橢圓各類題型分類匯總

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1、橢圓經(jīng)典例題分類匯總1.橢圓第一定義的應(yīng)用例1橢圓的一個頂點為，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程．例2已知橢圓的離心率，求的值．例3已知方程表示橢圓，求的取值范圍．例4已知表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍．例5已知動圓過定點，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程．212.焦半徑及焦三角的應(yīng)用例1已知橢圓，、為兩焦點，問能否在橢圓上找一點，使到左準線的距離是與的等比中項？若存在，則求出點的坐標；若不存在，請說明理由．例2已知橢圓方程，長軸端點為，，焦點為，，是橢圓上一點，，．求：的面積（用、、表示）．3.第二定義應(yīng)用例1橢圓的右焦點為，過點

2、，點在橢圓上，當(dāng)為最小值時，求點的坐標．21例2已知橢圓上一點到右焦點的距離為，求到左準線的距離．例3　已知橢圓內(nèi)有一點，、分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上一點．(1)　求的最大值、最小值及對應(yīng)的點坐標；(2)　求的最小值及對應(yīng)的點的坐標．4.參數(shù)方程應(yīng)用例1求橢圓上的點到直線的距離的最小值．21例2　(1)寫出橢圓的參數(shù)方程；(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積．例3　橢圓與軸正向交于點，若這個橢圓上總存在點，使(為坐標原點)，求其離心率的取值范圍．5.相交情況下--弦長公式的應(yīng)用例1已知橢圓及直線．（1）當(dāng)為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得

3、的弦長為，求直線的方程．21例2已知長軸為12，短軸長為6，焦點在軸上的橢圓，過它對的左焦點作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點，求弦的長．6.相交情況下—點差法的應(yīng)用例1已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓與直線交于、兩點，為中點，的斜率為0.25，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程．例2已知橢圓，求過點且被平分的弦所在的直線方程．21例3已知橢圓，（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點、，為原點，且有直線、斜率滿足，求線段中點的軌跡方程．例4已知橢圓，試確定的

4、取值范圍，使得對于直線，橢圓上有不同的兩點關(guān)于該直線對稱．例5已知是直線被橢圓所截得的線段的中點，求直線的方程．21橢圓經(jīng)典例題分類匯總1.橢圓第一定義的應(yīng)用例1橢圓的一個頂點為，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程．分析：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置．解：（1）當(dāng)為長軸端點時，，，橢圓的標準方程為：；（2）當(dāng)為短軸端點時，，，橢圓的標準方程為：；說明：橢圓的標準方程有兩個，給出一個頂點的坐標和對稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況．例2已知橢圓的離心率，求的值．分析：分兩種情況進行討論．解：當(dāng)橢圓的焦點在軸上時，，，得．由，

5、得．當(dāng)橢圓的焦點在軸上時，，，得．由，得，即．∴滿足條件的或．說明：本題易出現(xiàn)漏解．排除錯誤的辦法是：因為與9的大小關(guān)系不定，所以橢圓的焦點可能在軸上，也可能在軸上．故必須進行討論．例2已知方程表示橢圓，求的取值范圍．解：由得，且．∴滿足條件的的取值范圍是，且．21說明：本題易出現(xiàn)如下錯解：由得，故的取值范圍是．出錯的原因是沒有注意橢圓的標準方程中這個條件，當(dāng)時，并不表示橢圓．例2已知表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍．分析：依據(jù)已知條件確定的三角函數(shù)的大小關(guān)系．再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，求出的取值范圍．解：方程可化為．因為焦點在軸上，所以．因此且從而．說明：

6、(1)由橢圓的標準方程知，，這是容易忽視的地方．(2)由焦點在軸上，知，．(3)求的取值范圍時，應(yīng)注意題目中的條件例5已知動圓過定點，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程．分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點P滿足的關(guān)系式．解：如圖所示，設(shè)動圓和定圓內(nèi)切于點．動點到兩定點，即定點和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即．∴點的軌跡是以，為兩焦點，半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程：．說明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標準方程，求軌跡的方程．這是求軌跡方程的一種重要思想方法．2.焦半徑及焦三角的應(yīng)用例1已知橢圓，、為兩焦點，問能否在橢

7、圓上找一點，使到左準線的距離是與的等比中項？若存在，則求出點的坐標；若不存在，請說明理由．解：假設(shè)存在，設(shè)，由已知條件得21，，∴，．∵左準線的方程是，∴．又由焦半徑公式知：，．∵，∴．整理得．解之得或．①另一方面．②則①與②矛盾，所以滿足條件的點不存在．例2已知橢圓方程，長軸端點為，，焦點為，，是橢圓上一點，，．求：的面積（用、、表示）．分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角的兩鄰邊，從而利用求面積．解：如圖，設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)在第一象限．由余弦定理知：·．①由橢圓定義知：②，則得．故．3.第二定義應(yīng)用例1橢圓的右焦點為，過點

8、，點在橢圓上，當(dāng)為最小值時，求點的坐標．分析：本題的