第9講：數(shù)學(xué)解題方法之待定系數(shù)法探討

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1、【備戰(zhàn)2013高考數(shù)學(xué)專題講座】第9講：數(shù)學(xué)解題方法之待定系數(shù)法探討江蘇泰州錦元數(shù)學(xué)工作室編輯3～8講，我們對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了探討，從本講開(kāi)始我們對(duì)數(shù)學(xué)解題方法進(jìn)行探討。數(shù)學(xué)問(wèn)題中，常用的數(shù)學(xué)解題方法有待定系數(shù)法、配方法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法等。在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，若得知所求結(jié)果具有某種確定的形式，則可設(shè)定一些尚待確定的系數(shù)(或參數(shù))來(lái)表示這樣的結(jié)果，這些待確定的系數(shù)(或參數(shù))，稱作待定系數(shù)。然后根據(jù)已知條件，選用恰當(dāng)?shù)姆椒?，?lái)確定這些系數(shù)，這種解決問(wèn)題的方法叫待定系數(shù)法。待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的基本方法之一。它滲透于高中數(shù)學(xué)教

2、材的各個(gè)部分，在全國(guó)各地高考中有著廣泛應(yīng)用。應(yīng)用待定系數(shù)法解題以多項(xiàng)式的恒等知識(shí)為理論基礎(chǔ)，通常有三種方法：比較系數(shù)法；代入特殊值法；消除待定系數(shù)法。比較系數(shù)法通過(guò)比較等式兩端項(xiàng)的系數(shù)而得到方程（組），從而使問(wèn)題獲解。例如：“設(shè)，的反函數(shù)，那么的值依次為　　▲　　”，解答此題，并不困難，只需先將化為反函數(shù)形式，與中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)加以比較后，就可得到關(guān)于的方程組，從而求得值。這里的就是有待于確定的系數(shù)。代入特殊值法通過(guò)代入特殊值而得到方程（組），從而使問(wèn)題獲解。例如：“與直線L：平行且過(guò)點(diǎn)A(1,-4)的直線L’的方程是　　▲　　

3、”，解答此題，只需設(shè)定直線L’的方程為，將A(1,-4)代入即可得到k的值，從而求得直線L’的方程。這里的k就是有待于確定的系數(shù)。消除待定系數(shù)法通過(guò)設(shè)定待定參數(shù)，把相關(guān)變量用它表示，代入所求，從而使問(wèn)題獲解。例如：“已知，求的值”，解答此題，只需設(shè)定，則，代入即可求解。這里的k就是消除的待定參數(shù)。應(yīng)用待定系數(shù)法解題的一般步驟是：（1）確定所求問(wèn)題的待定系數(shù)，建立條件與結(jié)果含有待定的系數(shù)的恒等式；（2）根據(jù)恒等式列出含有待定的系數(shù)的方程（組）；（3）解方程（組）或消去待定系數(shù)，從而使問(wèn)題得到解決。結(jié)合2012年全國(guó)各地高考的實(shí)例

4、，我們從下面四方面探討待定系數(shù)法的應(yīng)用：（1）待定系數(shù)法在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用；（2）待定系數(shù)法在圓錐曲線問(wèn)題中的應(yīng)用；（3）待定系數(shù)法在三角函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用；（4）待定系數(shù)法在數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用。一、待定系數(shù)法在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用：典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1.（2012年浙江省理4分）若將函數(shù)表示為，其中，，，…，為實(shí)數(shù)，則▲．【答案】10?！究键c(diǎn)】二項(xiàng)式定理，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?！窘馕觥俊∮枚?xiàng)式定理，由等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得?；?qū)Φ仁剑簝蛇呥B續(xù)對(duì)x求導(dǎo)三次得：，再運(yùn)用特殊元素法，令得：，即。例2.（2012年山東

5、省文4分）若函數(shù)在［－1，2］上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)在上是增函數(shù)，則a＝▲.【答案】?！究键c(diǎn)】函數(shù)的增減性。【解析】∵，∴。當(dāng)時(shí)，∵，函數(shù)是增函數(shù)，∴在［－1，2］上的最大值為，最小值為。此時(shí)，它在上是減函數(shù)，與題設(shè)不符。當(dāng)時(shí)，∵，函數(shù)是減函數(shù)，∴在［－1，2］上的最大值為，最小值為。此時(shí)，它在上是增函數(shù)，符合題意。綜上所述，滿足條件的?！±?.（2012年江蘇省5分）設(shè)是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上，其中．若，則的值為▲．【答案】?！究键c(diǎn)】周期函數(shù)的性質(zhì)?！窘馕觥俊呤嵌x在上且周期為2的函數(shù)，∴，即①。又∵

6、，，∴②。聯(lián)立①②，解得，。∴。例4.（2012年全國(guó)大綱卷文12分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，若過(guò)兩點(diǎn)，的直線與軸的交點(diǎn)在曲線上，求的值．【答案】解：（1）∵，∴①當(dāng)時(shí)，，且僅當(dāng)時(shí)。∴是增函數(shù)。②當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根。列表如下：的增減性＞0增函數(shù)＜減函數(shù)＞0增函數(shù)（2）由題設(shè)知，，是的兩個(gè)根，∴，且?！唷Ｍ?，。∴直線的解析式為。設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，則，解得。代入得，∵在軸上，∴，解得，或或?！究键c(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性和極值，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?！窘馕觥浚?）求出導(dǎo)函數(shù)，分區(qū)間討論即可。（2）由，是的兩個(gè)根和（1）的

7、結(jié)論，得，求出關(guān)于的表達(dá)式和關(guān)于的表達(dá)式，從而得到直線的解析式。求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入，由其等于0，求出的值。例5.（2012年全國(guó)課標(biāo)卷文5分）設(shè)函數(shù)(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間(Ⅱ)若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，，求k的最大值【答案】解：(Ｉ)f(x)的的定義域?yàn)?，。若，則，∴在上單調(diào)遞增。若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。(Ⅱ)∵a=1，∴?！喈?dāng)x>0時(shí)，，它等價(jià)于。令，則。由(Ｉ)知，函數(shù)在上單調(diào)遞增?！?，，∴在上存在唯一的零點(diǎn)?！嘣谏洗嬖谖ㄒ坏牧泓c(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為，則。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，?！嘣谏系淖钚≈禐椤Ｓ帧?，即

8、，∴。因此，即整數(shù)k的最大值為2?！究键c(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?！窘馕觥?Ｉ)分和討論的單調(diào)區(qū)間即可。(Ⅱ)由于當(dāng)x>0時(shí)，等價(jià)于，令，求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)情況求出整數(shù)k的最大值。二、待定系數(shù)法在圓錐曲線問(wèn)題中的應(yīng)用：典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1