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1、第五章維納濾波(WienerFiltering)維納于1894年生在美國密蘇里州哥倫比亞市的一個猶太人的家庭中。他的父親是哈佛大學(xué)的語言教授。維納18歲時就獲得了哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)和哲學(xué)兩個博士學(xué)位,隨后他因提出了著名的“控制論”而聞名于世。1940年,維納開始考慮計算機如何能像大腦一樣工作。他發(fā)現(xiàn)了二者的相似性。維納認為計算機是一個進行信息處理和信息轉(zhuǎn)換的系統(tǒng),只要這個系統(tǒng)能得到數(shù)據(jù),機器本身就應(yīng)該能做幾乎任何事情。而且計算機本身并不一定要用齒輪,導(dǎo)線,軸,電機等部件制成。麻省理工學(xué)院的一位教授為了
2、證實維納的這個觀點,甚至用石塊和衛(wèi)生紙卷制造過一臺簡單的能運行的計算機。維納在1940年寫給布什的一封信中,對現(xiàn)代計算機的設(shè)計曾提出了幾條原則:(1)不是模擬式,而是數(shù)字式;(2)由電子元件構(gòu)成,盡量減少機械部件;(3)采用二進制,而不是十進制;(4)內(nèi)部存放計算表;(5)在計算機內(nèi)部存貯數(shù)據(jù)。這些原則是十分正確的。(圖)維納在講解控制論。根據(jù)這一理論,一個機械系統(tǒng)完全能進行運算和記憶。第一節(jié)維納濾波器的時域解第二節(jié)維納預(yù)測器第三節(jié)維納濾波器的應(yīng)用設(shè)有一個線性系統(tǒng),它的單位脈沖響應(yīng)是 ,當(dāng)
3、輸入一個觀測到的隨機信號 ,簡稱觀測值,且該信號包含噪聲 和有用信號 ,簡稱信號,也即則輸出為我們希望輸出得到的 與有用信號 盡量接近,因此稱 為 的估計值,用 來表示 ,我們就有了維納濾波器的系統(tǒng)框圖.這個系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)也稱為對于 的一種估計器。用當(dāng)前的和過去的觀測值來估計當(dāng)前的信號 稱為濾波;用過去的觀測值來估計當(dāng)前的或?qū)淼男盘朜>=0,稱為預(yù)測;用過去的觀測值來估計過去的信號 ,N>=1,稱為平滑或者內(nèi)插。系統(tǒng)框圖中估計到的 信號和我們期望得到的有
4、用信號 不可能完全相同,這里用 來表示真值和估計值之間的誤差(5-3)顯然 是隨機變量,維納濾波和卡爾曼濾波的誤差準則就是最小均方誤差準則(5-4)5.1維納濾波器的時域解(TimedomainsolutionoftheWienerfilter)設(shè)計維納濾波器的過程就是尋求在最小均方誤差下濾波器的單位脈沖響應(yīng) 或傳遞函數(shù) 的表達式,其實質(zhì)就是解維納-霍夫(Wiener-Hopf)方程。我們從時域入手求最小均方誤差下的 用 表示最佳線性濾波器。這里只討論因果可實現(xiàn)濾波器的設(shè)計。5.1
5、.1因果的維納濾波器設(shè) 是物理可實現(xiàn)的,也即是因果序列:因此,從式(5-1)、(5-2)、(5-3)、(5-4)推導(dǎo):(5-5)(5-6)要使得均方誤差最小,則將上式對各m=0,1,…,求偏導(dǎo),并且等于零,得:從維納-霍夫方程中解出的h就是最小均方誤差下的最佳h, 。求到 ,這時的均方誤差為最?。海?1.2有限脈沖響應(yīng)法求解維納-霍夫方程設(shè) 是一個因果序列且可以用有限長(N點長)的序列去逼進它,則式(5-5)-(5-10)分別發(fā)生變化:(5-11)(5-12)于是得到N個線性方程:
6、寫成矩陣形式有:簡化形式:RxxH=Rxs(5-17)式中,H=[h(0)h(1)…h(huán)(N-1)]′是待求的單位脈沖響應(yīng)RxxH=Rxs只要Rxx是非奇異的,就可以求到H:H=Rxx-1*Rxs求得H后,這時的均方誤差為最?。哼M一步化簡得:若信號與噪聲互不相關(guān),即,【例5-1】如圖, ,信號與噪聲統(tǒng)計獨立,其中 噪聲是方差為1的單位白噪聲,試設(shè)計一個N=2的維納濾波器來估計 ,并求最小均方誤差。解:依題意,已知信號的自相關(guān)和噪聲的自相關(guān)為: 代入式解得:
7、=0.451,?。?.165。求得最小均方誤差:5.1.3預(yù)白化法求解維納-霍夫方程5.1.3預(yù)白化法求解維納-霍夫方程隨機信號都可以看成是由一白色噪聲 激勵一個物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)或模型的響應(yīng),如圖5.2所示.圖5.2s信號模型由于 ,在圖5.2的基礎(chǔ)上給出的信號模型,圖5.3所示。把這兩個模型合并最后得到維納濾波器的信號模型,圖5.4所示,其中傳遞函數(shù)用B(z)表示。圖5.3x的信號模型圖5.4維納濾波器的輸入信號模型白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為 它的z變換就等于 。圖5.2中輸
8、出信號的自相關(guān)函數(shù)為 ,根據(jù)卷積性質(zhì)有(5-22)對式(5-22)進行Z變換得到系統(tǒng)函數(shù)和相關(guān)函數(shù)的z變換之間的關(guān)系:(5-23)同樣,對圖5.4進行z變換得(5-24)圖5.4中利用卷積性質(zhì)還可以找到互相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系:如果已知觀測信號的自相關(guān)函數(shù),求它的z變換,然后找到該函數(shù)的成對零點、極點,取其中在單位圓內(nèi)的那一半零點、極點構(gòu)成 另外在單位圓外的零、極點構(gòu)成 ,這樣就保證了 是因果的,并且是最小相位系統(tǒng)從圖5.4可得(5-26)由于系統(tǒng)函數(shù) 的零點和極點都在單位圓內(nèi),即是一