幾何中的最值問(wèn)題

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1、幾何中的最值問(wèn)題（講義）一、知識(shí)點(diǎn)睛幾何中最值問(wèn)題包括：“面積最值”及“線段（和、差）最值”.求面積的最值，需要將面積表達(dá)成函數(shù)，借助函數(shù)性質(zhì)結(jié)合取值范圍求解；求線段及線段和、差的最值，需要借助“垂線段最短”、“兩點(diǎn)之間線段最短”及“三角形三邊關(guān)系”等相關(guān)定理轉(zhuǎn)化處理.一般處理方法：線段最大（小）值線段差最大線段和(周長(zhǎng))最小平移對(duì)稱旋轉(zhuǎn)平移對(duì)稱旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化構(gòu)造三角形使目標(biāo)線段與定長(zhǎng)線段構(gòu)成三角形使點(diǎn)在線同側(cè)（如下圖）使點(diǎn)在線異側(cè)（如下圖）三角形三邊關(guān)系定理三點(diǎn)共線時(shí)取得最值兩點(diǎn)之間，線段最短垂線段最短常用定理：兩點(diǎn)之間

2、，線段最短（已知兩個(gè)定點(diǎn)時(shí)）垂線段最短（已知一個(gè)定點(diǎn)、一條定直線時(shí)）三角形三邊關(guān)系（已知兩邊長(zhǎng)固定或其和、差固定時(shí)）

3、PA-PB

4、最大，需轉(zhuǎn)化，使點(diǎn)在線同側(cè)PA+PB最小，需轉(zhuǎn)化，使點(diǎn)在線異側(cè)二、精講精練1.如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm，底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為______cm．9第1題圖第2題圖1.如圖,點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上運(yùn)動(dòng)，若∠AOB=45°，OP=3，則

5、△PMN周長(zhǎng)的最小值為.2.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，∠DAC的平分線交DC于點(diǎn)E，若點(diǎn)P，Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值為.第3題圖第4題圖3.如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，點(diǎn)P、Q、K分別為線段BC、CD、BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為.4.如圖，當(dāng)四邊形PABN的周長(zhǎng)最小時(shí)，a=．第5題圖第6題圖91.在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn).若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

6、且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為.2.如圖，兩點(diǎn)A、B在直線MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC=8，B到MN的距離BD=5，CD=4，P在直線MN上運(yùn)動(dòng)，則的最大值等于．第7題圖第8題圖3.點(diǎn)A、B均在由面積為1的相同小矩形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．若P是x軸上使得的值最大的點(diǎn)，Q是y軸上使得QA+QB的值最小的點(diǎn)，則＝　　　　　?。?.如圖，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為__

7、_______．第9題圖第10題圖5.如圖，已知AB=10，P是線段AB上任意一點(diǎn)，在AB的同側(cè)分別以AP和PB為邊作等邊△APC和等邊△BPD，則CD長(zhǎng)度的最小值為．6.如圖，點(diǎn)P在第一象限，△ABP是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)A在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B隨之在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P到原點(diǎn)的最大距離是________.若將△ABP中邊PA的長(zhǎng)度改為，另兩邊長(zhǎng)度不變，則點(diǎn)P到原點(diǎn)的最大距離變?yōu)開________．9第11題圖第12題圖1.動(dòng)手操作：在矩形紙片ABCD中，AB=3,AD=5．如圖所示，折

8、疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ，當(dāng)點(diǎn)A′在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)．若限定點(diǎn)P、Q分別在AB、AD邊上移動(dòng)，則點(diǎn)A′在BC邊上可移動(dòng)的最大距離為．2.如圖，直角梯形紙片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，點(diǎn)E、F分別在線段AB、AD上，將△AEF沿EF翻折，點(diǎn)A的落點(diǎn)記為P．（1）當(dāng)P落在線段CD上時(shí)，PD的取值范圍為；（2）當(dāng)P落在直角梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，PD的最小值等于.3.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，M、N兩點(diǎn)分別是邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，將△A

9、MN沿MN翻折，A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，連接BA′，則BA′的最小值是_________．9幾何中的最值問(wèn)題（作業(yè)）1.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，對(duì)角線AC平分∠BAD，點(diǎn)E在AB上，且AE=2（AE＜AD），點(diǎn)P是AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PE＋PB的最小值是__________．第1題圖第2題圖2.在邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PQ，則△PBQ周長(zhǎng)的最小值為____________cm（結(jié)果不取近似值）.3.如圖，一副三角板拼在一

10、起，O為AD的中點(diǎn)，AB=a．將△ABO沿BO對(duì)折于△A′BO，點(diǎn)M為BC上一動(dòng)點(diǎn)，則A′M的最小值為．第3題圖第4題圖4.如圖，在銳角△ABC中，，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值為___________．5.在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P、Q兩