《維納濾波》word版

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1、第3講：Wiener濾波Wiener濾波器是從統(tǒng)計(jì)意義上的最優(yōu)濾波,它要求輸入信號(hào)是寬平穩(wěn)隨機(jī)序列,本章主要集中在FIR結(jié)構(gòu)的Wiener濾波器的討論。由信號(hào)當(dāng)前值與它的各階延遲，估計(jì)一個(gè)期望信號(hào)，輸入信號(hào)是寬平穩(wěn)的，和是聯(lián)合寬平穩(wěn)的,要求這個(gè)估計(jì)的均方誤差最小.。Wiener濾波器的幾個(gè)實(shí)際應(yīng)用實(shí)例如下：①通信的信道均衡器。圖1.信道均衡器的結(jié)構(gòu)示意②系統(tǒng)辨識(shí)：圖2.線性系統(tǒng)辨識(shí)的結(jié)構(gòu)③一般結(jié)構(gòu):12圖3.Wiener濾波器的一般結(jié)構(gòu)Wiener濾波器的目的是求最優(yōu)濾波器系數(shù)，使最小。§3.1從

2、估計(jì)理論觀點(diǎn)導(dǎo)出Wiener濾波FIR結(jié)構(gòu)(也稱為橫向)的Wiener濾波器的核心結(jié)構(gòu)如圖4所示.圖4.橫向Wiener濾波器為了與第2講中估計(jì)理論一致，假設(shè)信號(hào)，濾波器權(quán)值均為實(shí)數(shù)由輸入和它的1至（M-1）階延遲，估計(jì)期望信號(hào)，確定權(quán)系數(shù)使估計(jì)誤差均方值最小，均方誤差定義為：這里估計(jì)寫為：除了現(xiàn)在是波形估計(jì)外，與線性Bayesian估計(jì)一一對(duì)應(yīng)。12R（零均值假設(shè)）這里,Wiener濾波與線性Bayesian估計(jì)變量之間具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,設(shè)最優(yōu)濾波器系數(shù)為，由線性Bayesian估計(jì)得到Wien

3、er濾波器系數(shù)對(duì)應(yīng)式：上式后一個(gè)方程稱為Wiener-Hopf方程,或結(jié)論：1)Wiener濾波器是線性FIR濾波器中的最優(yōu)濾波器，但非線性濾波可能會(huì)達(dá)到更好結(jié)果。2)在聯(lián)合高斯條件下，Wiener濾波也是總體最優(yōu)的（①?gòu)腂ayesian估計(jì)意義上講是這樣，②要滿足平穩(wěn)條件）3)從線性貝葉斯估計(jì)推導(dǎo)過程知，在濾波器系數(shù)取非最優(yōu)的w時(shí)，其誤差性能表示：它是w的二次曲面，只有一個(gè)最小點(diǎn)，時(shí)，§3.2維納濾波：從正交原理和線性濾波觀點(diǎn)分析Wiener濾波器Wiener濾波器是一個(gè)最優(yōu)線性濾波器，圖3是一

4、個(gè)一般表示框圖，濾波器核是IIR或FIR的，為了導(dǎo)出后續(xù)常用的一些工具,我們導(dǎo)出最優(yōu)濾波器的正交原理,并從正交原理出發(fā)重新導(dǎo)出一般的Wiener濾波器方程,先推導(dǎo)適應(yīng)于IIR和FIR的一般結(jié)論，然后重點(diǎn)討論FIR。討論一般的復(fù)數(shù)形式。·輸入過程?！V波器系數(shù)，（權(quán)系數(shù)）·希望的響應(yīng)d[n]·輸出誤差：12·正交性原理對(duì)復(fù)數(shù)據(jù)情況，推導(dǎo)一般結(jié)論，實(shí)數(shù)據(jù)是特例。均方誤差是：設(shè)權(quán)系數(shù)定義遞度算子其中符號(hào)是遞度算子作用于J，其中第k項(xiàng)為：要求的值,使得J最小,即或等價(jià)：將代入遞度算子得到：由得到：12代入

5、表達(dá)式整理得：當(dāng)時(shí)，J達(dá)到最小。設(shè)J達(dá)最小時(shí)，用表示權(quán)系數(shù)和誤差e[n]，且則有：，和，以上兩式為正交性原理，達(dá)到最優(yōu)濾波時(shí)，誤差和輸入正交。推論：·最小均方誤差：在達(dá)最優(yōu)時(shí)，也寫成：，表示由張成的空間對(duì)d[n]的估計(jì)（最優(yōu)線性估計(jì)）。也可以寫成：由和正交性得：12即：·維納－霍夫方程（Wiener-Hopf）由正交性原理即：得：由于：得：這就是Wiener-Hopf方程，解此方程，可得到最優(yōu)權(quán)。對(duì)于M階FIR濾波器，（橫向?yàn)V波器）wiener-Hopf方程變?yōu)椋海ぞ仃囆问剑毫詈?12Winer

6、-Hopf方程寫為：這里解方程求得：·再看最小均方誤差由得則分析：由正交原理導(dǎo)出Wiener濾波器和從線性貝葉斯估計(jì)得到wiener濾波器,分別得到一些有益的啟示,從估計(jì)理論看,Wiener濾波器只是一個(gè)線性Beyesian估計(jì),它是最優(yōu)估計(jì)的一個(gè)線性逼近,只有在高斯情況下,它才是真正的最優(yōu)濾波器,在其它分布情況下,非線性濾波器可以達(dá)到比線性最優(yōu)濾波器更優(yōu)的結(jié)果.從一般線性最優(yōu)濾波器的正交原理出發(fā),我們?nèi)菀缀鲆曔@些限制?！ふ`差性能表面12由直接代入整理得：由上式，可以看出，J是Wk的二次曲面，是碗

7、狀曲面，碗口向上，Jmin在碗底，其實(shí)，由上式直接對(duì)wk求導(dǎo)，得到一組方程，正是wiener-Hopf方程。上式也可以直接寫成矩陣形式它可以整理成如下形式：上式在時(shí)，達(dá)最小，性能表面也可以寫成：由于故令通過坐標(biāo)變換，得到如上規(guī)范形式，對(duì)于一個(gè)給定,有：12這是超相圓，為其一個(gè)軸。數(shù)值例子：①希望響應(yīng)是一個(gè)AR(1)過程，，是白噪聲，,由白噪聲驅(qū)動(dòng)的產(chǎn)生該過程的傳輸函數(shù)為:②經(jīng)過了一個(gè)通信信通，信道的傳輸函數(shù)為，并加入了白噪聲即：通道模型如圖5所示:圖5.通道模型③求解：一個(gè)二階FIR結(jié)構(gòu)Wiene

8、r濾波器，目的是由u[n]恢復(fù)d[n]解：①是一個(gè)過程，②在中,是一個(gè)二階過程,相當(dāng)于12由二階參數(shù)，確定,由Yule-walker方程：反解.得由上確定x[n]的自相關(guān)矩陣為:但：③求由：,和代入上式12得：故④性能表面⑤最優(yōu)系數(shù)⑥最小均方誤差：①規(guī)范誤差性能表面解12這是一個(gè)隨圓，主軸，副軸性能表面等高線如圖6.圖6.性能表面的等高線12