開普勒三定律的數(shù)學(xué)證明

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1、開普勒三定律的數(shù)學(xué)證明摘要：本文依次對開普勒第二，第三和第一定律進(jìn)行詳細(xì)的數(shù)學(xué)證明，并用物理學(xué)中角動量守恒的方法對開普勒第二定律進(jìn)行證明。關(guān)鍵字：開普勒定律；角動量守恒MathematicalProofsofKepler’sLawDuYonghao(CivilEngineeringDepartmentofSoutheastUniversity,Nanjing211189,China)Abstract:MypaperparticularlyderivesKepler’sSecondLaw,ThirdLawandFirstLawinmathematicalmethodsinorder.La

2、wofConservationofAngularMomentumisalsoappliedtoderiveKepler’sSecondLaw.Keywords:Kepler’sLaw;LawofConservationofAngularMomentum1前言開普勒第一定律，也稱橢圓定律、軌道定律：每一個行星都沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點(diǎn)中。開普勒第二定律，也稱面積定律：在相等的時間內(nèi)，太陽和運(yùn)動中的行星的連線（向量半徑）所掃過的面積都是相等的。這一定律實際揭示了行星繞太陽公轉(zhuǎn)的角動量守恒。開普勒第三定律，也稱調(diào)和定律、周期定律：各個行星繞太陽的橢圓軌道的半長軸的

3、立方和它們公轉(zhuǎn)周期的平方成正比[1]。2開普勒第二定律證明2.1數(shù)學(xué)方法圖1[2]令為行星在時刻的位失，令為行星在時刻的位失。面積為在時刻與時刻間行星位失掃過的面積，即與所圍成的三角形面積，如圖1，得：所以：令，得：第5頁，共5頁行星與太陽之間的萬有引力是作用在行星上的唯一的力，引力大小為，其中為行星的質(zhì)量。根據(jù)牛頓第二定律得：兩邊同時除以得：所以：可知向量是一個常數(shù)，所以其大小也是一個常數(shù)。所以為一常數(shù)。2.2物理方法行星在太陽的引力作用下繞日運(yùn)動，所以行星受到的引力對太陽的力矩為零，即行星對太陽的角動量守恒（為常矢量）。根據(jù)角動量守恒，的大小為：為常數(shù)（其中為與的夾角）設(shè)在足夠小的

4、時間內(nèi)，太陽到行星的位矢掃過的的角度很小，于是在時間內(nèi)位矢掃過的三角形面積為：所以位矢掃過的面積的速度為：所以得：第5頁，共5頁根據(jù)角動量守恒定律為常量，所以為常量。所以行星運(yùn)動單位時間內(nèi)掃過的面積為定值。3開普勒第三定律證明將太陽置為原點(diǎn)（太陽在行星橢圓軌道的一個焦點(diǎn)上），橢圓長軸在軸上，如圖2。根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，又因為，所以且。根據(jù)勾股定理：圖2[2]，如圖3因為，所以：化簡得：又因為，所以：圖3[2]與軸夾角為，根據(jù)開普勒第一定律得：因為，所以：所以開普勒第三定律指出周期的立方和行星與太陽間距的平方成正比。4開普勒第一定律證明第5頁，共5頁圖4[2]令為時刻行星的位失，為行星和

5、太陽的距離，所以為時刻行星的極坐標(biāo)。令，得：所以：因為行星受萬有引力方向與其位置方向相反。所以：令，得：將代入,當(dāng)時，且成立，可證：為任意值時都有令，根據(jù)：兩邊同時對進(jìn)行積分得：令，代入得：第5頁，共5頁對分離變量并積分得：最后，我們得到關(guān)于的函數(shù)：所以為行星繞太陽橢圓軌道的離心率。參考文獻(xiàn)[1]李敏君,邱荒逸.用矢量法證明開普勒三定律[J].高師理科學(xué)刊,2000,20(4):49-52.[2][美]DaleVarberg,EdwinJ.Purcell,StevenE.Rigdon.微積分[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2009.585-588.第5頁，共5頁