函數(shù)。這三種關(guān)系可以從定義式很直觀地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以連續(xù)作用兩次，而一維波動方程具有如下的形式???????????????????????????????(1)其中a為一實數(shù)，于是可以設(shè)想，對于一個矢量函數(shù)來說，要求得它的波動方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。下面先給出梯度、散度和旋度的計算式：??????????????????????

3、???(2)??????????????????????????(3)???????????????????????????(4)旋度公式略顯復(fù)雜。這里結(jié)合麥克斯韋電磁場理論，來討論前面幾個“X度的X度”。?I.梯度的散度：根據(jù)麥克斯韋方程有：??????????????????????????????????而??????????????????????????????????(5)則電勢的梯度的散度為????????????????????????????這是一個三維空間上的標(biāo)量函數(shù)，常記作?????????????????????????????????(6)稱為

4、泊松方程，而算符▽2稱為拉普拉斯算符。事實上因為定義????????????????????????????????所以有???????????????????????????????當(dāng)然，這只是一種記憶方式。當(dāng)空間內(nèi)無電荷分布時，即ρ=0，則稱為拉普拉斯方程??????????????????????????????????????當(dāng)我們僅需要考慮一維情況時，比如電荷均勻分布的無限大平行板電容器之間（不包含極板）的電場，我們知道該電場只有一個指向，場強(qiáng)處處相等，于是該電場滿足一維拉普拉斯方程，即?????????????????????????????????????

5、這就是說如果那邊平行板電容器的負(fù)極板接地，則板間一點處的電壓與該點距負(fù)極板的距離呈線性關(guān)系。?II.散度的梯度：散度的梯度，從上面的公式中可以看到結(jié)果會比較復(fù)雜，但是它的物理意義卻是很明確的，因為從麥克斯韋方程可以看出空間某點處電場的散度是該點處的電荷密度，那么再求梯度就是空間中電荷密度的梯度。這就好比說清水中滴入一滴紅墨水，起初水面紅色濃度最高，杯底濃度最低，這樣水面與杯底形成一個濃度梯度，紅墨水由水面向杯底擴(kuò)散，最后均勻。在半導(dǎo)體中，載流子分布的不均勻會導(dǎo)致擴(kuò)散電流。散度的梯度這個概念其實不常用，因為計算復(fù)雜，但在后面講用它來推導(dǎo)一個矢量恒等式。?III.梯度的旋度

6、：對于梯度的旋度，直接把(2)式代入(4)式中，有由于勢函數(shù)在空間一點的領(lǐng)域內(nèi)往往是有二階連續(xù)混合偏導(dǎo)數(shù)的，因此上式的結(jié)果為0.所以說梯度的旋度為零，它的物理意義也是很明確的。比如一個人從海平面爬到一座山上，無論它是從山的陡坡爬上去還是從緩坡爬上去，亦或者坐直升機(jī)上去，重力對他所做的功總是相等的，即力場的做工只與位移有關(guān)，而與路徑無關(guān)，這樣的場稱為保守場，而保守場是無旋場。再比如繪有等高線的地圖，如果某點只有一個一根等高線穿過，那么該點有一個確定的相對高度。如果該點有兩條或以上的等高線穿過，則這個點處在懸崖邊上，這個點處是不可微，也就沒有求梯度的意義。?IV.旋度的散度

7、：求旋度的散度也是將(4)式代入(3)式即可。若令????????????????????????????(7)則??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????從而?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????將上面三式相加結(jié)果也為零。所以說旋度