立體幾何中的存在性問題

《立體幾何中的存在性問題》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、高中數(shù)學(xué)立體幾何存在性問題專題1.（天津理17）如圖，在三棱柱中，是正方形的中心，，平面，且（Ⅰ）求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）設(shè)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，且平面，求線段的長(zhǎng)．本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.滿分13分.方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn).依題意得（I）解：易得，于是所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為（II）解：易知設(shè)平面AA1C1的法向量，則即不妨

2、令可得，同樣地，設(shè)平面A1B1C1的法向量，第-8-頁共8頁則即不妨令，可得于是從而所以二面角A—A1C1—B的正弦值為（III）解：由N為棱B1C1的中點(diǎn)，得設(shè)M（a，b，0），則由平面A1B1C1，得即解得故因此，所以線段BM的長(zhǎng)為方法二：（I）解：由于AC//A1C1，故是異面直線AC與A1B1所成的角.因?yàn)槠矫鍭A1B1B，又H為正方形AA1B1B的中心，可得第-8-頁共8頁因此所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為（II）解：連接AC1，易知AC1=B1C1，又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，所以≌，過點(diǎn)A作于點(diǎn)R

3、，連接B1R，于是，故為二面角A—A1C1—B1的平面角.在中，連接AB1，在中，，從而所以二面角A—A1C1—B1的正弦值為（III）解：因?yàn)槠矫鍭1B1C1，所以取HB1中點(diǎn)D，連接ND，由于N是棱B1C1中點(diǎn)，所以ND//C1H且.又平面AA1B1B，所以平面AA1B1B，故又所以平面MND，連接MD并延長(zhǎng)交A1B1于點(diǎn)E，則由得，延長(zhǎng)EM交AB于點(diǎn)F，第-8-頁共8頁可得連接NE.在中，所以可得連接BM，在中，2.（浙江理20）如圖，在三棱錐中，，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=

4、3，OD=2（Ⅰ）證明：AP⊥BC；（Ⅱ）在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A-MC-B為直二面角？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由。本題主要考查空是點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，空間向量的應(yīng)用，同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力。滿分15分。方法一：（I）證明：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，以射線OP為z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz則，，由此可得，所以，即（II）解：設(shè)第-8-頁共8頁設(shè)平面BMC的法向量，平面APC的法向量由得即由即得由解得，故AM=3。綜上所述，存在點(diǎn)M符合題意，AM=3。方法二：（I）證明：由AB

5、=AC，D是BC的中點(diǎn)，得又平面ABC，得因?yàn)?，所以平面PAD，故（II）解：如圖，在平面PAB內(nèi)作于M，連CM，由（I）中知，得平面BMC，第-8-頁共8頁又平面APC，所以平面BMC平面APC。在在，在所以在又從而PM，所以AM=PA-PM=3。綜上所述，存在點(diǎn)M符合題意，AM=3。3.（重慶理19）如題（19）圖，在四面體中，平面平面，，，．（Ⅰ）若，，求四面體的體積；（Ⅱ）若二面角為，求異面直線與所成角的余弦值．（I）解：如答（19）圖1，設(shè)F為AC的中點(diǎn)，由于AD=CD，所以DF⊥AC.故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面AB

6、C，即DF是四面體ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=.在Rt△ABC中，因AC=2AF=，AB=2BC，由勾股定理易知故四面體ABCD的體積第-8-頁共8頁（II）解法一：如答（19）圖1，設(shè)G，H分別為邊CD，BD的中點(diǎn)，則FG//AD，GH//BC，從而∠FGH是異面直線AD與BC所成的角或其補(bǔ)角.設(shè)E為邊AB的中點(diǎn)，則EF//BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB.又由（I）有DF⊥平面ABC，故由三垂線定理知DE⊥AB.所以∠DEF為二面角C—AB—D的平面角，由題設(shè)知∠DEF=60°設(shè)在從而

7、因Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD=AD=a，從而，在Rt△BDF中，，又從而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得因此，異面直線AD與BC所成角的余弦值為解法二：如答（19）圖2，過F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD=CD，平面ABC⊥平面ACD，易知FC，F(xiàn)D，F(xiàn)M兩兩垂直，以F為原點(diǎn)，射線FM，F(xiàn)C，F(xiàn)D分別為x軸，y軸，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系F—xyz.不妨設(shè)AD=2，由CD=AD，∠CAD=30°，易知點(diǎn)A，C，D的坐標(biāo)分別為顯然向量是平面ABC的法向量.已知二面角C—AB—D為60°，故可取平面ABD的單位法向量

8、，使得第-8-頁共8頁設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，有易知與坐標(biāo)系的建立方式不合，舍去.因此點(diǎn)B的坐標(biāo)為所以從而故異面直線AD與BC所成的角的余弦值為第-8-頁共8頁