魔方的數(shù)學(xué)研究

魔方的數(shù)學(xué)研究

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1、魔方的數(shù)學(xué)研究魔方變幻驚人的天文數(shù)字  魔方有多少種可以達(dá)到的狀態(tài)?答案是43252003274489856000約4000億億?! ∷惴ǎ?個角方塊排列在8個位置,12個棱方塊排列在12個位置,共有8!×12!種。又每個棱方塊有2個朝向,每個角方塊有3個朝向,共3×2種。因此魔方的狀態(tài)數(shù)是8!×12!×3×2=519024039293878272000種,51902億億以上。  但在20個方塊中,18個位置確定,另外2個位置也就確定了。因此要去掉因子2!。在8個角方塊中,7個朝向確定,第8個朝向也就確定了;在

2、12個棱方塊中,11個朝向確定,第12個朝向也就確定了。這樣要再去掉3×2因子,實際是上面數(shù)的1/12,即總數(shù)8!×12!×3×2/2=43252003274489856000.  從另一個角度考慮上面的除數(shù)12.如果我們確定了6種顏色,每種顏色涂在魔方的1個表面上的9個小方塊上。然后然后我們拆開魔方,再打亂了重新拼裝起來,那么并不是所得到的每個魔方都能還原為初始狀態(tài)。具體說,有519024039293878272000種拼法,可以分為12類,每類43252003274489856000種。同類里任何兩個狀態(tài)可以

3、相互轉(zhuǎn)換,而不同類間不能轉(zhuǎn)換。魔方動作的群論表示舉例  面對右面,看到右面一層如下左圖,轉(zhuǎn)動Y3后如右圖,就可得出各塊的變動?! ☆愃品治鯶3,  二者復(fù)合為  其中對角方塊,右上角的正號表示此塊順時針轉(zhuǎn)2π/3,負(fù)號表示反時針轉(zhuǎn)。對棱方塊表示有一個方向的翻轉(zhuǎn)。上面分析說明,經(jīng)過Y3,Z3兩個轉(zhuǎn)動,上右前角塊回到原地,但順時針轉(zhuǎn)了2π/3,還有5個角方塊做了一個輪換,各反時針轉(zhuǎn)了2π/3,或說順時針轉(zhuǎn)了4π/3,7個棱方塊做了一個輪換?! ∵@樣,可以看出,  如果把動作Y3*Z3連續(xù)做3次,那么上右前角方塊會回到原

4、來位置,且轉(zhuǎn)了6π/3,即沒有轉(zhuǎn)動?! ∪绻褎幼鱕3*Z3連續(xù)做5次,那5個角方塊都會回到原來位置,但都轉(zhuǎn)了10π/3,或4π/3,即反時針轉(zhuǎn)2π/3.  如果把動作Y3*Z3連續(xù)做7次,那7個棱方塊都會回到原來位置,且沒有轉(zhuǎn)動?! ∥覀冇媚Х诫娔X游戲可以輕易的驗證這些結(jié)論?! ∮眠@種方法,我們只要給出9個基本動作X1,X2,X3,Y1,Y2,Y3,Z1,Z2,Z3,就可以求出它們的逆動作X1’,X2’,X3’,Y1’,Y2’,Y3’,Z1’,Z2’,Z3’,在通過計算求出任何若干次動作的結(jié)果。我們已經(jīng)不需要具體

5、的魔方,只要由計算就可以表現(xiàn)魔方的轉(zhuǎn)動?! 》催^來,如果知道魔方的狀態(tài),能否找到復(fù)原的方法?也就是把現(xiàn)在狀態(tài)分解為基本動作的復(fù)合,這是個計算問題,相當(dāng)于把一個矩陣分解為某些特定矩陣的積。如果能解決這個問題并很快給出答案,就完全解決了魔方的復(fù)原問題。解決魔方的記錄  利用群論可以給出魔方解法。理論上,解決魔方的步數(shù)可能最多只需要22或23步。實際上,英國一位魔方大師利用群論求出的解法最多只要52步。100步以下就是很好的解法。一般人玩,恢復(fù)魔方需要數(shù)百步?! ?005年2月2日的世界魔方比賽中,ShotaroMaki

6、snmi奪得冠軍,成績秒;LeyanLo和FrankMorris并列第二名,時間同為15秒;ChunHeiWong第四名,秒。

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