開(kāi)普勒三定律的數(shù)學(xué)證明

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1、開(kāi)普勒三定律的數(shù)學(xué)證明摘要：本文依次對(duì)開(kāi)普勒第二，第三和第一定律進(jìn)行詳細(xì)的數(shù)學(xué)證明，并用物理學(xué)中角動(dòng)量守恒的方法對(duì)開(kāi)普勒第二定律進(jìn)行證明。關(guān)鍵字：開(kāi)普勒定律；角動(dòng)量守恒MathematicalProofsofKepler’sLawDuYonghao(CivilEngineeringDepartmentofSoutheastUniversity,Nanjing211189,China)Abstract:MypaperparticularlyderivesKepler’sSecondLaw,ThirdLawandFirstLawinmathematicalmethodsinorder.La

2、wofConservationofAngularMomentumisalsoappliedtoderiveKepler’sSecondLaw.Keywords:Kepler’sLaw;LawofConservationofAngularMomentum1前言開(kāi)普勒第一定律，也稱橢圓定律、軌道定律：每一個(gè)行星都沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽(yáng)，而太陽(yáng)則處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)中。開(kāi)普勒第二定律，也稱面積定律：在相等的時(shí)間內(nèi)，太陽(yáng)和運(yùn)動(dòng)中的行星的連線（向量半徑）所掃過(guò)的面積都是相等的。這一定律實(shí)際揭示了行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的角動(dòng)量守恒。開(kāi)普勒第三定律，也稱調(diào)和定律、周期定律：各個(gè)行星繞太陽(yáng)的橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的

3、立方和它們公轉(zhuǎn)周期的平方成正比[1]。2開(kāi)普勒第二定律證明2.1數(shù)學(xué)方法圖1[2]令為行星在時(shí)刻的位失，令為行星在時(shí)刻的位失。面積為在時(shí)刻與時(shí)刻間行星位失掃過(guò)的面積，即與所圍成的三角形面積，如圖1，得：所以：令，得：第5頁(yè)，共5頁(yè)行星與太陽(yáng)之間的萬(wàn)有引力是作用在行星上的唯一的力，引力大小為，其中為行星的質(zhì)量。根據(jù)牛頓第二定律得：兩邊同時(shí)除以得：所以：可知向量是一個(gè)常數(shù)，所以其大小也是一個(gè)常數(shù)。所以為一常數(shù)。2.2物理方法行星在太陽(yáng)的引力作用下繞日運(yùn)動(dòng)，所以行星受到的引力對(duì)太陽(yáng)的力矩為零，即行星對(duì)太陽(yáng)的角動(dòng)量守恒（為常矢量）。根據(jù)角動(dòng)量守恒，的大小為：為常數(shù)（其中為與的夾角）設(shè)在足夠小的

4、時(shí)間內(nèi)，太陽(yáng)到行星的位矢掃過(guò)的的角度很小，于是在時(shí)間內(nèi)位矢掃過(guò)的三角形面積為：所以位矢掃過(guò)的面積的速度為：所以得：第5頁(yè)，共5頁(yè)根據(jù)角動(dòng)量守恒定律為常量，所以為常量。所以行星運(yùn)動(dòng)單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積為定值。3開(kāi)普勒第三定律證明將太陽(yáng)置為原點(diǎn)（太陽(yáng)在行星橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上），橢圓長(zhǎng)軸在軸上，如圖2。根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，又因?yàn)?，所以且。根?jù)勾股定理：圖2[2]，如圖3因?yàn)?，所以：化?jiǎn)得：又因?yàn)?，所以：圖3[2]與軸夾角為，根據(jù)開(kāi)普勒第一定律得：因?yàn)椋裕核蚤_(kāi)普勒第三定律指出周期的立方和行星與太陽(yáng)間距的平方成正比。4開(kāi)普勒第一定律證明第5頁(yè)，共5頁(yè)圖4[2]令為時(shí)刻行星的位失，為行星和

5、太陽(yáng)的距離，所以為時(shí)刻行星的極坐標(biāo)。令，得：所以：因?yàn)樾行鞘苋f(wàn)有引力方向與其位置方向相反。所以：令，得：將代入,當(dāng)時(shí)，且成立，可證：為任意值時(shí)都有令，根據(jù)：兩邊同時(shí)對(duì)進(jìn)行積分得：令，代入得：第5頁(yè)，共5頁(yè)對(duì)分離變量并積分得：最后，我們得到關(guān)于的函數(shù)：所以為行星繞太陽(yáng)橢圓軌道的離心率。參考文獻(xiàn)[1]李敏君,邱荒逸.用矢量法證明開(kāi)普勒三定律[J].高師理科學(xué)刊,2000,20(4):49-52.[2][美]DaleVarberg,EdwinJ.Purcell,StevenE.Rigdon.微積分[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2009.585-588.第5頁(yè)，共5頁(yè)