全國初中數學競賽試題與答案解析

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1、中國教育學會中學數學教學專業(yè)委員會全國初中數學競賽試題一、選擇題（共5小題，每小題6分，共30分.）1（甲）．如果實數a，b，c在數軸上的位置如圖所示，那么代數式可以化簡為（）．（A）（B）（C）（D）a1（乙）．如果，那么的值為（）．（A）（B）（C）2（D）2（甲）．如果正比例函數y=ax（a≠0）與反比例函數y=（b≠0）的圖象有兩個交點，其中一個交點的坐標為（－3，－2），那么另一個交點的坐標為（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）2（乙）．在平面直角坐標系中，滿足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整數點坐標（x，y）的個數為（

2、）．（A）10（B）9（C）7（D）53（甲）．如果為給定的實數，且，那么這四個數據的平均數與中位數之差的絕對值是（）．（A）1（B）（C）（D）3（乙）．如圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，△ABC是等邊三角形．，AD=3，BD=5，則CD的長為（）．（A）（B）4（C）（D）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值為整數元的人民幣．小倩對小玲說：“你若給我2元，我的錢數將是你的n倍”；小玲對小倩說：“你若給我n元，我的錢數將是你的2倍”，其中n為正整數，則n的可能值的個數是（）．（A）1（B）2（C）3（D）44（乙）．如果關于x的方程是正整數）的正根小

3、于3，那么這樣的方程的個數是（）．（A）5（B）6（C）7（D）85（甲）．一枚質地均勻的正方體骰子的六個面上的數字分別是1，2，3，4，5，6．擲兩次骰子，設其朝上的面上的兩個數字之和除以4的余數分別是0，1，2，3的概率為，則中最大的是（）．（A）（B）（C）（D）5（乙）．黑板上寫有共100個數字．每次操作先從黑板上的數中選取2個數，然后刪去，并在黑板上寫上數，則經過99次操作后，黑板上剩下的數是（）．（A）2012（B）101（C）100（D）99二、填空題（共5小題，每小題6分，共30分）6（甲）．按如圖的程序進行操作，規(guī)定：程序運行從“輸入一個值x”到“結

4、果是否>487？”為一次操作.如果操作進行四次才停止，那么x的取值范圍是.6（乙）.如果a，b，c是正數，且滿足，，那么的值為．7（甲）．如圖，正方形ABCD的邊長為2，E，F分別是AB，BC的中點，AF與DE，DB分別交于點M，N，則△DMN的面積是.7（乙）.如圖所示，點A在半徑為20的圓O上，以OA為一條對角線作矩形OBAC，設直線BC交圓O于D、E兩點，若，則線段CE、BD的長度差是。8（甲）.如果關于x的方程x2+kx+k2－3k+=0的兩個實數根分別為，，那么的值為．8（乙）．設為整數，且1≤n≤2012.若能被5整除，則所有的個數為.9（甲）.2位八年級

5、同學和m位九年級同學一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此恰好比賽一場．記分規(guī)則是：每場比賽勝者得3分，負者得0分；平局各得1分.比賽結束后，所有同學的得分總和為130分，而且平局數不超過比賽局數的一半，則m的值為.9（乙）．如果正數x，y，z可以是一個三角形的三邊長，那么稱是三角形數．若和均為三角形數，且a≤b≤c，則的取值范圍是.10（甲）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是直徑，AD=DC.分別延長BA，CD，交點為E.作BF⊥EC，并與EC的延長線交于點F.若AE=AO，BC=6，則CF的長為.10（乙）．已知是偶數，且1≤≤100．若有唯一的正整

6、數對使得成立，則這樣的的個數為．三、解答題（共4題，每題15分，共60分）11（甲）．已知二次函數，當時，恒有；關于x的方程的兩個實數根的倒數和小于．求的取值范圍．11（乙）.如圖所示，在直角坐標系xOy中，點A在y軸負半軸上，點B、C分別在x軸正、負半軸上，。點D在線段AB上，連結CD交y軸于點E，且。試求圖像經過B、C、E三點的二次函數的解析式。12（甲）.如圖，⊙O的直徑為，過點，且與⊙O內切于點．為⊙O上的點，與交于點，且．點在上，且，BE的延長線與交于點，求證：△BOC∽△．12（乙）．如圖，⊙O的內接四邊形ABCD中，AC，BD是它的對角線，AC的中點I是

7、△ABD的內心.求證：（1）OI是△IBD的外接圓的切線；（2）AB+AD=2BD.13（甲）.已知整數a，b滿足：a－b是素數，且ab是完全平方數.當2012時，求a的最小值.13（乙）．給定一個正整數，凸邊形中最多有多少個內角等于？并說明理由．14（甲）.求所有正整數n，使得存在正整數，滿足，且.14（乙）．將，，…，（n≥2）任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數（可以相同），使得，求的最小值．參考解答一、選擇題1(甲).C解：由實數a，b，c在數軸上的位置可知，且，所以．1（乙）．B解：．2（甲）．D解：利用正比例函數與反比例函數的圖象及