第10講數(shù)學(xué)解題方法之配方法探討

《第10講數(shù)學(xué)解題方法之配方法探討》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。

1、【備戰(zhàn)2013高考數(shù)學(xué)專題講座】第10講：數(shù)學(xué)解題方法之配方法探討江蘇泰州錦元數(shù)學(xué)工作室編輯3～8講，我們對數(shù)學(xué)思想方法進行了探討，從本講開始我們對數(shù)學(xué)解題方法進行探討。數(shù)學(xué)問題中，常用的數(shù)學(xué)解題方法有待定系數(shù)法、配方法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法等。配方法是對數(shù)學(xué)式子進行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。如何配方，需要我們根據(jù)題目的要求，合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，完成配方。最常見的配方是進行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解等問題。

2、配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式，如：；；；結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：；。結(jié)合2012年全國各地高考的實例探討配方法的應(yīng)用：典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1.（2012年江蘇省5分）已知函數(shù)的值域為，若關(guān)于x的不等式的解集為，則實數(shù)c的值為▲．【答案】9?！究键c】函數(shù)的值域，不等式的解集?！窘馕觥坑芍涤驗?，當時有，即，∴?！嘟獾?，。∵不等式的解集為，∴，解得。例2.（2012年全國大綱卷理5分）已知為第二象限角，，則【】A．B．C．D．【答案】A?！究键c】兩角和差的公式以及二倍角公式的運用。

3、【解析】首先利用平方法得到二倍角的正弦值，然后然后利用二倍角的余弦公式，將所求的轉(zhuǎn)化為單角的正弦值和余弦值的問題：∵，∴兩邊平方，得，即?！邽榈诙笙藿?，∴因此?！?。∴。故選A。例3.（2012年湖北省理5分）如圖，雙曲線的兩頂點為，虛軸兩端點為，兩焦點為。若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，切點分別為A，B，C，D。則（Ⅰ）雙曲線的離心率e=▲；（Ⅱ）菱形的面積與矩形的面積的比值▲?！敬鸢浮浚á瘢唬á颍??！究键c】雙曲線的離心率及實軸虛軸的相關(guān)定義，一般平面幾何圖形的面積計算?！窘馕觥浚á瘢┯梢阎獾?。（Ⅱ）由已知得，又直線的方程為，而直線的方程為，聯(lián)立解得，∴，。例4.（2012年上海市理14分

4、）海事救援船對一艘失事船進行定位：以失事船的當前位置為原點，以正北方向為軸正方向建立平面直角坐標系（以1海里為單位長度），則救援船恰在失事船的正南方向12海里A處，如圖.現(xiàn)假設(shè)：①失事船的移動路徑可視為拋物線；②定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；③救援船出發(fā)小時后，失事船所在位置的橫坐標為7.（1）當時，寫出失事船所在位置P的縱坐標.若此時兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）【答案】解：（1）時，P的橫坐標，代入拋物線方程得P的縱坐標?！逜（0，12），∴?！嗑仍俣鹊拇笮楹＠?時。由tan∠OAP=，得，∴救援船速

5、度的方向為北偏東弧度。（2）設(shè)救援船的時速為海里，經(jīng)過小時追上失事船，此時位置為。由，整理得?！弋敿?1時最小，即。∴救援船的時速至少是25海里才能追上失事船?！究键c】曲線與坐標?！窘馕觥浚?）求出A點和P點坐標即可求出。（2）求出時速關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式求出極值。例5.（2012年廣東省理14分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1：的離心率，且橢圓C上的點到Q（0，2）的距離的最大值為3.（1）求橢圓C的方程；（2）在橢圓C上，是否存在點M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及相對應(yīng)的△OAB的面

6、積；若不存在，請說明理由?！敬鸢浮拷猓海?）∵，∴可設(shè)?！啵蕶E圓C的方程為。設(shè)為橢圓上的任一點，則?！撸喈敃r，取得最大值，即取得最大值。又∵橢圓C上的點到Q（0，2）的距離的最大值為3，∴，解得?！嗨蟮臋E圓C方程為。（2）假設(shè)點M（m，n）存在，則，即圓心O到直線的距離?！?。∵∴（當且僅當，即時取等號）。解得，即或或或?！嗨簏cM的坐標為，對應(yīng)的△OAB的面積為?！究键c】橢圓的性質(zhì)，兩點間的距離公式，二次函數(shù)的最大值，基本不等式的應(yīng)用?！窘馕觥浚?）由可得橢圓C的方程為，設(shè)設(shè)為橢圓上的任一點，求出的表達式，一方面由二次函數(shù)的最大值原理得的最大值，另一方面由已知橢圓C上的點到Q（0，2）

7、的距離的最大值為3列式求出，從而得到橢圓C的方程。（2）假設(shè)點M（m，n）存在，求出的表達式，應(yīng)用基本不等式求得△OAB的面積最大時m，n的值和對應(yīng)的△OAB的面積。例6.（2012年山東省文13分）如圖，橢圓M：的離心率為，直線和所圍成的矩形ABCD的面積為8.(Ⅰ)求橢圓M的標準方程；(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓M有兩個不同的交點P，Q，與矩形ABCD有兩個不同的交點S，T.求的最大值及取得最大值時m的值.【答案】