全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題與答案解析

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1、中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題一、選擇題（共5小題，每小題6分，共30分.）1（甲）．如果實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么代數(shù)式可以化簡(jiǎn)為（）．（A）（B）（C）（D）a1（乙）．如果，那么的值為（）．（A）（B）（C）2（D）2（甲）．如果正比例函數(shù)y=ax（a≠0）與反比例函數(shù)y=（b≠0）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，－2），那么另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）2（乙）．在平面直角坐標(biāo)系中，滿足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整數(shù)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）的個(gè)數(shù)為（

2、）．（A）10（B）9（C）7（D）53（甲）．如果為給定的實(shí)數(shù)，且，那么這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對(duì)值是（）．（A）1（B）（C）（D）3（乙）．如圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線，△ABC是等邊三角形．，AD=3，BD=5，則CD的長(zhǎng)為（）．（A）（B）4（C）（D）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣．小倩對(duì)小玲說(shuō)：“你若給我2元，我的錢數(shù)將是你的n倍”；小玲對(duì)小倩說(shuō)：“你若給我n元，我的錢數(shù)將是你的2倍”，其中n為正整數(shù)，則n的可能值的個(gè)數(shù)是（）．（A）1（B）2（C）3（D）44（乙）．如果關(guān)于x的方程是正整數(shù)）的正根小

3、于3，那么這樣的方程的個(gè)數(shù)是（）．（A）5（B）6（C）7（D）85（甲）．一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6．?dāng)S兩次骰子，設(shè)其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字之和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的概率為，則中最大的是（）．（A）（B）（C）（D）5（乙）．黑板上寫有共100個(gè)數(shù)字．每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2個(gè)數(shù)，然后刪去，并在黑板上寫上數(shù)，則經(jīng)過(guò)99次操作后，黑板上剩下的數(shù)是（）．（A）2012（B）101（C）100（D）99二、填空題（共5小題，每小題6分，共30分）6（甲）．按如圖的程序進(jìn)行操作，規(guī)定：程序運(yùn)行從“輸入一個(gè)值x”到“結(jié)

4、果是否>487？”為一次操作.如果操作進(jìn)行四次才停止，那么x的取值范圍是.6（乙）.如果a，b，c是正數(shù)，且滿足，，那么的值為．7（甲）．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，AF與DE，DB分別交于點(diǎn)M，N，則△DMN的面積是.7（乙）.如圖所示，點(diǎn)A在半徑為20的圓O上，以O(shè)A為一條對(duì)角線作矩形OBAC，設(shè)直線BC交圓O于D、E兩點(diǎn)，若，則線段CE、BD的長(zhǎng)度差是。8（甲）.如果關(guān)于x的方程x2+kx+k2－3k+=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，那么的值為．8（乙）．設(shè)為整數(shù)，且1≤n≤2012.若能被5整除，則所有的個(gè)數(shù)為.9（甲）.2位八年級(jí)

5、同學(xué)和m位九年級(jí)同學(xué)一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此恰好比賽一場(chǎng)．記分規(guī)則是：每場(chǎng)比賽勝者得3分，負(fù)者得0分；平局各得1分.比賽結(jié)束后，所有同學(xué)的得分總和為130分，而且平局?jǐn)?shù)不超過(guò)比賽局?jǐn)?shù)的一半，則m的值為.9（乙）．如果正數(shù)x，y，z可以是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，那么稱是三角形數(shù)．若和均為三角形數(shù)，且a≤b≤c，則的取值范圍是.10（甲）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，AD=DC.分別延長(zhǎng)BA，CD，交點(diǎn)為E.作BF⊥EC，并與EC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.若AE=AO，BC=6，則CF的長(zhǎng)為.10（乙）．已知是偶數(shù)，且1≤≤100．若有唯一的正整

6、數(shù)對(duì)使得成立，則這樣的的個(gè)數(shù)為．三、解答題（共4題，每題15分，共60分）11（甲）．已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有；關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和小于．求的取值范圍．11（乙）.如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B、C分別在x軸正、負(fù)半軸上，。點(diǎn)D在線段AB上，連結(jié)CD交y軸于點(diǎn)E，且。試求圖像經(jīng)過(guò)B、C、E三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式。12（甲）.如圖，⊙O的直徑為，過(guò)點(diǎn)，且與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)．為⊙O上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且．點(diǎn)在上，且，BE的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，求證：△BOC∽△．12（乙）．如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC，BD是它的對(duì)角線，AC的中點(diǎn)I是

7、△ABD的內(nèi)心.求證：（1）OI是△IBD的外接圓的切線；（2）AB+AD=2BD.13（甲）.已知整數(shù)a，b滿足：a－b是素?cái)?shù)，且ab是完全平方數(shù).當(dāng)2012時(shí)，求a的最小值.13（乙）．給定一個(gè)正整數(shù)，凸邊形中最多有多少個(gè)內(nèi)角等于？并說(shuō)明理由．14（甲）.求所有正整數(shù)n，使得存在正整數(shù)，滿足，且.14（乙）．將，，…，（n≥2）任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù)（可以相同），使得，求的最小值．參考解答一、選擇題1(甲).C解：由實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置可知，且，所以．1（乙）．B解：．2（甲）．D解：利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及