左刪失右截斷數(shù)據(jù)的分位數(shù)的固定寬度序貫置信區(qū)間估計

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1、左刪失右截斷數(shù)據(jù)的分位數(shù)的固定寬度序貫置信區(qū)間估計　一、引言　　在生存分析研究中，一些個體生存時間的開始點在試驗開始之前，所以人們無法觀察到這些個體在進入試驗之前的數(shù)據(jù)。這樣所獲得的個體數(shù)據(jù)就是左截斷數(shù)據(jù)。如果個體一旦進入試驗，人們可能在試驗結(jié)束之前未能完全觀察到這個個體的全部過程，因此引起了右刪失的數(shù)據(jù)。這樣的左截斷右刪失數(shù)據(jù)是生存分析中常常遇到的數(shù)據(jù)之一。具體地說，設(shè)(X,T,Y)表示三維的隨機變量，其中X為感興趣的隨機變量，具有連續(xù)的分布函數(shù)F；T是左截斷隨機變量具有分布函數(shù)G，以及Y是右刪失隨機量

2、具有分布L。假定X是與(T,Y)獨立的，但T和Y可以是相關(guān)的。所謂左截斷右刪失數(shù)據(jù)是：如果Z≥T,(Z,T,δ)是可以觀察的，其中Z=X∧Y=min(X,Y)和δ=I(X≤Y)。而當(dāng)Z＜T時，人們無法觀察到任何數(shù)據(jù)。不失一般性，設(shè)α≡P(T≤Z)＞0和ansperger[12]研究了這樣的置信區(qū)間，Gürler,Stute,Wang[4]考慮了左截斷的情況?！　≡谏娣治鲋校蜇灧椒ㄊ巧锝y(tǒng)計中一種廣泛應(yīng)用的方法之一，它的優(yōu)點是節(jié)約成本和試驗時間，在試驗中可以由它來控制所需的時間和成本進行抽樣。在實際工作

3、中，試驗者往往要求在給定的置信水平和滿足一定的精度下，對所感興趣的量進行統(tǒng)計估計和推斷，同時不要浪費太多的資源。因此，此時的序貫區(qū)間估計就是一種很好的選擇。具體體現(xiàn)是，人們首先要求統(tǒng)計推斷滿足一定精度，即是給定固定區(qū)間的長度，當(dāng)置信水平已知（即給定某個置信水平）的情況下進行抽樣。這些方法在大多數(shù)的應(yīng)用中是很乎合實際要求的。這就是所謂固定寬度的序貫置信區(qū)間估計。本文就在這方面進行研究?！　榱俗C明分位數(shù)的固定寬度序貫置信區(qū)間的漸近性質(zhì)，我們給出一個擴展的p[,n]分位估計的Bahadur的強表示定理，其中p

4、[,n]可以是一個隨機量。當(dāng)ξ[,pn]是ξ[,p]強相合估計。在某些簡單的條件下，的Bahadur表示是　　附圖　　其中f=F'和R[,n]是剩余項。在下一節(jié)，我們給出剩余項R[,n]的幾乎處處漸近收斂速度，其中是一列收斂于p的隨機變量。對于特別的應(yīng)用，p[,n]一般定義為乘積限估計的漸近方差的泛函。此表示定理在推導(dǎo)分位數(shù)估計的大樣本性質(zhì)上具有廣泛的應(yīng)用，此結(jié)果是[13]中重要結(jié)果的推廣。為了獲得分位數(shù)的置信區(qū)間估計，這種推廣是必要的。在此節(jié)的最后，給出相合的漸近方差估計。為方便，假設(shè)Y和T是非負的隨機

5、變量。在本文，我們多次用到如下的積分條件，對于任意T＜T[,W]，　　附圖　　根據(jù)[7]的結(jié)果，我們表述如下的引理　　引理1.1假定a[,G]＜a[,W]或a[,G]=a[,W]和(3)成立。當(dāng)a[,W]＜x≤b＜b[,W]，一致地有　　附圖　　其中表示概率收斂?！　≡谟覄h失數(shù)據(jù)下，Cheng[14],Aly,,Horváth[15],Lo,Singh[16]研究了Bahadur表示中剩余項R[,n](p)的幾乎處處收斂速度。Gijbels,Veraverbeke[10,11]給出了Ghosh型的弱表示定

6、理。Zhou[17]考慮了光滑分位數(shù)估計和給出了其一致Bahadur表示定理。Padgett[18]獲得了些核光滑的分位數(shù)估計的漸近性質(zhì)。Gürler,Stute,Wang[4]首先考慮了左截數(shù)據(jù)下的分位數(shù)估計的各種漸近性質(zhì)?！　《?、Bahadure表示定理及固定長度置信區(qū)間　　在這節(jié)，給出分位數(shù)估計表示式(2)的結(jié)果。為些我們需要如下的條件。　　條件(i)對于T＜T[,W]，　　附圖　　附圖　　雖然f的估計容易獲得，但是卷入麻煩的窗寬選擇，因此盡量不用其非參數(shù)估計。使用Y[,i]的次序統(tǒng)計量可以簡單地構(gòu)

7、造分位數(shù)的置信區(qū)間，克服使用f的非參數(shù)估計的窗寬選擇的麻煩。這置信區(qū)間是　　附圖　　關(guān)于固定長度的序貫區(qū)間方法(11)及其所要求的隨機樣本大小τ，我們?nèi)菀淄茖?dǎo)出如下定理。　　附圖　　附圖　　在這里，我們進行一個小的計算機模型試驗，目的是在左截斷右刪失數(shù)據(jù)下，檢驗分位數(shù)估計序貫方法的有效性，以及在給定精度下，如何有效地進行序貫試驗，即在更短的試驗時間里，獲得合乎精度要求的分位數(shù)估計。我們的隨機試驗是在如下的條件下進行的。設(shè)(X,T,Y)分別來自指數(shù)分布的隨機變量，對應(yīng)于指數(shù)分布的參數(shù)分別是θ[,1],θ[,

8、2],θ[,3]，它們的值分別取1,1.5,0.25。共進行500次試驗，每次產(chǎn)生樣本數(shù)分別是100,200和500。因此，在這些設(shè)計下，被刪失的數(shù)據(jù)占20%而且被截斷的占45%。獲得的結(jié)果如上表。其它參數(shù)的組合下進行了同樣的模擬試驗，所獲結(jié)果與此情況相似，故略。在此我們僅列出樣本為200的結(jié)果，其它情況略?！　”碇械氖侵笖?shù)分布p-分位數(shù)的估計，對于每個分位數(shù)的序貫估計分別取3種不同的精度。d[,1]的取法是全樣本下的分位數(shù)估