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《應(yīng)用數(shù)值分析02》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、課后第二章習(xí)題解答1.（1）Rn×n中的子集“上三角陣”和“正交矩陣”對矩陣乘法是封閉的。（2）Rn×n中的子集“正交矩陣”，“非奇異的對稱陣”和“單位上（下）三角陣”對矩陣求逆是封閉的。設(shè)A是ｎ×ｎ的正交矩陣。證明A-1也是ｎ×ｎ的正交矩陣。證明：（2）A是ｎ×ｎ的正交矩陣∴AA-1=A-1A=E故（A-1）-1=A∴A-1（A-1）-1=（A-1）-1A-1=E故A-1也是ｎ×ｎ的正交矩陣。設(shè)A是非奇異的對稱陣，證A-1也是非奇異的對稱陣。A非奇異∴A可逆且A-1非奇異又AT=A∴（A-1）T=（AT）-1=A-1故A-1也是非奇異的對稱陣設(shè)A是單位上（下）三角陣。證A-1也是單位上（下）
2、三角陣。證明：A是單位上三角陣，故
3、A
4、=1，∴A可逆，即A-1存在，記為（bij）n×n由AA-1=E，則（其中j＞i時，）故bnn=1,bni=0(n≠j)類似可得，bii=1(j=1…n)bjk=0(k＞j)即A-1是單位上三角陣綜上所述可得。Rn×n中的子集“正交矩陣”，“非奇異的對稱陣”和“單位上（下）三角陣”對矩陣求逆是封閉的。2、試求齊次線行方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系。A=解：A=～～～故齊次線行方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為，3.求以下矩陣的特征值和特征向量。A1=，A2解：A1=，
5、I-A1
6、==，解（1I-A）x=0得解（2I-A）x=0得4、已知矩陣，求A的行空間及零空間的基。
7、解：5、已知矩陣，試計(jì)算A的譜半徑。解：6、試證明，其中。7、在R4中求向量x=（1，2，1，1）T在基S=（1，2，3，4）下的坐標(biāo)，其中1=（1，1，1，1）T，2=（1，1，-1，-1）T，3=（1，-1，1，-1）T，4=（1，-1，-1，1）T。解：由x=sy得y-4=s-1x=8、在中向量，取基，求。9、已知R3中兩組基S1={1，2，3}=，S2={1，2，3}=①求從S1到S2的過度矩陣；②設(shè)已知u=（2，1，2）TR3求u在S1下的坐標(biāo)和u在S2下的坐標(biāo)。解：①A=S1-1S2=②對u=（2，1，2）T在S1下，由u=S1x可求出x=S1-1u=在S2下，由u=S2x可求出x
8、=S2-1u=10.已知A=，求dim(R(A)),dim(R(AT)),dim(N(A)).解：A=dim(R(A))=dim(R(AT))=r(A)=2dim(N(A))=n-r=4-2=211、已知A=span{1,ex,e-x},D=是X上的線性變換，求①D關(guān)于基S1={1,2ex,3e-x}的矩陣A；②D關(guān)于基S2={1,（ex+e-x）/2，（ex-e-x）/2}的矩陣B。解：①由Dx=S1A,設(shè)A=[X（1），X（2），X（3）]D（1）=0，0=S1X（1）=0·1+0·2ex+0·3e-x,X（1）=(0,0,0)TD（ex）=ex,ex=S1X（2）=0·1+·2ex+0·
9、3e-x,X（2）=(0,,0)TD（e-x）=-e-x,-e-x=S1X（3）=0·1+0·2ex+·3e-x,X（2）=(0,0,)T②類似的可得D關(guān)于基S2={1,（ex+e-x）/2，（ex-e-x）/2}的矩陣B為12、已知線性變換T：P2（t）→P3（t）,定義T為T（P（t））=求線性變換T在基偶（S1={1,t,t2},S2={1,t，t2/2,t3/3}）下的矩陣。解：設(shè)所求矩陣為A，則有TS1=S2AT（1）=T（t）=T（t2）=13、設(shè)ARm×n,定義從Rn到Rm的變換T為T：xRn→y=AxxRm試證明T是線性變換。證明：，有故，由定義知，T是線性變換。14、已知R3
10、中取基S1=，R2中取基S2=。線性變換T：R3→R2定義為x=（x1，x2，x3）TR3，Tx=（x2+x3，x1+x3）TR2.求①T在（S1，S2）下的矩陣A；②設(shè)u=（2，-3，2）TR3，u在S1下的坐標(biāo)和Tu在S2下的坐標(biāo)。解：①由題知，T（S1）=S2A②對u=（2，-3，2）T在S1下由可求出在S2下由可求出15、求由向量1=（1，2，1）T與2=（1，-1，2）T張成的R3的子空間X=span{1,2}的正交補(bǔ)（即所有與X垂直的向量的全體）。解：令解得故=16、試證明若{1，2，…，t}是內(nèi)積空間H中不含零向量的正交向量組，則1，2，…，t必線性無關(guān)。證明：假設(shè)存在使兩邊與作
11、內(nèi)積得又（因故故1，2，…，t必線性無關(guān)。17、計(jì)算下列向量的‖x‖∞，‖x‖1和‖x‖2。①x=（3，-4，0，3/2）T②x=（2，1，-3，4）T③x=（sink,cosk,2k）Tk為正整數(shù)。解：①‖x‖∞=②‖x‖∞=③‖x‖∞=18、證明：20、21、試計(jì)算，，，其中m,n是正整數(shù)。22、已知，試計(jì)算，，，。23、在上，由構(gòu)造帶權(quán)的首1正交多項(xiàng)式，和。解：24、給出點(diǎn)集及權(quán)，試構(gòu)造正交
