導(dǎo)數(shù)——平均變化率與瞬時變化率

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1、本講教育信息】一.教學(xué)內(nèi)容：??????導(dǎo)數(shù)——平均變化率與瞬時變化率?二.本周教學(xué)目標(biāo)：1、了解導(dǎo)數(shù)概念的廣闊背景，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵．2、通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．?三.本周知識要點：（一）平均變化率1、情境：觀察某市某天的氣溫變化圖2、一般地,函數(shù)f（x）在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，曲線陡峭程度是平均變化率“視覺化”．?（二）瞬時變化率——導(dǎo)數(shù)1、曲線的切線如圖，設(shè)曲線c是函數(shù)的圖象，點是曲線c上一點作割線PQ，當(dāng)點Q沿著曲線c無限地趨近于點P，割線P

2、Q無限地趨近于某一極限位置PT我們就把極限位置上的直線PT，叫做曲線c在點P處的切線割線PQ的斜率為，即當(dāng)時，無限趨近于點P的斜率．2、瞬時速度與瞬時加速度1）瞬時速度定義：運動物體經(jīng)過某一時刻（某一位置）的速度，叫做瞬時速度.2）確定物體在某一點A處的瞬時速度的方法：要確定物體在某一點A處的瞬時速度，從A點起取一小段位移AA1，求出物體在這段位移上的平均速度，這個平均速度可以近似地表示物體經(jīng)過A點的瞬時速度.當(dāng)位移足夠小時，物體在這段時間內(nèi)的運動可認(rèn)為是勻速的，所得的平均速度就等于物體經(jīng)過A點的瞬時速度．我們現(xiàn)在

3、已經(jīng)了解了一些關(guān)于瞬時速度的知識，現(xiàn)在已經(jīng)知道物體做直線運動時，它的運動規(guī)律用函數(shù)表示為s＝s（t），也叫做物體的運動方程或位移公式，現(xiàn)在有兩個時刻t0，t0+Δt，現(xiàn)在問從t0到t0+Δt這段時間內(nèi)，物體的位移、平均速度各是：位移為Δs＝s（t0+Δt）－s（t0）（Δt稱時間增量）平均速度根據(jù)對瞬時速度的直觀描述，當(dāng)位移足夠小，現(xiàn)在位移由時間t來表示，也就是說時間足夠短時，平均速度就等于瞬時速度.現(xiàn)在是從t0到t0+Δt，這段時間是Δt.時間Δt足夠短，就是Δt無限趨近于0．當(dāng)Δt→0時，位移的平均變化率無限趨

4、近于一個常數(shù)，那么稱這個常數(shù)為物體在t＝t0的瞬時速度同樣，計算運動物體速度的平均變化率，當(dāng)Δt→0時，平均速度無限趨近于一個常數(shù)，那么這個常數(shù)為在t＝t0時的瞬時加速度．3、導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在（a,b）上有定義，．若無限趨近于0時，比值無限趨近于一個常數(shù)A，則稱f（x）在x＝處可導(dǎo)，并稱該常數(shù)A為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作．幾何意義是曲線上點（）處的切線的斜率．導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）：如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點處都有導(dǎo)數(shù)，此時對于每一個，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個新的函數(shù)，稱這個函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，也可

5、記作．?【典型例題】例1、水經(jīng)過虹吸管從容器甲中流向容器乙，ts后容器甲中水的體積（單位：），計算第一個10s內(nèi)V的平均變化率．解：在區(qū)間[0，10]上，體積V的平均變化率為???即第一個10s內(nèi)容器甲中水的體積的平均變化率為．?例2、已知函數(shù)，，分別計算在區(qū)間[－3，－1]，[0，5]上函數(shù)及的平均變化率．解：函數(shù)在[－3，－1]上的平均變化率為在[－3,－1]上的平均變化率為函數(shù)在[0，5]上的平均變化率為在[0，5]上的平均變化率為?例3、已知函數(shù)，分別計算函數(shù)在區(qū)間[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[

6、1，1.001]上的平均變化率．解：函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的平均變化率為函數(shù)在[1，2]上的平均變化率為函數(shù)在[1，1.1]上的平均變化率為函數(shù)在[1，1.001]上的平均變化率為?例4、物體自由落體的運動方程s＝s（t）＝gt2，其中位移單位m，時間單位s，g＝9.8m/s2.求t＝3這一時段的速度.解：取一小段時間［3，3+Δt］，位置改變量Δs＝g（3+Δt）2－g·32＝（6+Δt）Δt，平均速度g（6+Δt）當(dāng)Δt無限趨于0時，無限趨于3g＝29.4m/s．?例5、已知質(zhì)點M按規(guī)律s＝2t2+3做直線運動

7、（位移單位：cm，時間單位：s），（1）當(dāng)t＝2，Δt＝0.01時，求.（2）當(dāng)t＝2，Δt＝0.001時，求.（3）求質(zhì)點M在t＝2時的瞬時速度.分析：Δs即位移的改變量，Δt即時間的改變量，即平均速度，當(dāng)Δt越小，求出的越接近某時刻的速度.解：∵＝4t+2Δt∴（1）當(dāng)t＝2，Δt＝0.01時，＝4×2+2×0.01＝8.02cm/s．（2）當(dāng)t＝2，Δt＝0.001時，＝4×2+2×0.001＝8.002cm/s．（3）Δt0，（4t+2Δt）＝4t＝4×2＝8cm/s?例6、曲線的方程為y＝x2+1，那么求

8、此曲線在點P（1，2）處的切線的斜率，以及切線的方程．解：設(shè)Q（1+，2+），則割線PQ的斜率為：斜率為2∴切線的斜率為2．切線的方程為y－2＝2（x－1），即y＝2x．?【模擬試題】1、若函數(shù)f（x）＝2x2+1，圖象上P（1,3）及鄰近點Q（1+Δx,3+Δy），則＝（??）A.4??????B.4Δx????????C.4+2Δx??????????D