導(dǎo)數(shù)——平均變化率與瞬時(shí)變化率

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1、本講教育信息】一.教學(xué)內(nèi)容：??????導(dǎo)數(shù)——平均變化率與瞬時(shí)變化率?二.本周教學(xué)目標(biāo)：1、了解導(dǎo)數(shù)概念的廣闊背景，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵．2、通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．?三.本周知識(shí)要點(diǎn)：（一）平均變化率1、情境：觀察某市某天的氣溫變化圖2、一般地,函數(shù)f（x）在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，曲線陡峭程度是平均變化率“視覺化”．?（二）瞬時(shí)變化率——導(dǎo)數(shù)1、曲線的切線如圖，設(shè)曲線c是函數(shù)的圖象，點(diǎn)是曲線c上一點(diǎn)作割線PQ，當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線c無限地趨近于點(diǎn)P，割線P

2、Q無限地趨近于某一極限位置PT我們就把極限位置上的直線PT，叫做曲線c在點(diǎn)P處的切線割線PQ的斜率為，即當(dāng)時(shí)，無限趨近于點(diǎn)P的斜率．2、瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度1）瞬時(shí)速度定義：運(yùn)動(dòng)物體經(jīng)過某一時(shí)刻（某一位置）的速度，叫做瞬時(shí)速度.2）確定物體在某一點(diǎn)A處的瞬時(shí)速度的方法：要確定物體在某一點(diǎn)A處的瞬時(shí)速度，從A點(diǎn)起取一小段位移AA1，求出物體在這段位移上的平均速度，這個(gè)平均速度可以近似地表示物體經(jīng)過A點(diǎn)的瞬時(shí)速度.當(dāng)位移足夠小時(shí)，物體在這段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)可認(rèn)為是勻速的，所得的平均速度就等于物體經(jīng)過A點(diǎn)的瞬時(shí)速度．我們現(xiàn)在

3、已經(jīng)了解了一些關(guān)于瞬時(shí)速度的知識(shí)，現(xiàn)在已經(jīng)知道物體做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律用函數(shù)表示為s＝s（t），也叫做物體的運(yùn)動(dòng)方程或位移公式，現(xiàn)在有兩個(gè)時(shí)刻t0，t0+Δt，現(xiàn)在問從t0到t0+Δt這段時(shí)間內(nèi)，物體的位移、平均速度各是：位移為Δs＝s（t0+Δt）－s（t0）（Δt稱時(shí)間增量）平均速度根據(jù)對(duì)瞬時(shí)速度的直觀描述，當(dāng)位移足夠小，現(xiàn)在位移由時(shí)間t來表示，也就是說時(shí)間足夠短時(shí)，平均速度就等于瞬時(shí)速度.現(xiàn)在是從t0到t0+Δt，這段時(shí)間是Δt.時(shí)間Δt足夠短，就是Δt無限趨近于0．當(dāng)Δt→0時(shí)，位移的平均變化率無限趨

4、近于一個(gè)常數(shù)，那么稱這個(gè)常數(shù)為物體在t＝t0的瞬時(shí)速度同樣，計(jì)算運(yùn)動(dòng)物體速度的平均變化率，當(dāng)Δt→0時(shí)，平均速度無限趨近于一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)為在t＝t0時(shí)的瞬時(shí)加速度．3、導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在（a,b）上有定義，．若無限趨近于0時(shí)，比值無限趨近于一個(gè)常數(shù)A，則稱f（x）在x＝處可導(dǎo)，并稱該常數(shù)A為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作．幾何意義是曲線上點(diǎn)（）處的切線的斜率．導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）：如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對(duì)于每一個(gè)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，也可

5、記作．?【典型例題】例1、水經(jīng)過虹吸管從容器甲中流向容器乙，ts后容器甲中水的體積（單位：），計(jì)算第一個(gè)10s內(nèi)V的平均變化率．解：在區(qū)間[0，10]上，體積V的平均變化率為???即第一個(gè)10s內(nèi)容器甲中水的體積的平均變化率為．?例2、已知函數(shù)，，分別計(jì)算在區(qū)間[－3，－1]，[0，5]上函數(shù)及的平均變化率．解：函數(shù)在[－3，－1]上的平均變化率為在[－3,－1]上的平均變化率為函數(shù)在[0，5]上的平均變化率為在[0，5]上的平均變化率為?例3、已知函數(shù)，分別計(jì)算函數(shù)在區(qū)間[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[

6、1，1.001]上的平均變化率．解：函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的平均變化率為函數(shù)在[1，2]上的平均變化率為函數(shù)在[1，1.1]上的平均變化率為函數(shù)在[1，1.001]上的平均變化率為?例4、物體自由落體的運(yùn)動(dòng)方程s＝s（t）＝gt2，其中位移單位m，時(shí)間單位s，g＝9.8m/s2.求t＝3這一時(shí)段的速度.解：取一小段時(shí)間［3，3+Δt］，位置改變量Δs＝g（3+Δt）2－g·32＝（6+Δt）Δt，平均速度g（6+Δt）當(dāng)Δt無限趨于0時(shí)，無限趨于3g＝29.4m/s．?例5、已知質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s＝2t2+3做直線運(yùn)動(dòng)

7、（位移單位：cm，時(shí)間單位：s），（1）當(dāng)t＝2，Δt＝0.01時(shí)，求.（2）當(dāng)t＝2，Δt＝0.001時(shí)，求.（3）求質(zhì)點(diǎn)M在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度.分析：Δs即位移的改變量，Δt即時(shí)間的改變量，即平均速度，當(dāng)Δt越小，求出的越接近某時(shí)刻的速度.解：∵＝4t+2Δt∴（1）當(dāng)t＝2，Δt＝0.01時(shí)，＝4×2+2×0.01＝8.02cm/s．（2）當(dāng)t＝2，Δt＝0.001時(shí)，＝4×2+2×0.001＝8.002cm/s．（3）Δt0，（4t+2Δt）＝4t＝4×2＝8cm/s?例6、曲線的方程為y＝x2+1，那么求

8、此曲線在點(diǎn)P（1，2）處的切線的斜率，以及切線的方程．解：設(shè)Q（1+，2+），則割線PQ的斜率為：斜率為2∴切線的斜率為2．切線的方程為y－2＝2（x－1），即y＝2x．?【模擬試題】1、若函數(shù)f（x）＝2x2+1，圖象上P（1,3）及鄰近點(diǎn)Q（1+Δx,3+Δy），則＝（??）A.4??????B.4Δx????????C.4+2Δx??????????D